专题15 线段的计算（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题15 线段的计算 1. 熟练进行线段的和、差、倍、分计算。 2. 熟练运用方程思想、分类讨论思想解决线段中的问题。 一、 线段中点 若点M是线段AB的中点，则AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。 二、线段计算 根据点的位置，灵活运用线段和差关系，点位置不确定时需要分类讨论。 题型01 线段的中点 【典例】已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． 【变式】如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 题型02 线段的和差倍分 【典例】点A，B，C是同一直线上的三个点，若，，则的长度是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，； 故选C． 【变式】如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 题型03 方程思想 【典例】如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 【答案】/7厘米 【详解】解：∵C、D两点将线段从左到右依次分成三部分， ∴设，则，． ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【变式】如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)． (2)或． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ∴． ∵是的三等分点且在左侧， ∴． ∴． （2）解：∵，若在上，则，而， ∴在线段的延长线上或在线段的延长线上． 情况：在的右侧时， ∵是的三等分点， ∴． 设，则， ∴， 解得，即． ∴． ∴． 情况：在的左侧 设，则， ∴， 解得，即． ∴． 综上，或． 题型04 分类讨论思想 【典例】点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 【变式】如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． 【巩固训练】 1．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 2．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 3．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 4．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 5．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 6．已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 【答案】5或1 【详解】解：如图， ∵线段，点C为中点， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在点C左边时，； 当点E在点C右边时，． 7．如图，已知线段的长度是a，线段的长度比线段的长度的2倍多．线段的长度比线段的长度的2倍少． (1)写出用a表示线段的长度的式子； (2)当时，求线段的长度． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：线段的长度是，线段的长度比线段长度的2倍多， ， 线段的长度比线段长度的2倍少， ， ； （2）解：当时，则 解得， ∴线段的长度为． 8．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 9．如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ． ． （2）解：，， ． ． ∵点E是的中点， ． ． 10．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 【强化训练】 1．已知线段，点是直线上的一点，．若是的中点，是的中点，则线段的长度是（   ）． A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵点是直线上一点，，， ∴分两种情况讨论： ①当点在点右侧时，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴； ②当点在点左侧时， ， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长度为． 2．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 3．如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 【答案】1 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 4．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 5．如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【答案】 【详解】解：设，则，， ， 为中点，， ， 为中点， ， ， ， ， 解得：， ． 6．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 7．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 8．如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 【答案】(1) (2)当时， 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 解得． ∵点A在原点左侧， ∴A点对应的数为． （2）解：依题意可得：，． ∵， ∴ ∴或， ∴或（舍去）， ∴当时，． 9．如图，点C为线段的中点，点M、N在线段上，已知 ， (1)若，求线段的长； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ， 点C为线段的中点， ； （2）解：由（1）可知， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 10．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 线段的计算 1. 熟练进行线段的和、差、倍、分计算。 2. 熟练运用方程思想、分类讨论思想解决线段中的问题。 一、 线段中点 若点M是线段AB的中点，则AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。 二、线段计算 根据点的位置，灵活运用线段和差关系，点位置不确定时需要分类讨论。 题型01 线段的中点 【典例】已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【变式】如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 题型02 线段的和差倍分 【典例】点A，B，C是同一直线上的三个点，若，，则的长度是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式】如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 题型03 方程思想 【典例】如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 【变式】如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 题型04 分类讨论思想 【典例】点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【变式】如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【巩固训练】 1．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 4．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 5．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 6．已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，计算的长． 7．如图，已知线段的长度是a，线段的长度比线段的长度的2倍多．线段的长度比线段的长度的2倍少． (1)写出用a表示线段的长度的式子； (2)当时，求线段的长度． 8．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 9．如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 10．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【强化训练】 1．已知线段，点是直线上的一点，．若是的中点，是的中点，则线段的长度是（   ）． A．或 B． C． D．或 2．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 4．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 5．如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 6．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 7．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 8．如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 9．如图，点C为线段的中点，点M、N在线段上，已知 ， (1)若，求线段的长； (2)若，，求线段的长． 10．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $