专题11 整式（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题11 整式 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 已知字母的值 ，求代数式的值 题型02 已知式子的值，求代数式的值 题型03 程序流程图与代数式求值 题型04 代数式的新定义计算 题型05 代数求值的阅读理解问题 题型06 代数式求值含参计算 题型07 代数式求值的规律问题 题型08 代数式求值的实际综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一　单项式 1. 单项式的概念： 表示数或字母，字母与字母的 积 的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是 单项式 。里面只有 乘法 运算。 2.单项式的系数： 单项式中的 数字因数 叫做单项式的系数。包含单项式前面的 符号 。特别的，单个的字母的系数为 1或﹣1 。 3.单项式的次数： 一个单项式中所有字母的 次数 的和叫做单项式的次数。 单项式的次数是几次则就叫做 几次单项式 。没有字母的单项式次数是 0 。 【针对训练】 【典例1】下列式子不是单项式的是（　　） A．4x B．a C．2+x D．3.14 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是﹣2，次数是3 【变式2】单项式x3y2z的系数和次数分别为（　　） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 知识点二　多项式 1. 多项式的概念： 几个 单项式的和 叫做多项式。 2.多项式的项： 组成多项式的每一个 单项式 叫做多项式的项。包含单项式前面的 符号 。 3.多项式的次数： 组成多项式的项中，次数 最高 的项的次数即为多项式的次数。 4.多项式的名词： 根据多项式的 次数与项数 把多项式命名为几次几项式。 【针对训练】 【典例1】下列式子，，，2x2+3x﹣4中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】已知代数式4x2﹣3x+5，下列说法中错误的是（　　） A．它是一个多项式 B．它的项分别是4x2，3x，5 C．它的次数是2 D．它的常数项是5 【变式2】关于多项式﹣a3b4+2a2b4﹣3，下列说法正确的是（　　） A．七次二项式 B．最高次项是a3b4 C．常数项是﹣3 D．最高次项的系数是0 知识点三　整式 1. 整式的概念： 单项式 和 多项式 统称为整式。简单理解：即分母中不含 字母 的式子叫做整式。 2.多项式的升幂或降幂排列： 把一个多项式按照项的次数或其中某一个字母的次数由低到高排列叫做 升幂排列 ；若按照项的次数或其中某一个字母的次数由高到低排列叫做 降幂排列 。 【针对训练】 【典例1】在代数式，﹣xy，，，﹣2，中，是整式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】将多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的降幂排列的结果是（　　） A．x3﹣9y﹣x2y3+3xy3 B．x3﹣x2y3+3xy3﹣9y C．﹣9y+x3+3xy3﹣x2y3 D．﹣9y+3xy3﹣x2y3+x3 【变式2】将多项式xy3﹣1﹣3x2y2+x3y按字母y升幂排列，结果是 　 　 ． 典例精析 题型一 单项式的判断 【例1】下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 题型二 单项式的系数、次数 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的常数项是1 B．0不是单项式 C．的次数是3 D．系数是，次数是4 【变式训练】已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 题型三 多项式的判断 【例3】当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 【变式训练】把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)单项式有________，多项式有_______． (2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式． 题型四 多项式的项、项数或次数 【例4】下列说法正确的是（    ） A．的系数是-1 B．是二次单项式 C．的常数项是6 D．的次数是8 【变式训练】已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 题型五 整式的判断 【例5】在代数式中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 题型六 写出满足某些特征的单项式 【例6】若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式训练】观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 题型七 多项式的系数、指数中字母求值 【例7】若多项式不含项，则＝（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同． （1）求m、n的值； （2）求多项式各项的系数和． 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例8】多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 【变式训练】【做一做】列代数式 （1）已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为　 　； （2）某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7℃，若山脚温度是28℃，则比山脚高x米处的温度为　 　℃； （3）已知某礼堂第1排有18个座位，往后每一排比前一排多2个座位．则第n排共有座位数　 　个． 【数学思考】 （4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的　 　； （5）请你任意写一个关于x的这种类型的数字系数的二次式　 　； （6）用字母表示系数，写一个关于x的二次三项式，并注明字母系数应满足的条件　 　； 【问题解决】 （7）若代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式，求m的值． 题型九 整式中的规律探究问题 【例9】和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式训练】阅读并思考 观察并找出规律：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和（S） 1 2 3 4 … … (1)当时，和S的等式为________ (2)按此规律计算： ①值； ②值． 题型十 单项式的规律问题 【例10】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 题型十一 新定义问题 【例11】下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 1．下列说法错误的是（     ） A．多项式是三次三项式 B．是六次单项式 C．的常数项是 D．单项式的次数为 2．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 3．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 4．下列式子：，，，，，，，中，整式有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．下列说法中，正确的是（     ） A．的常数项是 B．单项式的次数是 C．多项式的三次项是 D．多项式是二次三项式 6．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 7．若关于x，y的多项式不含项，则的值为________． 8．把多项式按降幂排列_________． 9．若整式，则整式的值为______． 10．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 11．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．是二次三项式 C．的次数是2 D．多项式的项分别是：、 12．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 14．整式是四次三项式，则的值为（     ） A．或 B． C． D．或 15．下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 16．关于的多项式有3项，且次数是3，则___________． 17．如果单项式与单项式次数相同，则________． 18．已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，z是单项式的系数，则代数式的值为______． 19．已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．求的值． 20．已知整式，其中为自然数，，，，…，为整数且，满足，下列说法： ①满足条件的所有整式中有7个单项式； ②满足条件的所有整式中，二次项系数为1的整式的和为； ③满足条件的所有整式共有24个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．已知整式M：，其中，n为正整数，，，，为自然数，且，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足条件的整式M中二次三项式只有1个； ③当，，时，． 其中正确的个数是（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．0 22．已知整式，其中为正整数，，，…，，，均为整数，且，，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则满足条件的单项式共有3个； ②若，，，则满足条件的所有整式的和为2； ③若是二次三项式，且取最小值，则使得方程的所有实数根的乘积为81． A．0 B．1 C．2 D．3 23．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 24．观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第个单项式是___________． 25．多项式是关于x的四次二项式，则m的值是______． 26．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 整式 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 已知字母的值 ，求代数式的值 题型02 已知式子的值，求代数式的值 题型03 程序流程图与代数式求值 题型04 代数式的新定义计算 题型05 代数求值的阅读理解问题 题型06 代数式求值含参计算 题型07 代数式求值的规律问题 题型08 代数式求值的实际综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一　单项式 1. 单项式的概念： 表示数或字母，字母与字母的 积 的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是 单项式 。里面只有 乘法 运算。 2.单项式的系数： 单项式中的 数字因数 叫做单项式的系数。包含单项式前面的 符号 。特别的，单个的字母的系数为 1或﹣1 。 3.单项式的次数： 一个单项式中所有字母的 次数 的和叫做单项式的次数。 单项式的次数是几次则就叫做 几次单项式 。没有字母的单项式次数是 0 。 【针对训练】 【典例1】下列式子不是单项式的是（　　） A．4x B．a C．2+x D．3.14 【答案】C 【解答】解：A.4x，是单项式； B．a，是单项式； C.2+x，是多项式； D.3.14，是单项式． 故选：C． 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是﹣2，次数是3 【答案】B 【解答】解：A．数字0是单项式，此选项不符合题意； B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5，此选项符合题意； C．6πx3的系数是6π，原说法错误，此选项不符合题意； D． 的系数是，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】单项式x3y2z的系数和次数分别为（　　） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 【答案】C． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，6． 故选：C． 知识点二　多项式 1. 多项式的概念： 几个 单项式的和 叫做多项式。 2.多项式的项： 组成多项式的每一个 单项式 叫做多项式的项。包含单项式前面的 符号 。 3.多项式的次数： 组成多项式的项中，次数 最高 的项的次数即为多项式的次数。 4.多项式的名词： 根据多项式的 次数与项数 把多项式命名为几次几项式。 【针对训练】 【典例1】下列式子，，，2x2+3x﹣4中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解答】解：式子，2x2+3x﹣4，符合多项式的定义，是多项式； 式子，分母中含有字母，不是多项式； 式子，是单项式． 故多项式有2个． 故选：B． 【变式1】已知代数式4x2﹣3x+5，下列说法中错误的是（　　） A．它是一个多项式 B．它的项分别是4x2，3x，5 C．它的次数是2 D．它的常数项是5 【答案】B 【解答】解：A．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，故选项A正确； B．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的项分别是4x2，﹣3x，5，故选项B错误； C．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的次数是2，故选项C正确； D．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的常数项是5，故选项D正确． 故选：B． 【变式2】关于多项式﹣a3b4+2a2b4﹣3，下列说法正确的是（　　） A．七次二项式 B．最高次项是a3b4 C．常数项是﹣3 D．最高次项的系数是0 【答案】C 【解答】解：由题知， 所给多项式是七次三项式， 所以A选项不符合题意； 所给多项式的最高次项是﹣a3b4， 所以B选项不符合题意； 所给多项式的常数项是﹣3， 所以C选项符合题意； 所给多项式的最高次项是﹣a3b4，它的系数为﹣1， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 知识点三　整式 1. 整式的概念： 单项式 和 多项式 统称为整式。简单理解：即分母中不含 字母 的式子叫做整式。 2.多项式的升幂或降幂排列： 把一个多项式按照项的次数或其中某一个字母的次数由低到高排列叫做 升幂排列 ；若按照项的次数或其中某一个字母的次数由高到低排列叫做 降幂排列 。 【针对训练】 【典例1】在代数式，﹣xy，，，﹣2，中，是整式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B． 【解答】解：式子，﹣xy，，﹣2，符合整式的定义，是整式； 式子，，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：B． 【变式1】将多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的降幂排列的结果是（　　） A．x3﹣9y﹣x2y3+3xy3 B．x3﹣x2y3+3xy3﹣9y C．﹣9y+x3+3xy3﹣x2y3 D．﹣9y+3xy3﹣x2y3+x3 【答案】B． 【解答】解：多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的降幂排列：x3﹣x2y3+3xy3﹣9y． 故选：B． 【变式2】将多项式xy3﹣1﹣3x2y2+x3y按字母y升幂排列，结果是 　﹣1+x3y﹣3x2y2+xy3　 ． 【答案】﹣1+x3y﹣3x2y2+xy3． 【解答】解：将多项式xy3﹣1﹣3x2y2+x3y按字母y升幂排列，结果是﹣1+x3y﹣3x2y2+xy3． 故答案为：﹣1+x3y﹣3x2y2+xy3． 典例精析 题型一 单项式的判断 【例1】下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，直接利用了单项式的定义逐个判断即可．掌握单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式成为解题的关键． 【详解】解：是多项式，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项符合题意； C、是多项式，故本选项不符合题意； D、不是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 【答案】见解析 【分析】根据单项式的定义以及单项式次数与系数的定义分别分析得出即可． 【详解】，，，，，，是单项式，其中 的系数是，次数是3；的系数是－1，次数是1；的系数是，次数是4；的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；的系数为－3×108，次数是3；只含有字母因数，系数是1，次数为3． 【点睛】本题考查单项式的定义、单项式的系数和次数，熟练掌握相关的定义是解题关键． 题型二 单项式的系数、次数 【例2】下列说法正确的是（   ） A．的常数项是1 B．0不是单项式 C．的次数是3 D．系数是，次数是4 【答案】D 【分析】本题考查单项式与多项式的有关概念，解题的关键是掌握单项式的系数、次数，多项式的次数、项．根据相关概念“数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项”逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、的常数项是，选项说法错误，不符合题意； B、0是单项式，选项说法错误，不符合题意； C、的次数是2，选项说法错误，不符合题意； D、系数是，次数是4，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解． 【详解】（1）∵单项式与的次数相同， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 则当，时， 原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键． 题型三 多项式的判断 【例3】当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入是解本题的关键．将代入已知式子求出的值，把代入所求代数式，将代入计算即可． 【详解】解：当时，多项式的值为2024； ∴， ， 当时， ． 故选：D 【变式训练】把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)单项式有________，多项式有_______． (2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式． 【答案】(1)③⑤⑦；①② (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次五项式的定义即可求解 【详解】（1）解：单项式有：③；⑤；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）解：选①②， 则是三次五项式．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． 题型四 多项式的项、项数或次数 【例4】下列说法正确的是（    ） A．的系数是-1 B．是二次单项式 C．的常数项是6 D．的次数是8 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的系数和次数，多项式的项和次数等知识．根据单项式的系数和次数，多项式的项和次数的定义进行判断即可． 【详解】A. 的系数是，故选项正确，符合题意； B. 是六次单项式，故选项错误，不符合题意； C. 的常数项是，故选项错误，不符合题意；     D. 的次数是4，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，代数式求值，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据题意得出，，求出的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再代入，，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴原多项式为：， 当，时， 原式 ． 题型五 整式的判断 【例5】在代数式中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据整式的定义进行解答． 【详解】分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式. 故选C. 【点睛】此题考查整式，解题关键在于掌握整式的定义. 【变式训练】若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 【答案】(1) (2)2组，矩形的面积=正方形的面积和矩形的面积=正方形的面积 【分析】(1)根据正方形、矩形的面积公式计算； (2)根据(1)的结论得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：(1)由题意可得： ； (2)由(1)可知,， ， 矩形的面积， 正方形的面积， 矩形的面积=正方形的面积， 则矩形的面积=正方形的面积。 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可. 题型六 写出满足某些特征的单项式 【例6】若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 【变式训练】观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 题型七 多项式的系数、指数中字母求值 【例7】若多项式不含项，则＝（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】不含xy项，即令xy项前面的系数为0即可求出答案. 【详解】∵多项式不含xy项 ∴2m=0，求得m=0，故答案选择A. 【点睛】本题考查的是多项式的系数中不含哪一项和缺项的问题，不含哪一项和缺项只要令不含和缺的那一项的系数为0即可求出答案. 【变式训练】已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同． （1）求m、n的值； （2）求多项式各项的系数和． 【答案】（1），；（2）-13 【分析】（1）根据多项式是六次四项式，可求m，根据的次数也是6可求n； （2）把各项系数相加即可． 【详解】解：（1）∵多项式是六次四项式， ∴， 解得，， 5-m=5-3=2， 的次数与多项式的次数相同， ， 解得，． （2）各项的系数之和为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数与项，单项式的次数，解题关键是依据多项式的次数和单项式的次数的意义建立方程；注意：多项式每一项的系数包括前面的符号． 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例8】多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 【答案】A 【分析】根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】多项式3-2xy+6y-5-4y中，x的次数依次为1,2,3,4，y的次数依次为1,1,2,1， 故选A. 【点睛】此题考查多项式，解题关键在于掌握其定义. 【变式训练】【做一做】列代数式 （1）已知一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为　 　； （2）某地区夏季高山的温度从山脚处开始每升高100米，降低0.7℃，若山脚温度是28℃，则比山脚高x米处的温度为　 　℃； （3）已知某礼堂第1排有18个座位，往后每一排比前一排多2个座位．则第n排共有座位数　 　个． 【数学思考】 （4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的　 　； （5）请你任意写一个关于x的这种类型的数字系数的二次式　 　； （6）用字母表示系数，写一个关于x的二次三项式，并注明字母系数应满足的条件　 　； 【问题解决】 （7）若代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式，求m的值． 【答案】（1）100c+10b+c；（2）（﹣0.007x+28）；（3）（2n+16）；（4）多项式；（5） x2+1；（6）ax2+bx+c（a、b、c均不为0）；（7）-2． 【分析】（1）根据题意，用含a、b、c的代数式表示出这个三位数即可； （2）根据题意，用含x的代数式表示出比山脚高x米处的温度即可； （3）根据题意，用含n的代数式表示出第n排的座位数即可； （4）根据前三个小题的结果判断即可； （5）根据整式的相关概念按要求写出即可； （6）根据多项式的相关概念按要求写出即可； （7）根据多项式的相关概念可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值． 【详解】解：（1）由题意可得， 这个三位数可表示为100c+10b+a， 故答案为：100c+10b+c； （2）由题意可得， 比山脚高x米处的温度为：28﹣×0.7＝﹣0.007x+28， 故答案为：（﹣0.007x+28）； （3）由题意可得， 第n排共有座位18+2（n﹣1）＝18+2n﹣2＝2n+16， 故答案为：（2n+16）； （4）上面所列的代数式都属于我们所学习的整式中的多项式， 故答案为：多项式； （5）关于x的这种类型的数字系数的二次式可以是：x2+1， 故答案为：x2+1； （6）由题意可得，满足条件的多项式可以是：ax2+bx+c（a、b、c均不为0）， 故答案为：ax2+bx+c（a、b、c均不为0）； （7）∵代数式3x|m|﹣（m﹣2）x+4是一个关于x的二次三项式， ∴|m|＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2， 即m的值是﹣2． 【点睛】本题考查整式的相关概念以及列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 题型九 整式中的规律探究问题 【例9】和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了数字变化规律，观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数的是从3开始的第个数，即可得出答案， 观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键．还要熟练掌握求和公式． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数， ∴从到的奇数的个数为：， ∵， ∴， ∴奇数是从开始的第个奇数， ∵， ∴第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个， ∴， 故选：B． 【变式训练】阅读并思考 观察并找出规律：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和（S） 1 2 3 4 … … (1)当时，和S的等式为________ (2)按此规律计算： ①值； ②值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数的规律探索，正确找到变化规律是解题的关键． （1）根据，，，总结规律可得，，再利用规律解题即可． （2）①根据，确定偶数的个数为100，利用（1）中的规律计算即可； ②将变形为，再按照规律计算即可． 【详解】（1）解：根据， ， ， 归纳可得：． ∴当时， 和S的等式为：； （2）解：①∵， ∴； ② ． 题型十 单项式的规律问题 【例10】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题可知， 所给单项式的系数依次为，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：； 当时， 第个单项式为：． 故选：D． 【变式训练】观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 题型十一 新定义问题 【例11】下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 【变式训练】定义一种对应关系：，如，． 解答下列问题： (1)求的值． (2)写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)求的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，数字规律． （1）直接根据题干计算即可； （2）计算的值，进而判断即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知， ， ， ； （3）解：， ． 1．下列说法错误的是（     ） A．多项式是三次三项式 B．是六次单项式 C．的常数项是 D．单项式的次数为 【答案】D 【详解】解：A选项，多项式的最高次项为，是三次三项式，正确； B选项，单项式的次数是所有字母指数的和，是六次单项式，正确； C选项，多项式中不含字母的项称为常数项，故常数项是，正确； D选项，单项式的次数为，不是，错误． 2．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 【详解】解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 3．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 4．下列式子：，，，，，，，中，整式有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据整式定义，注意排除等式与分母含字母的式子，为常数． 【详解】解：整式为单项式与多项式的统称，分母含字母的式子、等式均不是整式， 、、、（为常数）均为单项式，属于整式， 、均为多项式，属于整式， 分母含字母，不是整式， 是等式，不是整式， 综上，整式有、、、、、，共有6个． 5．下列说法中，正确的是（     ） A．的常数项是 B．单项式的次数是 C．多项式的三次项是 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式的次数，多项式的项和次数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．多项式的常数项是，原说法错误，不符合题意； B． 单项式的次数是，原说法错误，不符合题意； C．多项式的三次项是，原说法错误，不符合题意； D．多项式是二次三项式，原说法正确，符合题意． 6．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 7．若关于x，y的多项式不含项，则的值为________． 【答案】 【分析】多项式不含某一项时该项的系数为0，据此求出的值，再代入计算目标代数式的值． 【详解】解：∵关于，的多项式不含项， ∴项的系数为0，即 解得 ∴． 8．把多项式按降幂排列_________． 【答案】 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列． 【详解】解：∵多项式各项为，3，，， ∴按x降幂排列的多项式为． 9．若整式，则整式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式、求代数式的值，利用整体代入法求值是解题的关键． 根据题意可得，然后整体代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减，合并同类项，进行化简代数式，即可． （1）先根据非负性，求出，；再将多项式化简为，最后把，的值代入计算即可； （2）将多项式化简为，再根据多项式的值与字母的值无关，即可计算出的值． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴当，时，； （2）解：由（1）得：， ∵的值与字母的值无关， ∴， ∴． 11．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．是二次三项式 C．的次数是2 D．多项式的项分别是：、 【答案】D 【详解】解：∵的系数是，∴A错误； ∵的最高次项的次数为3，是三次三项式，∴B错误； ∵的次数是3，∴C错误； ∵多项式的项分别是、、，∴D正确，符合题意． 12．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 13．下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式、单项式的次数、系数、多项式的次数的定义的应用，关键是能准确理解并运用以上知识．根据整式、系数和次数的定义逐一判断各选项. 【详解】∵ 整式是分母中不含字母的代数式， 选项A: 的分母为数字3，不含字母， ∴ 它是整式，A正确，符合题意； 选项B: 的系数应为，次数为x和y的指数之和， ∴ B错误，不符合题意； 选项C: 即，次数为， ∴ C错误，不符合题意； 选项D: 中π为常数，r为变量，最高次数为2，是二次二项式． ∴ D错误，不符合题意. 故选：A． 14．整式是四次三项式，则的值为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据四次三项式的定义，需满足最高次项次数为4，且最高次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵ 整式为四次三项式． ∴ 最高次项次数为4，且最高次项系数不为0． ∵ 项的次数为，常数项次数为0， ∴ 最高次项为， ∴ ，且， 由得， ∴ 或． 解得或． ∵ ，即． ∴ ． 15．下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的次数、项数、系数和排列顺序的定义，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：多项式的最高次项次数为，且共有三项，是二次三项式，故A选项正确； B选项：多项式中没有次数为的项，故B选项错误； C选项：多项式中的指数依次为、、、，是从高到低排列，故C选项错误； D选项：多项式的常数项是，故D选项错误． 故选：A． 16．关于的多项式有3项，且次数是3，则___________． 【答案】 【分析】根据多项式次数为3的条件确定最高次项的指数关系，得到m的可能值，再结合多项式有3项排除使某一项系数为0的取值，即可得到结果． 【详解】解：∵ 该多项式的次数为3， ∴ 最高次项的指数满足， 解得或， ∵ 该多项式共有3项， ∴ 一次项的系数不能为0，即， 解得， ∴ 舍去的取值，最终． 17．如果单项式与单项式次数相同，则________． 【答案】9 【分析】根据单项式次数的定义列方程求出m的值，再代入代数式计算即可 【详解】解：∵单项式的次数为，单项式的次数为，单项式与单项式次数相同， ∴， 解得 将代入得 ． 18．已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，z是单项式的系数，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、单项式系数的定义，先确定、、的取值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵是单项式的系数， ∴， 将上述值代入代数式， 得原式． 19．已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．求的值． 【答案】6 【分析】根据多项式的次数以及单项式的次数的定义求得，的值，进而求得的值． 【详解】解：∵多项式是四次四项式， ∴， ∴， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴． 20．已知整式，其中为自然数，，，，…，为整数且，满足，下列说法： ①满足条件的所有整式中有7个单项式； ②满足条件的所有整式中，二次项系数为1的整式的和为； ③满足条件的所有整式共有24个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由得，结合已知等式确定的取值范围，再按的取值分类枚举，验证三个说法． 【详解】解：， ． ，为自然数， ，即． 分情况讨论： 当时，，，共2个整式，均为单项式． 当时，，． 时，，有个整式； 时，，有个整式； 时，，有个整式（单项式）． 合计10个整式，其中单项式2个． 当时，，． 时，，有个整式； 时，，有个整式（单项式）. 合计10个整式，其中单项式2个． 当时，，． ，，，共2个整式，均为单项式． ① 单项式总数为，故①错误． ② 二次项系数为的整式仅存在于且的情况， 此时，对应的整式为，，，， 求和得，故②正确． ③ 所有整式总数为，故③正确． 综上，正确的说法有2个． 21．已知整式M：，其中，n为正整数，，，，为自然数，且，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足条件的整式M中二次三项式只有1个； ③当，，时，． 其中正确的个数是（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】先根据定义求出A，B，再结合系数严格递减的限制，分别验证三个说法能否找到符合条件的系数． 【详解】解：由题意，A是整式M的各项系数之和，即；B是各项次数之和，常数项次数为0，不影响B的值， ∵，为正整数，，，，为自然数， ∴由，得，依次类推，对任意，有，即所有次数不小于1的项均存在， ∴， ∵， ∴， ①当时，，，即，且， 满足条件的解仅为，，对应整式，是单项式，故①正确； ②当时，，，即，且， 二次三项式需，此时，，和的最小值为，仅当，，时成立，对应整式，共1个，故②正确； ③当时，，，即， 设奇数项系数和为，偶数项系数和为，则， 当时，， 若，即，联立可得， 由，得，，，故， ∴，不存在满足条件的整式，故③错误； 综上，正确的有①②，共2个． 22．已知整式，其中为正整数，，，…，，，均为整数，且，，下列说法正确的个数是（   ） ①若，则满足条件的单项式共有3个； ②若，，，则满足条件的所有整式的和为2； ③若是二次三项式，且取最小值，则使得方程的所有实数根的乘积为81． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】结合整式的定义，根据给定的条件逐条分析判断即可． 【详解】已知条件：所有系数为整数，满足，，为正整数． 验证①若，是单项式 单项式只有一个非零系数，，若为次单项式，则，不符， 当时，，不符， 仅当符合条件，此时，，得，此时有个满足条件的单项式分别为， ①错误； 验证②若，，，所有满足条件的整式的和为 ，需满足，，， 所有绝对值组合： 情况1：当时， （1）， 则或或或， 对应的整式：或或或 所有整式相加和为， （2）， 则或或或， 对应的整式： 或或或 所有整式相加和为， 当时，所有整式相加和为； 情况2：时， ， 则或或或， 对应的整式： 或或或 所有整式相加和为； 所有总和为，②错误； 验证 ③若是二次三项式，取最小值，方程的所有实数根乘积为 二次三项式要求都不为，最小满足条件的绝对值为，，不同的系数符号对应不同的，方程的根不固定，根乘积也不固定， ③错误； 故选A． 23．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 【答案】 / 1351 【分析】根据所给输出的结果，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… 因为输出结果的系数依次为1，2，3，5，8，13，…，输出结果的次数依次为1，2，3，5，8，…， 所以从第2个输出的结果开始，系数与次数按偶数，奇数，奇数循环， 则， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1351个． 24．观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第个单项式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探索，能根据所给单项式发现其系数及指数的变化规律是解题的关键．观察单项式序列的系数和指数的变化规律，系数为平方数且符号交替，指数与序号相同，由此得出第个单项式，进而得解． 【详解】解：第一个单项式：； 第二个单项式：； 第三个单项式：； 第四个单项式：； ， 因此第个单项式为． 当时，， 所以第个单项式为． 故答案为：． 25．多项式是关于x的四次二项式，则m的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数与系数确定方法是解题关键． 直接利用多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式，进而得出m的值． 【详解】解：∵是关于x的四次二项式， ∴． 解得． 故答案为：． 26．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，，6 (2)存在，点在数轴上对应的数为 (3)20 【分析】（1）利用多项式的定义，即可求出，，的值； （2）存在，设点在数轴上对应的数是，根据点到的距离是点到的距离的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动时间为秒，分为及两种情况考虑．当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，结合，可得出；当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ∴，，． 故答案为：，，6； （2）解：存在，理由如下： 设点在数轴上对应的数是， 根据题意得：， 解得：． ∴存在，点在数轴上对应的数为； （3）解：点C到原点的时间为秒， 设运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴； 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 综上所述，在运动过程中，的最大值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，多项式的系数的概念以及列代数式，解题的关键是用代数式表示出点的位置以及线段长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $