5.1.3 第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图 【课前预习】 知识点一 1.(1)极差　(2)区间　(3)比值　2.高度　频数 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)频率分布直方图的高表示某组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值. 【课中探究】 例1　(1)B　(2)B　[解析] (1)0.29=,表示工人的频率. (2)设该组数据的频数为n,则=0.25,解得n=8,所以该组数据的频数为8.故选B. 例2　解:(1)这次测试成绩的最高分是97分,最低分是32分. (2)根据题意,列出样本的频率分布表如下表: 分组 频数 频率 [30,40) 1 0.02 [40,50) 6 0.12 [50,60) 12 0.24 [60,70) 14 0.28 [70,80) 9 0.18 [80,90) 6 0.12 [90,100] 2 0.04 合计 50 1.00 频率分布直方图和频率分布折线图如图所示. 例3　(1)ACD　(2)s1>s2>s3　[解析] (1)由题意有10a+0.035×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=1,解得a=0.005,故A正确;设中位数为x,因为0.005×10+0.035×10=0.4<0.5,0.4+0.03×10=0.7>0.5,所以x∈[60,70),所以(x-60)×0.03=0.5-0.4=0.1,解得x≈63.33,故B错误;由题意得,得分在[60,80)内的频率为(0.03+0.02)×10=0.5,故C正确;由题意得,得分在[40,60)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,则得分在[40,60)内的共有200×0.4=80(人),故D正确.故选ACD. (2)根据三个频率分布直方图知,甲的数据两端的数较多,绝大部分数都处在两端,偏离平均数较远,最分散,其标准差最大;乙的数据不如甲偏离程度大,标准差比甲小;丙的数据最集中,标准差最小.综上可知s1>s2>s3. 变式　解:(1)由每组小矩形的面积之和为1,得(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)×10=1, 解得a=0.030. (2)平均数=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74, 所以样本成绩的平均数为74. 成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65<0.75, 成绩落在[40,90)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9>0.75, 设75%分位数为m,则m∈[80,90), 由0.65+(m-80)×0.025=0.75,解得m=84, 所以样本成绩的75%分位数为84. 【课堂评价】 1.C　[解析] 频率分布直方图的纵坐标(矩形的高)表示频率与组距的比值,其相应小组的频率等于该组对应的矩形的面积. 2.C　[解析] 因为数据在[0.2,0.8)内的频率为0.75,所以数据在[0.2,0.8)内的频数为600×0.75=450,则样本中的数据在[0.4,0.8)内的频数为450-95-120=235.故选C. 3.C　[解析] 由频率分布直方图,得10×(0.01+a+0.02+0.03+a+0.01)=1,解得a=0.015,比赛成绩在[40,80)的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75,比赛成绩在[40,90)的频率为0.1+0.15+0.2+0.3+0.15=0.90,因此比赛成绩的85%分位数m∈[80,90),则(m-80)×0.015=0.85-0.75,解得m≈86.67,所以最接近m的是86.7.故选C. 4.7　[解析] 第一组为[153.5,158.5),第二组为[158.5,163.5),第三组为[163.5,168.5),第四组为[168.5,173.5), 第五组为[173.5,178.5),第六组为[178.5,183.5), 第七组为[183.5,188.5],所以组数为7. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图 【学习目标】 结合实际问题,理解频数分布直方图、频率分布直方图的特点及差异,体会频率分布直方图在统计中的重要作用. ◆ 知识点一　频数分布直方图与频率分布直方图 1.频数分布直方图与频率分布直方图的绘制步骤 (1)找出最值,计算　　　　;  (2)合理分组,确定　　　　;  (3)整理数据:逐个检查原始数据,统计每个区间内数的个数,并求出频数与数据个数的　　　　;  (4)作出频数分布直方图与频率分布直方图. 2.频数分布直方图与频率分布直方图的表示 频数分布 直方图 纵坐标是频数,每一组数对应的矩形　　　　与　　　　成正比  频率分布 直方图 纵坐标是,每一组数对应的矩形高度与频率成正比,每个矩形的面积等于这一组数对应的频率.所有矩形的面积之和为1 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)频率分布直方图的高表示某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值.(　 ) (2)若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中各个频率会稳定在某个值的附近,从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值上. (　 ) (3)在绘制频率分布直方图时,所分的组数越多越好. (　 ) (4)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.(　 ) ◆ 知识点二　频数分布折线图与频率分布折线图 作频数分布折线图与频率分布折线图的方法:把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图,折线图都画成与横轴相交,所以折线图与横轴的左、右两个交点是没有实际意义的. ◆ 探究点一　频数与频率 例1 (1)在100个人中,有40个学生,21个干部,29个工人,10个农民,则0.29是工人的(　 ) A.频数 B.频率 C.累计频率 D.累计频数 (2)一个容量为32的样本,已知某组数据的频率为0.25,则该组数据的频数为 (　 ) A.4 B.8 C.12 D.16 [素养小结] 注意频数与频率的区别:频数是指出现的次数,频率指频数与总数的比值. ◆ 探究点二　频率分布直方图和频率分布折线图 例2 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行体能测试(满分100分),其得分(单位:分)如下. 48　64　52　86　71　48　64　41　86　79 71　68　82　84　68　64　62　68　81　57 90　52　74　73　56　78　47　66　55　64 56　88　69　40　73　97　68　56　67　59 70　52　79　44　55　69　62　58　32　58 根据上面的数据,回答下列问题: (1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少? (2)将区间[30,100]平均分成7个小区间,试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表,进而画出频率分布直方图和频率分布折线图. [素养小结] (1)在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系: ①若为整数,则=组数; ②若不为整数,则的整数部分+1=组数. (2)组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况.若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多. ◆ 探究点三　频数分布直方图与频率分布直方图的应用 例3 (1)(多选题)在一次科普知识竞赛中共有200人参赛,经过评判,这200名参赛者的得分都在[40,90]内,其得分的频率分布直方图如图所示,则 (　 ) A.a=0.005 B.这200名参赛者得分的中位数约为66.67 C.得分在[60,80)内的频率为0.5 D.得分在[40,60)内的共有80人 (2)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查,他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为　　　　　　.  变式 [2025·成都实验外国语学校高一月考] 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)求样本成绩的平均数和75%分位数. [素养小结] (1)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积=组距×=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1. ③=样本容量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 1.下列说法正确的是 (　 ) A.频率分布直方图的每个矩形的高表示取某数的频数 B.频率分布直方图的每个矩形的高表示该组个体在样本中出现的频率 C.频率分布直方图的每个矩形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比值 D.频率分布直方图的每个矩形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比值 2.一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分.若样本中数据在[0.2,0.8)内的频率为0.75,则样本中的数据在[0.4,0.8)内的频数为 (　 ) A.225 B.295 C.235 D.305 3.某校举行劳动技能大赛,统计了学生的比赛成绩,得到如图所示的频率分布直方图,若要85%的学生成绩不高于m,则下列最接近m的是 (　 ) A.83.3 B.85 C.86.7 D.88 4.某校抽取100名学生测身高,其中身高的最大值为186 cm,最小值为154 cm,根据身高数据绘制频率分布直方图,组距为5,且第一组下限为153.5,则组数为　　　　 .  学科网（北京）股份有限公司 $