4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

第2课时　指数函数的性质与图象的应用 【学习目标】 1.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域; 2.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断; 3.掌握指数函数在现实生活中的应用; 4.掌握指数函数的综合性问题. ◆ 知识点一　与指数函数有关的复合函数 函数y=af(x)(a>0且a≠1)的定义域、值域可转化为函数y=at进行研究,其中t=　　　.若f(x)的定义域为R,则y=af(x)的定义域为　　　.函数y=af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y=at的单调性研究.  【诊断分析】 函数y=的定义域是　　　　,值域是　　　　.  ◆ 知识点二　指数函数y=ax(a>0且a≠1)的单调性的应用 1.a的取值与单调性 当0<a<1时,指数函数y=ax在R上单调递减,若x1<x2,则　　　 ; 当a>1时,指数函数y=ax在R上单调递增,若x1<x2,则　　 . 2.单调性的应用——解指数不等式 对形如af(x)>ag(x)的不等式的讨论: 当0<a<1时,af(x)>ag(x)⇔　　　　　　　　;  当a>1时,af(x)>ag(x)⇔　　　　　　　　.  【诊断分析】 (1)不等式22x+3>的解集是　　　　.  (2)若a3<a-2(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　　　　.  ◆ 探究点一　指数型函数的定义域和值域 例1 求下列函数的定义域和值域: (1)y=;(2)y=; (3)y=4x+2x+1+2;(4)y=. 变式 (1)若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[-1,0] B.[-,] C.(0,] D.R (2)已知函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为(　 ) A.3 B. C.-5 D.3或 [素养小结] 函数y=af(x)的定义域与值域的求法: (1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. (2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数y=ax的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论. 拓展 [2026·武汉高一期末] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为 (　 ) A.{0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} ◆ 探究点二　简单的指数不等式的解法 例2 (1)不等式<4的解集为　　　　　　.  (2)已知a-5x>a3x+12(a>0且a≠1),求x的取值范围. 变式 (1)已知2x≤,则x的取值范围为　　　　.  (2)已知(a2-a+2)2x>(a2-a+2,则x的取值范围是　　　　.  [素养小结] 简单指数型不等式的解法: (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法: 当a>1时,可化为f(x)>g(x); 当0<a<1时,可化为f(x)<g(x). (2)当不等式的形式不是同底指数式的形式时,要先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等. 拓展 若不等式>对x∈(1,4)恒成立,则实数a的取值范围为(　 ) A.(-∞,-5) B.(-∞,-5] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1) ◆ 探究点三　指数型函数的单调性 例3 (1)指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-2,-1)∪(1,2) C.(1,2) D.(2,+∞) (2)函数f(x)=3x(x-2)的单调递增区间为 (　 ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.R D.(-∞,1) (3)函数y=-8·+17的单调递增区间是　　　　.  变式 (1)[2026·长沙高一月考] 函数f(x)=πx,若f(x2+2)<f(3),则x的取值范围为(　 ) A.(-2,2) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(1,2) (2)[2026·石家庄高一期末] 已知a>0且a≠1,若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围为 (　 ) A.[2,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1)∪(1,2] D.(1,2] [素养小结] 与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论: (1)求解步骤:①求定义域,依据题意明确研究范围;②拆分,把原函数拆分为几个基本函数;③定性质,分层逐一求单调性;④下结论,根据复合函数的单调性法则,即“同增异减”,得出原函数的单调性. (2)一般结论:形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性,令u=f(x),x∈[m,n],若两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,则函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;若两者的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上是减函数. ◆ 探究点四　指数函数的实际应用 例4 某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修,排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,一个ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得车库内的一氧化碳浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)存在函数关系y=c(c,m为常数). (1)求c,m的值; (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态? 变式 (多选题)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at(a>0且a≠1),则下列说法正确的是 (　 ) A.浮萍每月的增长率为2 B.第6个月时,浮萍的面积为64 m2 C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍面积长到3 m2,5 m2,15 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3 [素养小结] 解决指数函数的应用问题的步骤: (1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息; (2)建模:根据已知条件,列出指数函数的关系式; (3)解模:运用数学知识解决问题; (4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论. 1.函数f(x)=的定义域为(　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,5)∪(5,+∞) C.[2,+∞) D.[2,5)∪(5,+∞) 2.函数y=的图象大致为 (　 ) A　B　C　D 3.已知函数y=ax-2(a>0且a≠1,-1≤x≤1)的值域是,则实数a的值为 (　 ) A.3 B. C.3或 D.或 4.若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.  5.已知f(x)=32x-(k+1)3x+9, 当x∈R时,f(x)>0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　指数函数的性质与图象的应用 【课前预习】 知识点一 f(x)　R 诊断分析 R　[3,+∞) 知识点二 1.>　<　2.f(x)<g(x)　f(x)>g(x) 诊断分析 (1)(-4,+∞)　(2)0<a<1 【课中探究】 例1　解:(1)要使函数有意义,则1-3x≥0,得3x≤1,解得x≤0,故该函数的定义域为(-∞,0]. 当x≤0时,0<3x≤1,则0≤1-3x<1,则0≤<1,故该函数的值域为[0,1). (2)要使函数有意义,则-|x|≥0,得|x|≤0,即x=0,故该函数的定义域为{0}.当x=0时,y==1,故该函数的值域为{1}. (3)y=4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2+1,则该函数的定义域为R. 设t=2x,则t>0,则y=(t+1)2+1>1+1=2,故该函数的值域为(2,+∞). (4)要使函数有意义,则x-4≠0,解得x≠4,所以函数y=的定义域为{x∈R|x≠4}.因为≠0,所以≠1,则函数y=的值域为{y|y>0且y≠1}. 变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)由题意可得-2≥0对任意x∈R恒成立,即≥2对任意x∈R恒成立,因为y=2x在R上单调递增,所以x2-2ax+3≥1,即x2-2ax+2≥0对任意x∈R恒成立,则Δ=4a2-8≤0,解得-≤a≤,所以实数a的取值范围为[-,].故选B. (2)令t=ax,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,由x∈[-1,1],得t∈,因为函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).当0<a<1时,由x∈[-1,1],得t∈,因为函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=-2=14,解得a=.综上,a=3或a=.故选D. 拓展　C　[解析] f(x)==1+,因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<<1,所以0<<3,所以1<f(x)<4,所以y=[f(x)]的值域为{1,2,3}.故选C. 例2　(1){x|-1<x<2}　[解析] 因为<4,所以<22,因为y=2x在R上是增函数,所以x2-x<2,解得-1<x<2.故原不等式的解集为{x|-1<x<2}. (2)解:①当a>1时,因为a-5x>a3x+12,所以-5x>3x+12,解得x<-.②当0<a<1时,因为a-5x>a3x+12,所以-5x<3x+12,解得x>-.综上所述,当a>1时,x的取值范围是;当0<a<1时,x的取值范围是. 变式　(1)　(2)　[解析] (1)原不等式等价于2x≤23-x,因为指数函数y=2x在R上单调递增, 所以x≤3-x,解得x≤,所以原不等式的解集为. (2)∵a2-a+2=+>1,∴y=(a2-a+2)x在R上是增函数,又(a2-a+2)2x>(a2-a+2)1-3x ,∴2x>1-3x,解得x>.故x的取值范围是. 拓展　A　[解析] ∵>对x∈(1,4)恒成立,∴>对x∈(1,4)恒成立,∴x3+x2>x2+x(a+1)对x∈(1,4)恒成立,即x3-4x2>x(a+1)对x∈(1,4)恒成立,∴x2-4x>a+1对x∈(1,4)恒成立,当x=2时,x2-4x取得最小值-4,∴a+1<-4,解得a<-5.故选A. 例3　(1)C　(2)B　(3)[-2,+∞)　[解析] (1)因为指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,所以0<a-1<1,解得1<a<2,则实数a的取值范围为(1,2).故选C. (2)令u=x(x-2)=x2-2x,易知u=x2-2x在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又y=3u在R上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)=3x(x-2)的单调递增区间为(1,+∞).故选B. (3)设t=,t>0,则y=t2-8t+17在(0,4]上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.令≤4,得x≥-2,所以当-2≤x1<x2时,4≥>,即4≥t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17,所以y=-8·+17的单调递增区间是[-2,+∞). 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)由题得f(x)=πx在定义域R上单调递增,若f(x2+2)<f(3),则x2+2<3,解得-1<x<1,所以x的取值范围为(-1,1).故选C. (2)因为函数y=x+a在(-∞,2)上单调递增,所以要使函数f(x)的值域为R,则函数y=ax在[2,+∞)上单调递增,即a>1,且2+a≥a2,则1<a≤2.故选D. 例4　解:(1)由题知函数y=c(c,m为常数)的图象经过点(4,64),(8,32),所以解得 (2)由(1)得y=128,令128≤0.5,解得t≥32. 故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 变式　BD　[解析] 由题图可知,函数y=at的图象经过点(1,2),则a1=2,得a=2,所以y=2t,因为2t+1-2t=2t不是常数,所以浮萍每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为100%,故A错误,C错误;当t=6时,y=26=64(m2),故B正确;若浮萍面积长到3 m2,5 m2,15 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则=3,=5,=15,则·==3×5=15=,由指数函数的单调性知t1+t2=t3,故D正确.故选BD. 【课堂评价】 1.D　[解析] 要使函数有意义,则解得x≥2且x≠5.故选D. 2.D　[解析] 设f(x)=,其定义域为R,因为f(-x)===f(x),所以f(x)=为偶函数,排除A,C;由指数函数性质可知f(x)=>0,排除B.故选D. 3.C　[解析] 当0<a<1时,函数y=ax-2在[-1,1]上单调递减,值域是[a-2,a-1-2],所以即 解得a=;当a>1时,函数y=ax-2在[-1,1]上单调递增,值域是[a-1-2,a-2],所以即 解得a=3.综上所述,a=或a=3.故选C. 4.　[解析] 因为函数y=在R上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,函数y=-x2+4ax在区间(1,2)上单调递减.因为函数y=-x2+4ax的图象的对称轴为直线x=2a,且函数y=-x2+4ax的图象开口向下,所以2a≤1,解得a≤.故实数a的取值范围为. 5.(-∞,5)　[解析] 由题知f(x)=32x-(k+1)3x+9>0,即k+1<3x+恒成立,因为3x+≥2=6,当且仅当3x=,即x=1时,等号成立,所以k+1<6,即k<5.故实数k的取值范围是(-∞,5). 学科网（北京）股份有限公司 $