专题5.1.3 数据的直观表示&专题5.1.4 用样本估计总体（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

本讲义聚焦数据的直观表示与用样本估计总体核心知识点，系统梳理柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频率分布直方图的特征、绘制方法及适用场景，构建从图表识别到数据提取再到样本估计总体数字特征的完整学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”设计，通过实例培养数学眼光（如从折线图分析数据变化趋势）、数学思维（如频率分布直方图中位数推理）、数学语言（如茎叶图数字特征表达），课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式练习查漏补缺，强化数据分析与应用能力。

专题5.1.3 数据的直观表示&专题5.1.4 用样本估计总体 教学目标 1．理解柱形图、折线图、扇形图的特征与适用场景，能根据数据特点选择合适的图表表示数量关系或比例情况。 2．掌握茎叶图的定义和绘制方法，知晓其优缺点，能从茎叶图中提取最值、中位数等数字特征。 3．熟记频率分布直方图的绘制步骤，理解其核心性质（小长方形面积表示频率、面积和为 1），能完成直方图的绘制与解读。 教学重难点 重点：各类统计图表的特点与绘制方法；从图表中准确提取数据信息。 难点：频率分布直方图的绘制步骤及性质应用；根据数据特征选择恰当的直观表示图表。 知识点01 柱形图 柱形图也称为条形图，可以形象地比较各种数据之间的数量关系。 一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图的每一矩形都是等宽的。 【即学即练】 1．如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【答案】C 【详解】根据图象可以发现：2018年到2019年进口总额是降低的，故C错误. 故选：C 2．（多选）2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 【答案】ABC 【详解】对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，数字阅读用户规模约占网民规模的，故A正确； 对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为亿，网民规模的增长量为亿， 数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确； 对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确； 对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为， 从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为，增长率减小了，故D错误. 故选：ABC. 知识点02 折线图 一般地，如果数据随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示，当然，折线图也可以用在其他合适的情形中。 【即学即练】 3．2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（   ） 备注：同比增长率， 环比增长率=. A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0% D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25% 【答案】D 【详解】对A，从图中可以看出2023年1月全国居民消费价格的同比增长率为，所以2023年1月全国居民消费价格有所上升，故A错误； 对B，由图2023年5月全国居民消费价格环比增长率为，所以2023年5月全国居民消费价格有所下降，故B错误； 对C，将C选项中的数据由小到大排列得0.7%，0.8%，0.9%，0.9%，1%，1.5%，1.5%，1.5%，2.1%，2.1%，2.3%，2.5%，2.7%， 因为，则同比增长率的40%分位数为第6个数，故C错误； 对D，环比增长率的平均数为，故D正确. 故选：D. 4．（多选）如图是某地2024年各月同比和环比涨跌幅情况，则下列叙述正确的有（    ） A．全年各月同比涨跌幅的极差小于各月环比涨跌幅的极差 B．5月份到7月份的各月同比涨幅越来越大 C．全年各月环比涨跌幅的平均值为 D．3月份到12月份各月同比涨跌幅的分位数为 【答案】AB 【详解】对于A，全年CPI各月同比涨跌幅的极差为， 环比涨跌幅的极差为，所以A正确； 对于B，由5月份到7月份的CPI同比涨幅分别为，涨幅越来越大，所以B正确； 对于C，全年CPI各月环比涨跌幅的平均值为，所以C错误； 对于D，由3月份到12月份CPI各月同比涨跌幅的数据按从小到大的顺序排列可得，，， 因为，所以分位数为第8个数据， 即3月份到12月份CPI各月同比涨跌幅的分位数为，所以D错误. 故选：AB. 知识点03 扇形图 扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比。 【即学即练】 5．某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【详解】不妨设2023年的高考人数为a，则2024年的高考人数为. 由图可知2023年本科达线人数为，2024年本科达线人数为， 故2024年与2023年的本科达线人数比为9：5，故A不正确； 本科达线人数增加了，故C正确； 2023年专科达线人数为，2024年专科达线人数为， 所以2024年与2023年的专科达线人数比为9：7，故B错误； 2023年不上线人数为，2024年不上线人数也是，不上线的人数无变化，故D错误. 故选：C. 6．为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：    若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（    ） A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数 B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大 C．第一车间所有职工平均年龄为岁 D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和 【答案】D 【详解】选项A：第一车间职工喜爱的体育活动情况不等同于该企业情况，所以选项A说法正确； 选项B：喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，说明有些职工年龄比50大，所以选项B说法正确； 选项C：样本均值：，所以选项C说法正确； 选项D：样本方差：，所以选项D说法错误. 故选：D. 知识点04 茎叶图 1、定义：将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到达的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）. 2、一般地，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列。茎叶图也可以只表示一组数。 将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征。 3、茎叶图的有点与不足： （1）优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。 （2）不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便。 【即学即练】 7．某箱中有一些纸卡，每张纸卡上都有一个数字．下面的茎叶图显示纸卡上的数字的分布． 伟安从该箱中随机抽出一张纸卡．若所抽出的纸卡上的数字小于15，则他不获代币；若所抽出的纸卡上的数字在15与30之间，则他获60枚代币；否则，他获120枚代币，求伟安所获代币的数目的期望值（　　） A．30 B．36 C．42 D．60 【答案】B 【详解】由题设，纸卡数字依次为，共30个， 其中小于的数字有，共个，抽到的概率为， 在与之间有，共8个，抽到的概率为， 其它的数字有，共5个，抽到的概率为， 所以伟安所获代币的数目的期望值为. 故选：B 8．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则 .    【答案】7 【详解】由题意知，则第四位数为87，结合茎叶图可知. 故答案为：7 知识点05 频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； 第2步：决定组距与组数； 第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表； 第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于1. 【即学即练】 9．（多选）阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表）（多选） 【答案】ABD 【详解】对A：由，故A正确； 对B：阅读时间不超过40分钟的频率为，即估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟，故B正确； 对C：由B的计算结果，40是该组数据的第百分位数，所以中位数应该小于40，故C错误； 对D：估计样本的平均数为：，故D正确. 故选：ABD 10．假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值. (2)从和这两组用按比例分层抽样的方法抽取7名学生，则和中抽取的人数分别是多少？ 【答案】(1) (2)3；4 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为， 则，解得. （2）因为和这两组的频率比为， 所以中抽取人数为， 中抽取人数为. 题型01 柱形图的应用 【例1】如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（   ） A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 【答案】C 【详解】2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A正确； 统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确； 2020年相对于2019年的进口总额是减少的，故C错误； 显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小， 且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确. 故选：C. 【变式1-1】（多选）如图是根据国家统计局发布的我国2012年至2021年的人口出生率(单位：‰)绘制的条形统计图，根据该图，则下列说法错误的是（    ） A．这10年的人口出生率逐年下降 B．这10年的人口出生率有升有降 C．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45% D．这10年的人口出生率的平均数小于12‰ 【答案】AC 【详解】对于A，B，由图可知，这10年的人口出生率有升有降，故A错误，B正确； 对于C，这10年的人口出生率超过12‰的年数共有年，故所占比例等于50%，故C错误； 对于D，这10年的人口出生率的平均数为(14.57‰＋13.03‰＋13.83‰＋11.99‰＋13.57‰＋12.64‰＋10.86‰＋10.41‰＋8.52‰＋7.52‰)＝11.694‰， 故这10年的人口出生率的平均数小于12‰，故D正确. 故选：AC. 【变式1-2】为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的平均数都是6分 B．两组数据的中位数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】B 【详解】甲组数据的平均数分. 乙组数据的平均数分. 所以两组数据的平均数均为分，A选项正确. 将甲组数据、、、、从小到大排列为、、、、，数据个数是奇数，最中间的数是，所以甲组数据的中位数为分. 将乙组数据，，，，从小到大排列为，，，，，数据个数是奇数，最中间的数是，所以乙组数据的中位数为分.B选项错误. 甲组数据中最大值是，最小值是，则甲组数据的极差为分. 乙组数据中最大值是，最小值是，则乙组数据的极差为分. 所以两组数据的极差相等，C选项正确. 对于甲组数据，，，则. 对于乙组数据，，，则. 因为，所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确. 故选：B. 【变式1-3】黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（   ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中男生人数少于女生人数 D．样本中选择物理学科的人数较多 【答案】D 【详解】根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故C错误； 根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故D正确； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误． 故选：D． 【变式1-4】（多选）截至2025年3月17日中午12：58，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房已达151.25亿元人民币，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影.下图是2025年1月29日至3月9日（共40天）该电影内地单日票房条形图，由此可知下列结论中正确的是（   ） A．这40天该电影内地单日票房中最高的是2月4日 B．这40天该电影内地单日票房中大于1亿元的天数比例超过70% C．这40天该电影内地单日藜房的第70百分位数大于5亿元 D．这40天该电影内地单日票房的平均数大于5亿元 【答案】ABC 【详解】对于A，由图可知月日对应的柱子最高，即单日票房最高，故A正确； 对于B，由图可知单日票房小于亿元的有天，大于亿元的有天，则，故B正确； 对于C，由图可知单日票房大于亿元的有天，小于亿元的有天，且， 由图易知第个百分位数一定大于亿元，故C正确； 对于D，由C可知，大于亿元的仅仅天，则平均数一定小于亿元，故D错误. 故选：ABC. 题型02 折线图的应用 【例2】空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图：    根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B．10月8日至27日的AQI的极差小于150 C．10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D．10月8日至27日的AQI逐渐增大 【答案】A 【详解】选项A，根据图表信息，10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10，所以A正确. 选项B，根据图表信息，10月8日至27日的AQI的最大值大于200，最小值在20左右，所以极差大于150，所以B错误； 选项C，根据图表信息，10月8日至27日的AQI数值共有20个，其中位数应是AQI数值按大小顺序排列后中间两个数的平均值，所以C错误； 选项D，根据图表信息，10月8日至27日的AQI是波动的，无逐渐增大的趋势，所以D错误. 故选：A. 【变式2-1】某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了如图所示的折线图．已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是（    ）    A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 B．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）（多选）的最大值出现在1月份 D．最低气温低于的月份有4个 【答案】ABC 【详解】由该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得： 在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确； 在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确； 在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确； 在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误． 故选：ABC 【变式2-2】（多选）采购经理指数（PurchasingManagers＇Index，简称PMI）：是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用．PMI涵盖着生产与流通､制造业与非制造业等领域，分为制造业PMI､服务业PMI．制造业PMI指数在以上，反映制造业总体扩张；低于，通常反映制造业衰退．下图为我国制造业采购经理指数（PMI）变化趋势图，则下列说法正确的是（    ）    A．根据上图可知有一半的月份我国的制造业总体在扩张 B．这13个月的PMI值的平均数不超过 C．这13个月的PMI值的中位数是 D．2025年1-4月的PMI的方差小于2025年5-8月的PMI的方差 【答案】BC 【详解】由图，13个月中共有5个月超过，A错， 13个月从小到大为， 所以这13个月的PMI值的平均数为 ，即这13个月的PMI值的平均数不超过，B对， 其中这13个月的PMI值的中位数为第7个数，是，C对， 由图知，2025年1-4月的PMI为，2025年5-8月的PMI为，显然5-8月的PMI的波动性较小， 所以2025年1-4月的PMI的方差大于2025年5-8月的PMI的方差，D错. 故选：BC 【变式2-3】（多选）如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（    ）    A．1月至7月全社会用电量逐月增加 B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D．1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 【答案】BD 【详解】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误； B：由图，用电量的极差为，故正确； C：数据从小到大有，又， 所以第75百分位数是第六个数据，故错误； D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为， 显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确. 故选：BD 【变式2-4】（多选）北京时间2024年7月27日，中国双人组合在巴黎奥运会中夺得射击混合团体10米气步枪冠军，这是2024巴黎奥运会产生的首枚金牌，也是中国代表团在本届奥运会获得的首枚金牌．中国队的两名运动员在决赛中的14次射击环数如图所示，则（    ） A．乙运动员的平均射击环数约为10.4 B．甲运动员射击环数的第75百分位数为10.6 C．乙运动员射击环数的方差小于甲运动员射击环数的方差 D．甲运动员射击环数的极差小于乙运动员射击环数的极差 【答案】ABD 【详解】对于A，乙运动员的平均射击环数为 ，故A正确． 对于B，将甲运动员的射击环数从小到大排列为10.2，10.3，10.3，10.4，10.4，10.5，10.5， 10.6，10.6，10.6，10.6，10.6，， 则甲运动员射击环数的第75百分位数是从小到大排列的第11个数，即10.6，故B正确． 对于C，由图可知乙运动员的射击环数更分散，故方差更大，故C错误． 对于D，甲运动员的射击环数极差为，乙运动员的射击环数 极差为，故D正确． 故选：ABD． 题型03 扇形图的应用 【例3】某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中错误的是（ ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为； 对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为； 精准扶贫及新农村建设后，种植收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误； 对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为； 精准扶贫及新农村建设后，其他收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确； 对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为； 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确； 对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确. 故选：A. 【变式3-1】某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（   ） A．女生人数和男生人数一样多 B．组中男生人数多于女生人数 C．组男生人数为24人 D．组人数最少 【答案】C 【详解】对于A，女生组有18人，组有48人，组有30人，组有18人，组有6人， 女生共有人，男生有人，因此女生人数多于男生人数，A错误； 对于B，由扇形图，男生组有人，而女生有18人，因此女生多于男生，B错误； 对于C，组有人人，C正确； 对于D，组有人，组有人，组人数不是最少的，D错误. 故选：C 【变式3-2】某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（    ）    A．女生人数多于男生人数（    ）（多选） B．层次男生人数多于女生人数 C．层次男生人数为24人 D．层次人数最少 【答案】AC 【详解】对于A选项，由题可知，女生层次的有18人，层次的有48人，层次的有30人，层次的有18人，层次的有6人，故女生共有人， 男生有人，所以女生人数多于男生人数，故A选项正确； 对于B选项，由扇形图知，男生层次的有人，而女生有18人，故女生多于男生，错误； 对于C选项，层次的有人，故正确； 对于D选项，层次的有人，层次的有人，故层次的人数不是最少的. 故选：AC 【变式3-3】（多选）如图是某公司2020年和2024年支出的比例分配图，其中这两年用于文体活动的支出费用相等，则（    ） A．2024年总支出比2020年增长 B．用于宣发的支出2024年比2020年多 C．用于水电的支出2024年与2020年相等 D．用于工资的支出2024年比2020年增长 【答案】ACD 【详解】对于A：设年总支出为，年总支出为， 依题意可得，所以， 即年总支出比年增长，故A正确； 对于B：年用于宣发的支出为， 年用于宣发的支出为， 故用于宣发的支出年比年少，故B错误； 对于C：年用于水电的支出为， 年用于水电的支出为， 故用于水电的支出年与年相等，故C正确； 对于D：年用于工资的支出为， 年用于工资的支出为， 因为， 所以工资的支出年比年增长，故D正确； 故选：ACD 【变式3-4】（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】ACD 【详解】选项A：由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为， 由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200， 故该校高一学生总人数为，选项A正确； 选项B：由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160， 则选科是生史地这种组合的学生所占比例为， 依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等， 因此选科是物化政这种组合的学生所占比例为， 故选科是物化政这种组合的学生人数为，选项B错误； 选项C：该校高一学生中选择物理的学生所占比例为：， 该校高一学生中选择历史的学生所占比例为：，， 故该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故选项C正确； 选项D：选科是生史地这种组合的学生所占比例为， 故生史地组合应抽取人，选择D正确. 故选：ACD. 题型04 茎叶图的应用 【例4】已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．甲命中个数的极差为29 B．乙命中个数的众数是21 C．甲的命中率比乙高 D．甲每组命中个数的中位数是25 【答案】D 【详解】根据茎叶图可知甲命中最多37，最少8，即极差为29，故A正确； 显然乙命中个数的众数为21，出现两次，故B正确； 甲命中共214个，乙命中共169个，所以甲命中率高，故C正确； 甲命中的个数中位数为，故D错误. 故选：D 【变式4-1】在某演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为 ． 【答案】/1.6 【详解】由茎叶图可知评委打出的最低分78，最高分94． 其余得分为85，85，85，87，88，故平均分为， 方差为． 故答案为：. 【变式4-2】在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【答案】B 【详解】甲的平均值为：， 甲的方差为： 乙的平均值为：， 乙的方差为：. 故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 故选：B 【变式4-3】在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（    ）      A．甲得分的极差是18 B．乙得分的中位数是16.5 C．甲得分更稳定 D．甲的单场平均得分比乙低 【答案】B 【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于，故A错误； 从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误； 乙的数据由小到大依次为： 乙得分的中位数为，故B正确. 乙得分的平均数为， 从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为，另一个可设为， 其中， 故其平均数为，故D错误. 故选：B. 【变式4-4】某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 【答案】茎叶图见解析，由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高.理由见解析 【详解】如图所示： 男党员教师日均得分 女党员教师日均得分 6 2 0 1 1 7 7 9 5 3 2 8 8 8 3 4 6 7 1 4 0 1 由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高. 理由如下： 男党员教师的“学习强国”的日均得分集中在茎1，2上，而女党员教师日均得分集中在茎1，3上，由此可以判断女党员教师学习“学习强国”的积极性更高. 题型05 频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【例5】某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 【答案】A 【详解】由图表可知今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：A 【变式5-1】从某网络平台推荐的影视作品中抽取200部，统计其评分数据，将所得200个评分数据分为6组：，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图： 则评分在区间内的影视作品数量是 部. 【答案】85 【详解】评分在区间内的影视作品数量是部. 故答案为：85. 【变式5-2】工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在内，将其分成，， ，，，共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有名员工，则估计得分少于分的人数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由频率分布直方图，，解得. 因为得分小于的频率为，故估计得分少于分的人数为. 故选：C. 【变式5-3】如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取 家．    【答案】7 【详解】由题意，解得， 所以销量在的频率为，频数为， 所以若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家， 则应从销售量在内的销售商中抽取家. 故答案为：7 【变式5-4】某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为 . 【答案】/ 【详解】第六组的频率为，所以第七组的频率为: . 故答案为：. （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 题型06 频率分布直方图计算平均数、众数、中位数 【例6】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：    (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的中位数(结果取整数值)； 【答案】(1)0.3，图象见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）因为各组的频率和等于1， 故第四组的频率： 直方图如右所示．    （2）成绩在的频率为 成绩在的频率为：， 中位数在内，设中位数为， 中位数要平分直方图的面积， ，解得， 即中位数为. 【变式6-1】（多选）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】ACD 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． 【变式6-2】（多选）南开中学为了了解学生假期社会实践时间情况，在全校高一、高二年级所有学生中抽取了容量为的样本，统计发现这部分学生假期一个月内的社会实践时间（单位：）均在内，将其分成、、、、、六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中社会实践时间不低于小时的学生称为“实践之星”.则下列选项正确的是（    ） A． B．学生社会实践时间的中位数大于平均数 C．学生社会实践时间的众数为 D．用分层抽样抽取人采访，则其中“实践之星”有人 【答案】BC 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得，A错； 对于B选项，设学生社会实践时间的中位数、平均数分别为、， 前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为，所以， 由中位数的定义可得，解得， 由平均数公式额可得， 所以，B对； 对于C选项，学生社会实践时间的众数为，C对； 对于D选项，“实践之星”所占的比例， 所以用分层抽样抽取人采访，则其中“实践之星”的人数为，D错. 故选：BC. 【变式6-3】从某校参与数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成果分布，将样本分成组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：，最右边的一组的频数是．请结合直方图的信息，解答下列问题：    (1)样本容量是多少？ (2)成果落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率； (3)估计这次数学竞赛成果的众数、中位数和平均数. 【答案】(1)68 (2)70~80分之间的人数最多，频率为，频数为24. (3)75，75.83，75 【分析】 【详解】（1）由从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：， 可得从左到右各小组的频率分别为， 故样本容量为. （2）由频率分布直方图知，成果落在~分的人数最多，该小组的频率为， 故频数为. （3）众数的估计值是， 中位数的估计值是， 平均数的估计值是. 【变式6-4】某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【答案】(1)50，0.03，0.004 (2)71，70.6 【分析】 【详解】（1）由题意可知，样本容量为，， ； （2）设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数:最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 题型07 频率分布直方图计算百分位数 【例7】某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 频率之和为1，故，即，解得， 故. （2）因为，， 所以这50名学生的数学成绩的第80百分位数在内，设为， 则，，， 解得， 故这50名学生的数学成绩的第80百分位数为. （3）这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分为： . 【变式7-1】某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） B．第60百分位数估计值为71 C．众数的估计值为75 D．随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分 【答案】C 【详解】对于A中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的平均数为： ，所以A不正确； 对于B中，由前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以数据的60百分位数落在第4个矩形，设为，则，所以B错误； 对于C中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的众数为，所以C正确； 对于D中，根据频率分布直方图，可得位于的频率为， 则，所以随机选取这100名学生中只有30名学生物理成绩不低于80分，所以D错误. 故选：C. 【变式7-2】某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（   ）    A．估计该年级学生成绩的众数约为75 B． C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【答案】B 【详解】由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，解得，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确． 故选：B． 【变式7-3】（多选）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（    ）    A．考生参赛成绩的平均分约为分 B．考生参赛成绩的第百分位数约为分 C．分数在区间内的频率为 D．用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 【答案】AC 【详解】A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为 ，故A正确； B：因为，， 所以考生参赛成绩的第百分位数位于区间，则第百分位数为，故B错误； C：分数在区间内的频率为，故C正确； D：在区间应抽取，故D错误. 故选：AC. 【变式7-4】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的平均数和众数； (3)样本成绩的第80百分位数 【答案】(1)0.030 (2)平均数为74，众数为75 (3)86 【分析】 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，， 解得. （2）平均数为， 所以样本成绩的平均数为74. 由频率分布直方图可知样本成绩的众数为75. （3）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第80百分位数为，则， 由，解得， 所以第75百分位数为86. 根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 一、单选题 1．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（    ）    A．样本中对平台一满意的消费者人数约700 B．样本中对平台二满意的消费者人数为20 C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则 【答案】C 【详解】对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误； 对于B：样本中对平台二满意的人数为，故选项B错误； 对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确： 对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误． 故选：C. 2．下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（    ） A．超过的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是 【答案】C 【详解】A选项，更爱使用购物类APP的大学生比例为，A错误； B选项，为了学习与生活需要使用APP的大学生比例为，B错误； C选项，使用APP偏好情况中7个占比中，数字极差为，C正确； D选项，，故从小到大，选取第3个作为分位数，即，D错误. 故选：C 3．甲､乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示： ①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的成绩比乙同学稳定； ④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】B 【详解】根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是，极差为34， 乙同学成绩的中位数是，极差为16， 所以甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大，故①正确； 甲同学的平均分是，乙同学的平均分是， 所以乙同学的平均分高，故②错误； 由茎叶图可知乙同学成绩数据比较集中，方差小，甲同学成绩数据比较分散，方差大，故③错误，④正确. 所以说法正确的是①④． 故选：B． 4．某数学教师为了解、两个班级学生的数学竞骞成绩，将两个班级各10名参加竞赛选拔考试的成绩绘成茎叶图如图所示．设、两班的平均成绩分别为，中位数分别为、，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由茎叶图可知：，， ，， 可得：， 故选． 【点睛】本题考查茎叶图、平均数以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（    ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的下四分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 【答案】C 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，评分在的频率为，评分在的人数约为，B正确； 对于C，评分在的频率为，评分在的频率为， 则评分的下四分位数在内， 由，解得，C错误； 对于D，评分的平均数，D正确. 故选：C 6．福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有850人 B．直方图中的值为0.025 C．估计全体学生成绩的样本数据的分位数约为95 D．估计全体学生成绩的中位数为85 【答案】C 【详解】由图，可得，B错； 成绩在区间内的学生有人，A错； 由图知，样本数据的分位数在区间内，设为，则，可得，C对； 由图知，样本数据的中位数在区间内，设为，则，可得，D错； 故选：C 二、多选题 7．十项全能的比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（    ） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当 C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 【答案】BD 【详解】对于A，由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误； 对于B，由雷达图可知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，B正确； 对于C，甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，故乙的各项得分比甲的各项得分更均衡，C错误； 对于D，甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小于200，D正确． 故选：BD． 8．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．样本答卷成绩的中位数为70 C．样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D．在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 【答案】ABD 【详解】选项A：由频率之和为1，即：，可得，故A正确； 选项B：由于前两组频率之和恰好是0.5，所以中位数是70，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：由于成绩在、两组的人数分别为10人、5人，则在中应该抽取：人，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为 ． 【答案】25 【详解】由图，则. 从而分数在区间的人数为. 故答案为： 10．某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为 . 【答案】 【详解】由统计图知，演讲社团共有50人，占比，则总人数为人， 又合唱社团共有200人，占比为． 故答案为： 11．某企业为了更好地监测设备运转，引进了一套温控系统，通过物联网传感器每分钟记录一次设备温度值．如图，以下是根据某天记录的1000个温度值（记录的温度值均为整数）（单位：）作出的频率分布直方图，则直方图中实数 ，若该企业规定设备温度超过为异常，试估计该天记录的这1000个温度值中异常的温度值的频率为 ．    【答案】 【分析】 【详解】由图知， 解得：； 超过的频率为：. 故答案为：，． 四、解答题 12．为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【答案】(1)200 (2)答案见解析 (3)560 【分析】 【详解】（1）由条形图和扇形图，选择劳技的人数为60人，百分率是， 则被调查学生的总人数为：（人）； （2）选择文学的百分率是，由（1）知被调查学生的总人数为人； 则选择文学的学生人数为：（人）， 选择体育的学生人数：（人）， 完成的条形图如下： （3）选择体育类的百分比为， 所以估计全校选择体育类的学生有（人） . 13．为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】 【详解】（1）. （2）因为， 所以在，，内应各抽取： ，，. 故在，，内分别抽取，，人. 14．某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ (2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 【答案】(1) (2)分 【分析】 【详解】（1）由题意有：，解得， 采用分层抽样在内的学生人数有：， 所以成绩在内的学生有2个； （2）因为成绩在内的频率为：， 所以最低分数为：， 所以估计获得表彰的学生的最低分数为分. 15．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下： (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数，平均数，中位数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？（精确到整数位） 【答案】(1)众数，平均数，中位数 (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据频率分布直方图知，区间的频数最大，所以估计众数为， 平均数为， 设中位数为，因为日销售量之间的频率为， 日销售量之间的频率为， 所以. （2）解：由频率分别直方图知， 日销售量之间的频率为， 日销售量之间的频率为， 所以所求的量位于区间之间， 设每天的该进量为千克，则， 所以每天应该进量为千克. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1.3 数据的直观表示&专题5.1.4 用样本估计总体 教学目标 1．理解柱形图、折线图、扇形图的特征与适用场景，能根据数据特点选择合适的图表表示数量关系或比例情况。 2．掌握茎叶图的定义和绘制方法，知晓其优缺点，能从茎叶图中提取最值、中位数等数字特征。 3．熟记频率分布直方图的绘制步骤，理解其核心性质（小长方形面积表示频率、面积和为 1），能完成直方图的绘制与解读。 教学重难点 重点：各类统计图表的特点与绘制方法；从图表中准确提取数据信息。 难点：频率分布直方图的绘制步骤及性质应用；根据数据特征选择恰当的直观表示图表。 知识点01 柱形图 柱形图也称为条形图，可以形象地比较各种数据之间的数量关系。 一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图的每一矩形都是_______的。 【即学即练】 1．如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 2．（多选）2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 知识点02 折线图 一般地，如果数据随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示，当然，折线图也可以用在其他合适的情形中。 【即学即练】 3．2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（   ） 备注：同比增长率， 环比增长率=. A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0% D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25% 4．（多选）如图是某地2024年各月同比和环比涨跌幅情况，则下列叙述正确的有（    ） A．全年各月同比涨跌幅的极差小于各月环比涨跌幅的极差 B．5月份到7月份的各月同比涨幅越来越大 C．全年各月环比涨跌幅的平均值为 D．3月份到12月份各月同比涨跌幅的分位数为 知识点03 扇形图 扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的_______情况，扇形图中，每一个扇形的_______以及_______，都与这一部分表示的数据大小成_______。 【即学即练】 5．某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 6．为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：    若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（    ） A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数 B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大 C．第一车间所有职工平均年龄为岁 D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和 知识点04 茎叶图 1、定义：将所有两位数的十位数字作为_______，个位数字作为_______，茎相同者共用一个茎，茎按从小到达的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）. 2、一般地，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列。茎叶图也可以只表示一组数。 将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征。 3、茎叶图的有点与不足： （1）优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。 （2）不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便。 【即学即练】 7．某箱中有一些纸卡，每张纸卡上都有一个数字．下面的茎叶图显示纸卡上的数字的分布． 伟安从该箱中随机抽出一张纸卡．若所抽出的纸卡上的数字小于15，则他不获代币；若所抽出的纸卡上的数字在15与30之间，则他获60枚代币；否则，他获120枚代币，求伟安所获代币的数目的期望值（　　） A．30 B．36 C．42 D．60 8．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则 .    知识点05 频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求_______(即一组数据中最大值与最小值的差)； 第2步：决定组距与_______； 第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表； 第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示_______与_______的比值). 2.频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的_______表示，且各小长方形的_______的和等于1. 【即学即练】 9．（多选）阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表）（多选） 10．假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值. (2)从和这两组用按比例分层抽样的方法抽取7名学生，则和中抽取的人数分别是多少？ 题型01 柱形图的应用 【例1】如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（   ） A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 【变式1-1】（多选）如图是根据国家统计局发布的我国2012年至2021年的人口出生率(单位：‰)绘制的条形统计图，根据该图，则下列说法错误的是（    ） A．这10年的人口出生率逐年下降 B．这10年的人口出生率有升有降 C．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45% D．这10年的人口出生率的平均数小于12‰ 【变式1-2】为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分十分制情况如图所示，则下列描述不正确的是（    ） A．两组数据的平均数都是6分 B．两组数据的中位数都是6分 C．两组数据的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【变式1-3】黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（   ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中男生人数少于女生人数 D．样本中选择物理学科的人数较多 【变式1-4】（多选）截至2025年3月17日中午12：58，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房已达151.25亿元人民币，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影.下图是2025年1月29日至3月9日（共40天）该电影内地单日票房条形图，由此可知下列结论中正确的是（   ） A．这40天该电影内地单日票房中最高的是2月4日 B．这40天该电影内地单日票房中大于1亿元的天数比例超过70% C．这40天该电影内地单日藜房的第70百分位数大于5亿元 D．这40天该电影内地单日票房的平均数大于5亿元 题型02 折线图的应用 【例2】空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图：    根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B．10月8日至27日的AQI的极差小于150 C．10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D．10月8日至27日的AQI逐渐增大 【变式2-1】某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了如图所示的折线图．已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是（    ）    A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 B．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）（多选）的最大值出现在1月份 D．最低气温低于的月份有4个 【变式2-2】（多选）采购经理指数（PurchasingManagers＇Index，简称PMI）：是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用．PMI涵盖着生产与流通､制造业与非制造业等领域，分为制造业PMI､服务业PMI．制造业PMI指数在以上，反映制造业总体扩张；低于，通常反映制造业衰退．下图为我国制造业采购经理指数（PMI）变化趋势图，则下列说法正确的是（    ）    A．根据上图可知有一半的月份我国的制造业总体在扩张 B．这13个月的PMI值的平均数不超过 C．这13个月的PMI值的中位数是 D．2025年1-4月的PMI的方差小于2025年5-8月的PMI的方差 【变式2-3】（多选）如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（    ）    A．1月至7月全社会用电量逐月增加 B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D．1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 【变式2-4】（多选）北京时间2024年7月27日，中国双人组合在巴黎奥运会中夺得射击混合团体10米气步枪冠军，这是2024巴黎奥运会产生的首枚金牌，也是中国代表团在本届奥运会获得的首枚金牌．中国队的两名运动员在决赛中的14次射击环数如图所示，则（    ） A．乙运动员的平均射击环数约为10.4 B．甲运动员射击环数的第75百分位数为10.6 C．乙运动员射击环数的方差小于甲运动员射击环数的方差 D．甲运动员射击环数的极差小于乙运动员射击环数的极差 题型03 扇形图的应用 【例3】某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中错误的是（ ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【变式3-1】某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（   ） A．女生人数和男生人数一样多 B．组中男生人数多于女生人数 C．组男生人数为24人 D．组人数最少 【变式3-2】某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（    ）    A．女生人数多于男生人数（    ）（多选） B．层次男生人数多于女生人数 C．层次男生人数为24人 D．层次人数最少 【变式3-3】（多选）如图是某公司2020年和2024年支出的比例分配图，其中这两年用于文体活动的支出费用相等，则（    ） A．2024年总支出比2020年增长 B．用于宣发的支出2024年比2020年多 C．用于水电的支出2024年与2020年相等 D．用于工资的支出2024年比2020年增长 【变式3-4】（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 题型04 茎叶图的应用 【例4】已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．甲命中个数的极差为29 B．乙命中个数的众数是21 C．甲的命中率比乙高 D．甲每组命中个数的中位数是25 【变式4-1】在某演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为 ． 【变式4-2】在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【变式4-3】在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（    ）      A．甲得分的极差是18 B．乙得分的中位数是16.5 C．甲得分更稳定 D．甲的单场平均得分比乙低 【变式4-4】某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 题型05 频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【例5】某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为（    ） A．68 B．27 C．66 D．86 【变式5-1】从某网络平台推荐的影视作品中抽取200部，统计其评分数据，将所得200个评分数据分为6组：，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图： 则评分在区间内的影视作品数量是 部. 【变式5-2】工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在内，将其分成，， ，，，共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有名员工，则估计得分少于分的人数为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-3】如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取 家．    【变式5-4】某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为 . （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 题型06 频率分布直方图计算平均数、众数、中位数 【例6】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：    (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的中位数(结果取整数值)； 【变式6-1】（多选）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 【变式6-2】（多选）南开中学为了了解学生假期社会实践时间情况，在全校高一、高二年级所有学生中抽取了容量为的样本，统计发现这部分学生假期一个月内的社会实践时间（单位：）均在内，将其分成、、、、、六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中社会实践时间不低于小时的学生称为“实践之星”.则下列选项正确的是（    ） A． B．学生社会实践时间的中位数大于平均数 C．学生社会实践时间的众数为 D．用分层抽样抽取人采访，则其中“实践之星”有人 【变式6-3】从某校参与数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成果分布，将样本分成组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：，最右边的一组的频数是．请结合直方图的信息，解答下列问题：    (1)样本容量是多少？ (2)成果落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率； (3)估计这次数学竞赛成果的众数、中位数和平均数. 【变式6-4】某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数:最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 题型07 频率分布直方图计算百分位数 【例7】某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 【变式7-1】某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） B．第60百分位数估计值为71 C．众数的估计值为75 D．随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分 【变式7-2】某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（   ）    A．估计该年级学生成绩的众数约为75 B． C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【变式7-3】（多选）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（    ）    A．考生参赛成绩的平均分约为分 B．考生参赛成绩的第百分位数约为分 C．分数在区间内的频率为 D．用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 【变式7-4】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的平均数和众数； (3)样本成绩的第80百分位数 根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 一、单选题 1．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（    ）    A．样本中对平台一满意的消费者人数约700 B．样本中对平台二满意的消费者人数为20 C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则 2．下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（    ） A．超过的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是 3．甲､乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示： ①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的成绩比乙同学稳定； ④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 4．某数学教师为了解、两个班级学生的数学竞骞成绩，将两个班级各10名参加竞赛选拔考试的成绩绘成茎叶图如图所示．设、两班的平均成绩分别为，中位数分别为、，则　　 A． B． C． D． 5．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（    ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的下四分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 6．福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有850人 B．直方图中的值为0.025 C．估计全体学生成绩的样本数据的分位数约为95 D．估计全体学生成绩的中位数为85 二、多选题 7．十项全能的比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（    ） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当 C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 8．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．样本答卷成绩的中位数为70 C．样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D．在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 三、填空题 9．某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为 ． 10．某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为 . 11．某企业为了更好地监测设备运转，引进了一套温控系统，通过物联网传感器每分钟记录一次设备温度值．如图，以下是根据某天记录的1000个温度值（记录的温度值均为整数）（单位：）作出的频率分布直方图，则直方图中实数 ，若该企业规定设备温度超过为异常，试估计该天记录的这1000个温度值中异常的温度值的频率为 ．    四、解答题 12．为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 13．为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 14．某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ (2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 15．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下： (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数，平均数，中位数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？（精确到整数位） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $