4.7 数学建模活动：生长规律的描述 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.7　数学建模活动:生长规律的描述 一、数学建模 对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,用数学的思想方法分析、解决这个问题,这个过程就是数学建模. 二、数学建模的基本步骤 数学建模的一般步骤如下: (1)发现问题、提出问题;(2)分析问题、建立模型;(3)确定参数、计算求解;(4)验证结果、改进模型. 一、数学建模实例 1.观察实际情景,发现和提出问题 登山既可以游览户外美景,又可以锻炼身体,一举多得.从身体需氧的角度讲,当大气压低于0.65个大气压时,就会比较危险,那么常人登山的高度控制在多少米之内比较安全呢? 2.收集数据 设海平面上(海拔高度为0米)是一个标准大气压,随着海拔高度的增加,气压越来越低.当海拔高度为1000米时,约为0.891个大气压;当海拔高度为10 000米时,约为0.317个大气压;当海拔高度为20 000米时,约为0.102个大气压. 3.分析数据 设海拔高度为x千米的地方,气压为y个标准大气压.根据上面搜集到的数据,画出散点图,根据图象找出合适的函数模型进行拟合.根据散点图(图略)可知,y随x的增大而减小,且依题意,函数不可能是一次函数,也不可能是反比例函数,而选用指数型函数较适合.选择函数y=kax(k≠0,a>0且a≠1)来近似地刻画大气压强随海拔高度变化的规律. 4.建立模型 设y=kax(k≠0,a>0且a≠1),由x=0时,y=1,知k=1,即y=ax. 由0.891=a1,得a=0.891;由0.317=a10,得a≈0.891;由0.102=a20,得a≈0.892. 所以y≈0.891x. 故得到一个函数模型y=0.891x. 5.检验模型 根据查到的海拔高度与大气压强的数值对应表,可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合. 6.求解问题 设0.65=0.891x,构造函数g(x)=0.891x-0.65, 用二分法求此函数的零点x0: g(5)<0,g(0)>0,x0∈(0,5); g(2.5)>0,g(5)<0,x0∈(2.5,5); g(3.75)<0,g(2.5)>0,x0∈(2.5,3.75); g(3.125)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.125,3.75); g(3.437 5)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.437 5,3.75). 可取x0=3.6,所以从身体需氧的角度讲,常人登山的高度控制在3600米之内比较安全. 二、数学建模活动研究报告 建立人口增长模型解决实际问题 　　　年　　　班　　研究报告:　　年　月　日  课题名称 某城市人口增长与人口控制 课题组成 员及分工 实际 问题 某城市现有人口为200万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出经过x年后,该城市人口y(万人)与x(年)的函数关系式; (2)估算8年后该城市的人口(精确到0.01万人) 建立函数 关系式 y=200×(1+1.2%)x 分析与 解答 (1)1年后该城市人口为y=200+200×1.2%=200×(1+1.2%)(万人), 2年后该城市人口为y=200×(1+1.2%)+200×(1+1.2%)×1.2%=200×(1+1.2%)2(万人), 3年后该城市人口为=200×(1+1.2%)2+200×(1+1.2%)2×1.2%=200×(1+1.2%)3(万人), …… x年后该城市人口为y=200×(1+1.2%)x(万人). (2)8年后该城市的人口为y=200×(1+1.2%)8=200×1.0128≈220.03(万人) 说明与 解释 指导教师 审核意见 到附近的商店、工厂、学校做实际调查,了解函数在实际中的应用,把遇到的实际问题转化为函数关系并作出解答,写出研究报告. 1.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个当天的得分y与锻炼时间x(单位:分钟,0≤x≤60)的函数关系式,要求如下: (i)函数的大致图象如图所示; (ii)当天的锻炼时间为0分钟时,得分为0分; (iii)当天的锻炼时间为9分钟时,得分为6分; (iv)每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择: ①y=k+b(k>0);②y=k·1.01x+b(k>0);③y=3log3(kx+3)+m(k>0). (1)请根据函数图象与性质,结合题设条件,从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式; (2)若学校要求每天的得分不少于9分,求每天至少锻炼多少分钟? (参考数据:log3163≈4.64) 2.某化工企业响应国家环保政策,逐渐减少所排放废气中的污染物含量,不断改良工艺.已知改良工艺前所排放废气中的污染物含量为2.32 mg/m3,首次改良后所排放废气中的污染物含量为2.25 mg/m3.设改良工艺前所排放废气中的污染物含量为r0,首次改良工艺后所排放废气中的污染物含量为r1,则第n次改良后所排放废气中的污染物含量rn可由函数模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出. (1)试求改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式; (2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中的污染物含量不能超过0.08 mg/m3,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的污染物含量达标.(取lg 2=0.3) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7　数学建模活动:生长规律的描述 【建模应用】 1.分析问题:(1)根据三种函数的图象特征选择合适的函数模型,然后代入(0,0)和(9,6)解方程组即可得解析式; (2)令y≥9,求出不等式的解集即可. 解决问题:(1)模型①y=k+b(k>0),由图象过点(0,0),(9,6), 得解得则y=2,当x≥36时,y≥12,不符合题意; 模型②y=k·1.01x+b(k>0)为爆炸增长型函数,不符合题意; 故选模型③y=3log3(kx+3)+m(k>0). 由题知解得所以y=3log3-3,x∈[0,60]. (2)由(1)知,y=3log3-3, 令3log3-3≥9,得log3≥4,解得x≥29.25,所以每天至少锻炼29.25分钟. 2.分析问题:在已知函数模型的情况下,先根据题意令n=1,并代入相关数据以确定函数模型中的参数,进而确定函数解析式. 解决问题:(1)由题意得r0=2.32,r1=2.25. 当n=1时,r1=r0-(r0-r1)·50.5+p, 即2.25=2.32-(2.32-2.25)·50.5+p,解得p=-0.5, 所以rn=2.32-0.07×50.5n-0.5(n∈N*), 故改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式为rn=2.32-0.07×50.5n-0.5(n∈N*). (2)令rn=2.32-0.07×50.5n-0.5≤0.08, 整理得50.5n-0.5≥,即50.5n-0.5≥32, 两边同时取对数得0.5n-0.5≥log532=,整理得n≥2×+1. 将lg 2=0.3代入得n≥2×+1=+1≈5.3, 因为n∈N*,所以n≥6. 故至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的污染物含量达标. 学科网（北京）股份有限公司 $