4.4 幂函数 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.4　幂函数 【课前预习】 知识点一 y=xα 知识点二 2.(1)(0,+∞)　(1,1)　(2)增函数　先快后慢　先慢后快　(3)减函数　y　x 诊断分析 1.m>n>0或n<m<0 2.解:幂函数的图象不能经过第四象限,因为当x>0时,xα>0(其中α∈R). 【课中探究】 例1　(1)A　(2)BCD　[解析] (1)设f(x)=xα,因为函数f(x)的图象经过点(4,),所以4α=,解得α=,所以f(x)= ,所以f(81)==3,故选A. (2)根据幂函数的定义知B,C,D中的函数均是幂函数,A中的函数y=ex为指数函数,故选BCD. (3)解:①若f(x)为正比例函数,则解得m=1. ②若f(x)为反比例函数,则解得m=-1. ③若f(x)为二次函数,则解得m=. ④若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1±. 变式　(1)A　(2)y=　[解析] (1)因为函数f(x)=(k-1)xk+1是幂函数,所以k-1=1,解得k=2,所以f(x)=x3,所以f(2)=23=8.故选A. (2)将(2,)代入y=xa,得=2a,解得a=,所以该幂函数的解析式为y=. 例2　(1)A　(2)C　[解析] (1)当a>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减,并且在直线x=1的右侧,图象自下而上所对应的函数的幂指数a依次增大,所以C1对应的a=4,C2对应的a=,C3对应的a=-,C4对应的a=-4.故选A. (2)函数y=xα是幂函数,函数y=αx是一次函数.在A中,直线对应的函数为y=x,曲线对应的函数不为y=x,故A不满足题意;在B中,直线对应的函数为y=2x,曲线对应的函数不为y=x2,故B不满足题意;在C中,直线对应的函数为y=2x,曲线对应的函数为y=x2,故C满足题意;在D中,直线对应的函数为y=-x,曲线对应的函数不为y=x-1,故D不满足题意.故选C. 变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)函数f(x)=logax,g(x)=a-x的单调性一定相反,且f(x),g(x)的图象均不过原点,故排除A,D;在B,C选项中,过原点的图象为幂函数h(x)=xa的图象,由h(x)的图象可知0<a<1,所以f(x)=logax单调递减,g(x)=a-x单调递增,故排除B.故选C. (2)函数y=是幂函数,定义域为R,又=,所以y=为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A,D;由0<<1,得函数y=在(0,+∞)上单调递增,排除C.故选B. 例3　(1)B　(2)BD　[解析] (1)令x-1=1,得x=2,此时y==1,∴y=的图象恒过定点(2,1).故选B. (2)f(x)==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A错误;f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故B正确;因为f(-x)=(-x=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,故C错误;由f(x)>1,得>1,解得0<x<1,故D正确.故选BD. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)对于A,设f1(x)==,该函数的定义域为R,因为f1(-x)===f1(x),所以函数f1(x)=为偶函数,函数f1(x)=在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数,故A不符合题意;对于B,设f2(x)==,该函数的定义域为[0,+∞),则函数f2(x)为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于C,设f3(x)=x-2=,该函数的定义域为{x|x≠0},因为f3(-x)===f3(x),所以函数f3(x)为偶函数,函数f3(x)=x-2在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,故C符合题意;对于D,设f4(x)==,函数f4(x)的定义域为(0,+∞),则函数f4(x)为非奇非偶函数,故D不符合题意.故选C. (2)∵f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,∴-1<m<3,又m∈Z,∴m=0,1,2.当m=0,2时,f(x)=x3是奇函数;当m=1时,f(x)=x4是偶函数,不符合题意.所以m=0或2.故选D. 【课堂评价】 1.C　[解析] 只有y=和y=x0是幂函数,故选C. 2.C　[解析] 设f(x)=xα,则2α=,解得α=-2,所以f(x)=x-2,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(-x)=x-2=f(x),所以f(x)为偶函数,显然其单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).故选C. 3.B　[解析] y==,由x3≥0,得x≥0,即函数的定义域为[0,+∞),且在定义域上单调递增,故B正确. 4.AB　[解析] 设f(x)=xα,则=,解得α=-4,所以f(x)=x-4,故A正确;y==是幂函数,故B正确;因为-<0,所以函数y=在(0,+∞)上单调递减,故C错误;幂函数y=x-1的图象不过点(0,0),故D错误.故选AB. 5.1　[解析] 因为函数f(x)=(3m2-2m)x-m是幂函数,所以3m2-2m=1,解得m=1或m=-.当m=1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,则f(2)>f(3),符合题意;当m=-时,f(x)=在(0,+∞)上为增函数,则f(2)<f(3),不符合题意.故m=1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　幂函数 【学习目标】 1.掌握幂函数的概念、图象和性质; 2.熟悉α=1,2,3,,-1时的五类幂函数的图象、性质及其特点; 3.能利用幂函数的图象与性质解决综合问题. ◆ 知识点一　幂函数的概念 一般地,函数　　　　称为幂函数,其中α为常数.  注意:幂函数的系数为1. ◆ 知识点二　幂函数的图象与性质 1.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象如图所示. 2.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间　　　　上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点　　　　.  (2)如果α>0,那么幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是　　　　　.当0<α<1时,幂函数的图象在区间[0,+∞)上的增长情况是　　　　　　;当α>1时,幂函数的图象在区间[0,+∞)上的增长情况是　　　　　　.  (3)如果α<0,那么幂函数在区间(0,+∞)上是　　　　　,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近　　　　轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限逼近　　　　轴.   3.幂函数之间的关系 当x>1时,若α1<α2,则<; 当0<x<1时,若α1<α2,则>. 【诊断分析】 1.当x>1时,若函数y=xm的图象在函数y=xn的图象的上方,则m与n的大小关系是　　　　　　　　　　　　.  2.幂函数的图象能经过第四象限吗?为什么? ◆ 探究点一　幂函数的概念 例1 (1)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,),则f(81)= (　 ) A.3 B.3 C.9 D.9 (2)(多选题)[2026·哈尔滨高一期末] 下列函数中是幂函数的是 (　 ) A.y=ex B.y=x3 C.y= D.y= (3)已知函数f(x)=(m2+2m)·,则当m分别为何值时,f(x)是:①正比例函数;②反比例函数;③二次函数;④幂函数? 变式 (1)已知函数f(x)=(k-1)xk+1是幂函数,则f(2)= (　 ) A.8 B.4 C.2 D.1 (2)若点(2,)在幂函数y=xa的图象上,则该幂函数的解析式为 　　　　.  [素养小结] 判断函数是幂函数的依据: (1)指数为常数;(2)系数为1. ◆ 探究点二　幂函数的图象 例2 (1)当a分别取,4,-4,-这四个值时,幂函数y=xa的部分图象如图所示,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的a依次为 (　 ) A.4,,-,-4 B.-4,-,,4 C.-,4,-4, D.4,,-4,- (2)下列关于函数y=xα与y=αx的图象正确的是 (　 ) A B C D 变式 (1)在同一直角坐标系中,函数f(x)=logax,g(x)=a-x,h(x)=xa的部分图象可能是(　 ) A　　B C　　D (2)[2026·云南文山高一期末] 函数y=的大致图象为 (　 ) A　　B C　　D [素养小结] 解决幂函数的图象问题需把握两个原则: (1)依据图象高低判断幂指数的大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”). (2)由图象确定幂指数α与0,1的大小关系,需根据幂函数在第一象限内的图象来判断. ◆ 探究点三　幂函数的性质 例3 (1)函数y=的图象恒过定点 (　 ) A.(1,0) B.(2,1) C.(0,-1) D.(m+1,1) (2)(多选题)下列关于幂函数f(x)=的说法中正确的有 (　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞) C.f(x)为偶函数 D.不等式f(x)>1的解集为(0,1) 变式 (1)下列函数中,在区间(-∞,0)上是增函数且其图象关于y轴对称的是 (　 ) A.y= B.y= C.y=x-2 D.y= (2)[2026·山西晋中高一月考] 已知幂函数f(x)=(m∈Z)为奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,则m= (　 ) A.1或4 B.0或4 C.1或2 D.0或2 [素养小结] (1)幂函数f(x)=xα的单调性:如果α>0,那么幂函数在(0,+∞)上为增函数;如果α<0,那么幂函数在(0,+∞)上为减函数. (2)利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内. 1.在函数y=,y=2x3,y=-1,y=x0中幂函数的个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知幂函数f(x)的图象过点,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)是偶函数,其单调递增区间为(0,+∞) B.f(x)是偶函数,其单调递减区间为[0,+∞) C.f(x)是偶函数,其单调递增区间为(-∞,0) D.f(x)是奇函数,其单调递增区间为(-∞,+∞) 3.函数y=的大致图象是(　 ) A B C D 4.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.若幂函数y=f(x)的图象过点,则f(x)=x-4 B.函数y=表示幂函数 C.函数y=在(0,+∞)上单调递增 D.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1) 5.[2026·江苏常州高一期末] 已知幂函数f(x)=(3m2-2m)x-m满足f(2)>f(3),则m=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $