第四章 指数函数、对数函数与幂函数复习讲义（高效培优讲义）（14大题型）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数复习讲义 教学目标 1．掌握指数（根式、分数指数幂）和对数的运算性质，会进行指数、对数互化及换底，能熟练开展相关运算。 2．理解指数函数、对数函数、幂函数的概念，熟记其定义域、值域、单调性、定点等核心性质，能画出大致图象。 3．知晓指数函数与对数函数互为反函数，掌握二者图象关于直线y=x对称的性质，了解反函数的基本概念。 4．能运用指对幂函数的性质解决比较大小、简单求值等问题，初步掌握三类函数的应用方法。 教学重难点 1. 重点 指数与对数的运算性质；指数函数、对数函数、幂函数的图象与核心性质；指数函数与对数函数的反函数关系。 2. 难点 对数运算性质的灵活运用；指对幂函数性质的综合应用；反函数概念的理解及简单求法。 知识点01 指数运算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点02 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 知识点03 对数的运算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 知识点04 对数函数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点05 反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 知识点06 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递减 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型01 指数与对数混合运算 【典例1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，求以及的值； （2）求值：． 【变式1-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）（1）求值； （2）已知，求的值． 【变式1-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【变式1-3】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）（1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 题型02 指数运算中的条件求值 【典例2】（2026·高三·江苏·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式2-1】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（ ） A．5 B． C． D． 【变式2-2】（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 题型03 用已知对数表示其他对数 【典例3】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·上海虹口·阶段检测）设，则用表示（    ） A． B． C． D． 题型04 指数函数与对数函数定义 【典例4】若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【变式4-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 题型05 指数函数的图象与性质 【典例5】（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型06 对数函数的图象与性质 【典例6】（2026·高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-1】（2026·高一·广东湛江·期末）函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 【变式6-2】（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·甘肃金昌·三模）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 幂函数的图象与性质 【典例7】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【变式7-1】（2026·高一·云南昭通·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 题型08 指数函数与对数函数过定点 【典例8】（2026·高一·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【变式8-1】（2026·高一·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式8-2】（2026·高一·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·河北邢台·期中）函数的图象恒过定点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型09 指数函数与对数函数定义域 【典例9】设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·高一·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·高一·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型10 指数函数与对数函数的值域 【典例10】已知，试求的最大值和最小值 【变式10-1】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)解关于的不等式：； (3)求函数的值域． 【变式10-2】（2026·高一·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【变式10-3】（2026·高一·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)令函数，，求函数的值域． 题型11 利用单调性解指/对不等式 【典例11】（2026·高一·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【变式11-1】解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【变式11-2】（2026·高一·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 【变式11-3】设a为常数且，解关于x的不等式． 题型12 指对幂比较大小问题 【典例12】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型13 反函数 【典例13】设分别是关于的方程和的根，则________． 【变式13-1】设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【变式13-2】（2026·高一·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【变式13-3】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为________． 题型14 指对数函数模型 【典例14】（2026·高一·四川泸州·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【变式14-1】（2026·高一·四川成都·期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【变式14-2】（2026·高一·北京·期末）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 【变式14-3】（2026·高一·湖南长沙·开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示： x 3 8 15 24 Q（x）（套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元. (1)求k的值； (2)给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低. 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 4．函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 5．当时，函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·河南平顶山·开学考试）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 7．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高三·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．求分别经过3个小时和4个小时，这种细菌由1个可繁殖成（    ） A．511个 B．512个 C．4095个 D．4096个 10．（多选题）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则此最小值为________万元． 12．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知 ，则 的值为______． 13．计算______. 14．（2026·高一·宁夏银川·期中）计算求值： (1) (2)若 ，求 的值. 15．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 16．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 1．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·广西百色·期末）已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2026·高一·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 5．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 6．（2026·高三·山东·阶段检测）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 9．（多选题）（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 10．（多选题）（2026·高一·四川·期中）在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 11．（多选题）（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D． 12．若，则的最小值为___________． 13．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若满足，当时，，则__________. 14．（2026·高一·全国·期中）已知是方程的两个根，若，则______． 15．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）回答下列问题： (1)已知，且，求的最小值； (2)已知，若，求的最大值． 16．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)已知，，为正实数，，，求的值． 17．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点（）成中心对称图形的充要条件是． 结合以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数的图象的对称中心； (2)若函数． （ⅰ）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心； （ⅱ）已知函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，．若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 18．（2026·高二·江西九江·开学考试）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数复习讲义 教学目标 1．掌握指数（根式、分数指数幂）和对数的运算性质，会进行指数、对数互化及换底，能熟练开展相关运算。 2．理解指数函数、对数函数、幂函数的概念，熟记其定义域、值域、单调性、定点等核心性质，能画出大致图象。 3．知晓指数函数与对数函数互为反函数，掌握二者图象关于直线y=x对称的性质，了解反函数的基本概念。 4．能运用指对幂函数的性质解决比较大小、简单求值等问题，初步掌握三类函数的应用方法。 教学重难点 1. 重点 指数与对数的运算性质；指数函数、对数函数、幂函数的图象与核心性质；指数函数与对数函数的反函数关系。 2. 难点 对数运算性质的灵活运用；指对幂函数性质的综合应用；反函数概念的理解及简单求法。 知识点01 指数运算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点02 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 知识点03 对数的运算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 知识点04 对数函数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点05 反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 知识点06 幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递减 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型01 指数与对数混合运算 【典例1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，求以及的值； （2）求值：． 【解析】（1）由,两边平方得,所以. 由,两边平方得,所以. （2）由对数的性质得. 由对数运算性质得. 因为,所以. 所以原式. 【变式1-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）（1）求值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）， ， 所以原式． （2）由两边平方得，所以， 再两边平方得，所以． 【变式1-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）由得，由得， 所以，， 故. 【变式1-3】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）（1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 【解析】（1）①原式． ②原式． （2）①因为，两边平方得 ，所以． ②设，则，且 ， 所以，即． 题型02 指数运算中的条件求值 【典例2】（2026·高三·江苏·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】由，有，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8． 【变式2-1】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得，即， 因为底数 ，指数函数单调递增，所以指数相等，即， 因为 ，故 ，两边同除以 ，得， 所以， ，由基本不等式，得， 当且仅当 ，即，时取等号， 因此 ，即最小值为 . 【变式2-2】（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 【变式2-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【解析】 题型03 用已知对数表示其他对数 【典例3】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 【变式3-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，得. 所以. 【变式3-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 【变式3-3】（2026·高一·上海虹口·阶段检测）设，则用表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，所以 故选：B 题型04 指数函数与对数函数定义 【典例4】若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【解析】由指数函数的定义得，解得. 【变式4-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 【变式4-2】给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 【变式4-3】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 题型05 指数函数的图象与性质 【典例5】（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 【变式5-1】（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 【变式5-2】（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 【变式5-3】（2026·高一·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 题型06 对数函数的图象与性质 【典例6】（2026·高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 【变式6-1】（2026·高一·广东湛江·期末）函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由图象结合对数函数的性质可知，则D不符合题意； 又函数为奇函数，定义域为, B符合题意． 又的定义域都是不符合， 故选：B． 【变式6-2】（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 【变式6-3】（2026·甘肃金昌·三模）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 题型07 幂函数的图象与性质 【典例7】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【解析】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【变式7-1】（2026·高一·云南昭通·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【变式7-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数的定义可知 ，解得或； 再根据幂函数单调性性质当时，函数在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，函数在上单调递增，满足题意， 即. 【变式7-3】（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为幂函数 在单调递增，所以，解得： 题型08 指数函数与对数函数过定点 【典例8】（2026·高一·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【解析】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 【变式8-1】（2026·高一·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，则，解得． 故选：C 【变式8-2】（2026·高一·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 【变式8-3】（2026·高一·河北邢台·期中）函数的图象恒过定点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 故的图象恒过定点． 故选：C. 题型09 指数函数与对数函数定义域 【典例9】设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 【变式9-1】（2026·高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式9-2】（2026·高一·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 【变式9-3】（2026·高一·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 题型10 指数函数与对数函数的值域 【典例10】已知，试求的最大值和最小值 【解析】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 【变式10-1】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)解关于的不等式：； (3)求函数的值域． 【解析】（1）依题意得，由或，由则， 由，所以且，当时，函数的定义域为空集， 当时，函数的定义域为； （2）， 不等式化为， 则由得或，结合定义域，故， 由化简得，解得， 结合和定义域，需，即当，不等式的解集为； 则当，不等式的解集为. （3）, ， 令， ①当即时，在上单调递减，，即，，函数的值域为； ②当即时，，即, ，函数的值域为, ③当时,，即,，函数的值域为, 综上，当时，函数的值域为； 当时,函数的值域为； 当时，函数的值域为. 【变式10-2】（2026·高一·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【解析】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 【变式10-3】（2026·高一·浙江杭州·期末）设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)令函数，，求函数的值域． 【解析】（1）函数在区间上的单调递增，证明如下： 由解析式知，函数的定义域为R，令， 所以， 由，，，故， 所以，故函数在区间上的单调递增； （2）由题设，则， 当，则，而在上单调递减，则，此时； 当，则； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以时取得最小值2，故在上，此时， 综上，. 题型11 利用单调性解指/对不等式 【典例11】（2026·高一·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 【变式11-1】解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【解析】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 【变式11-2】（2026·高一·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 【解析】（1）由函数，得函数的定义域为. 令，当时，由对数函数单调性得：. 将原函数展开换元：， 所以原函数的值域问题转化为求二次函数在上的值域问题. 因为，二次函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数的最小值为，最大值为. 所以函数在的值域为， 因此函数在上的值域为. （2）不等式等价于，整理得， 因式分解得， 令，则，解得或. 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以. 综上所述，不等式的解集为. 【变式11-3】设a为常数且，解关于x的不等式． 【解析】∵，， ∴且， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∴原不等式解集为． 题型12 指对幂比较大小问题 【典例12】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 【变式12-1】设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数的运算法则，可得， 因为，且，所以， 又因为，所以． 【变式12-2】三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以． 【变式12-3】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数幂的性质：. 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即. 又由对数用换底公式得， ​. 因为分母，分子是相同的正分数，分母越小值越大，所以，即， 因此. 因为，，所以，即. 又因为，因此. 综上所述，. 题型13 反函数 【典例13】设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【解析】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 【变式13-1】设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 【变式13-2】（2026·高一·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【解析】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 【变式13-3】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为________． 【答案】 【解析】由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 题型14 指对数函数模型 【典例14】（2026·高一·四川泸州·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②且 (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【解析】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则，，， 在上单调递增，，，. 【变式14-1】（2026·高一·四川成都·期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒． 【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢， 根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即， 由题意可得：，解得：， 所以该模型的解析式为：， （2）由（1）知：， 由题意知：，也即，则有， ∴，∴， ∴至少需要4秒． 【变式14-2】（2026·高一·北京·期末）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 【解析】（1）函数与在上都是增函数， 随着的增加，函数的值增加的越来越快， 而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大， 因此选择模型符合要求． 根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为，，； （2）当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是， 由，得， ∴， ∵，∴， 即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份． 【变式14-3】（2026·高一·湖南长沙·开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示： x 3 8 15 24 Q（x）（套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元. (1)求k的值； (2)给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低. 【解析】（1）由题意，得，解得； （2）表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①． 对于模型②，将，代入②，，解得， 此时，经验证，均满足，故选模型②， ， 当且仅当时等号成立，故日销售收入在第3天达到最低． 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【解析】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因对任意实数，，从而，则的值域为. 3．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 4．函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 5．当时，函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为指数函数为增函数，所以函数在区间上单调递增， 则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以函数在区间上的取值范围为. 6．（2026·高一·河南平顶山·开学考试）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】对于A，由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； 对于B，由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； 对于C，要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； 对于D，由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 7．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 8．（多选题）（2026·高三·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 9．（多选题）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．求分别经过3个小时和4个小时，这种细菌由1个可繁殖成（    ） A．511个 B．512个 C．4095个 D．4096个 【答案】BD 【解析】因为每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，所以共繁殖细菌29＝512(个)；4个小时共分裂了12次，所以共繁殖细菌212＝4096(个)． 10．（多选题）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 11．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则此最小值为________万元． 【答案】 【解析】由题可知一年总运费为万元； 已知一年总存储费用为万元， 因此总费用之和为： ， 由基本不等式可得：，当且仅当，即时，等式成立， 故一年的总运费与总存储费用之和最小值为万元. 12．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】由 得 ； 由 得 . 所以 . 13．计算______. 【答案】 【解析】. 14．（2026·高一·宁夏银川·期中）计算求值： (1) (2)若 ，求 的值. 【解析】（1）因为，，，， 故原式. （2）由，等式两侧同时平方可得：， 即，故. 15．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 【解析】（1）因此： . （2）①已知，且，等式两边同时除以整理得； ②设，则 ， 因，则，故. 16．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 【解析】（1）由于，所以，所以． （2）是偶函数，证明如下： ， 因为的定义域为，， 且，所以是偶函数． 1．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 2．（2026·高一·广西百色·期末）已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意都有成立，等价于是上的单调递减函数， 时，单调递减，则，解得； 时，，开口向下，对称轴， 要在递减，对称轴需在区间左侧，，解得； 时，指数极限值，时，右段的数值为， 是在上的单调递减函数，则，解得， 综上可得实数的取值范围是． 3．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 4．（2026·高一·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】D 【解析】设，设它的位数为，根据位数定义，存在整数，满足， 则， 由，得，因为， 所以， 故，且，所以， 所以的位数是. 5．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【解析】由指数运算性质得，设，其中，则原方程可转化为 ， 即 ，由于，得， ， 因为 ， 所以. 6．（2026·高三·山东·阶段检测）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立 故的取值范围是 7．（2026·高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 8．（2026·高一·山东威海·期中）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B． C． D．最大值为1 【答案】B 【解析】当时，． 若在上有两个不同的解，则且，即． 当时，在上单调递增，且值域为，因此方程有唯一解． 于是存在使当且仅当，故A错误． 由，得，故B正确． 又，故C错误； 并且从而，其最大值不能取到，故D错误． 9．（多选题）（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，命题若，则不是真命题； 对于B，由，得，则，， 命题若，则是真命题； 对于C，由，得，而，则，， 命题若，则是真命题； 对于D，， ，因此， 命题是真命题. 10．（多选题）（2026·高一·四川·期中）在物理学中，抛射体运动的相对水平位移与发射角的正切值之间的关系可以用函数来描述.下列结论中，正确的有（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移越小 D．抛射体相对水平位移的取值范围是 【答案】ABD 【解析】对于A，由于函数定义域为，且， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，其定义域为， 又，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于对于任意，则， 当时，，， 所以，即， 所以在上单调递增； 当时，，， 所以，即， 所以在上单调递减； 当时，，， 所以， 即，所以在上单调递减； 所以抛射体发射角的正切值越大，相对水平位移不一定越小， 当抛射体发射角的正切值在上时，抛射体发射角的正切值越大， 相对水平位移越大，故C不正确； 对于D，由选项C知，的单调递减区间为和，递增区间为， 函数示意图如下： 由于当时，，，，当时，， 所以抛射体相对水平位移的取值范围是，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【解析】对A：令，由， 由，故A正确. 对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为. 但，即函数过点，不经过，故B错误； 对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对D：由； 由，用代替，可得， 所以. 所以，，…，， 又， 所以，故D正确. 12．若，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】已知，由于，，因此有， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为 13．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若满足，当时，，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以函数是周期为的周期函数， 因为，，所以，所以， 所以， . 14．（2026·高一·全国·期中）已知是方程的两个根，若，则______． 【答案】0 【解析】由题意知是方程的两个根， 令，则方程有两个正根， 则，解之得， 又是方程的两个根， 则，又，则， 解之得或（舍）， 则，又， 则，即，解得或，则或， 则，或，则. 15．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）回答下列问题： (1)已知，且，求的最小值； (2)已知，若，求的最大值． 【解析】（1）因为，且， 所以 ， 等号成立时且，即， 故的最小值为 （2）因为，所以，所以， 即，得或， 因为，所以，所以，所以，     所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 16．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)已知，，为正实数，，，求的值． 【解析】（1）； （2）． （3）设，所以，，， 因为，则，即， 所以，则． 17．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点（）成中心对称图形的充要条件是． 结合以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数的图象的对称中心； (2)若函数． （ⅰ）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心； （ⅱ）已知函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，．若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为 ， 所以函数的图象的对称中心为. （2）（ⅰ）证明：由，得，则的定义域为．     ， ， 所以，， 所以的图象是中心对称图形且对称中心的坐标为． （ⅱ）． 由在上单调递减，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递减． 所以当时，． 由的图象关于点成中心对称图形，则． 当时，则， ， 所以 . ，，有， 则，． 当时，， 得化简得：； 当时，， 得化简得：． 综上所述，， 则，即化简得：． 所以实数m的取值范围是． 18．（2026·高二·江西九江·开学考试）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 【解析】（1）由且，得， 则函数为奇函数； （2）在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. （3）由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $