4.2.2 对数运算法则 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.2.2　对数运算法则 【学习目标】 1.理解对数的运算法则; 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数; 3.会运用运算法则进行一些简单的化简与证明. ◆ 知识点一　对数的运算法则 (1)loga(MN)=　　　　　　　　,  (2)logaMα=　　　　,  (3)loga=　　　　　　　　.  其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R. ◆ 知识点二　对数换底公式 1.logab=,其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1,这一结果通常被称为换底公式. 2.对数换底公式的重要推论: (1)logaN=(N>0且N≠1,a>0且a≠1); (2)lobm=logab(a>0且a≠1,b>0); (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1). 【诊断分析】 (1)若loga2=m,则log4a=　　　　.  (2)若lg 6=a,lg 8=b,则log68=　　　　.  ◆ 探究点一　对数的运算法则 例1 用logax,logay,logaz表示下列各式: (1)loga(xyz);(2)loga;(3)loga;(4)loga. 变式 [2026·浙江宁波高一期末] 已知a=log23,4b=12,则 (　 ) A.a+2=b B.2a-1=b C.2a=b D.a+2=2b [素养小结] 正确应用计算公式是解决这类问题的关键,尤其不要混淆对数的加减运算和乘除运算. ◆ 探究点二　对数运算法则的应用 例2 (1)计算:log2+log212-log242. (2)计算:lg 5·(lg 8+lg 1000)+3(lg 2)2+lg+lg 0.06. 变式 计算下列各式的值: (1)lg-lg +lg; (2)lg 52+lg 8+lg 20·lg 5+(lg 2)2. [素养小结] (1)对数运算法则的作用: ①利用对数的运算法则,可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数的和、差、倍数运算,反之亦然. ②通过对对数运算法则的灵活运用,能起到降幂、去分母、去根号的作用. (2)运用对数的运算法则时要注意的问题: ①注意正用、逆用三条法则. ②在进行对数运算时,要判断能否使用运算法则. ③不要将“积商幂的对数”和“对数的积商幂”混淆. 拓展 已知1+xlg x=20,求x的值. ◆ 探究点三　换底公式的应用 例3 (1)[2026·陕西咸阳高一期末] 若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为 (　 ) A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669 (2)记A=1×2×3×…×2024,则+++…+=　　　　.  (3)计算下列各式的值: ①(log43+log83)log32;②. 变式 (1)若6x=25,5y=6,则xy= (　 ) A.3 B. C. D.2 (2)[2026·河北唐山高一期末] 已知3x=4,a=2x-3,b=4x-5,则 (　 ) A.b<0<a B.0<b<a C.0<a<b D.a<0<b [素养小结] (1)利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数,可用对数的运算法则来解决对数求值问题,同时要注意换底公式的逆用. (2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式. ◆ 探究点四　对数的实际应用 例4 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里氏震级标准.震级(M)是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).根据该公式可知,7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的　　　　倍.(精确到1)  变式 某企业初始年利润为1,且每年以10%的增长率递增,若要使年利润翻一番,则至少经过(　 ) (参考数据:ln 2≈0.693,ln 1.1≈0.095) A.7年 B.8年 C.9年 D.10年 [素养小结] 解决这类问题的关键是把实际问题转化为对数的运算问题,考查数学建模能力. 1.若lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,则 (　 ) A.a+b=1　　　　 B.a-b=0 C.ab=1 D.=1 2.[2025·湖南常德高一期末] 已知a=ln 5,b=ln 7,则log735= (　 ) A.5b B.ab C.1+ D.1+ 3.已知a=,b=log2,则 (　 ) A.2>a>b B.b>2>a C.b>a>2 D.a>b>2 4.[2026·江苏宿迁高一期末] 已知log23=a,2b=7,则log4256用a,b表示为 (　 ) A. B. C. D. 5.若1000a=5,100b=2,则3a+2b=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2　对数运算法则 【课前预习】 知识点一 (1)logaM+logaN　(2)αlogaM　(3)logaM-logaN 知识点二 诊断分析 (1)　(2)　[解析] (1)log4a===. (2)log68==. 【课中探究】 例1　解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz. (2)loga=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-logaz. (3)loga=loga(y)-loga=loga+logay-loga=logax+logay-logaz. (4)loga=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3logay-2logaz. 变式　D　[解析] ∵4b=12,∴b=log412=log4(4×3)=log44+log43=1+log23=1+a,∴2b=2+a.故选D. 例2　解:(1)原式=log2+log2122-log242=log2=log2=-. (2)原式=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2+lg+lg 6-2=3(lg 5+lg 2)·lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1. 变式　解:(1)方法一:原式=(lg 25-lg 72)-lg +lg (72×5=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=. 方法二:原式=lg -lg 4+lg 7=lg =lg(×)=. (2)原式=2lg 5+2lg 2+(2lg 2+lg 5)lg 5+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 拓展　解:∵==xlg x,∴2xlg x=20,∴xlg x=10,在等式两边取常用对数得lg xlg x=lg 10=1,由对数的运算性质可得lg x·lg x=1,即lg x=±1,∴x=10或. 例3　(1)A　(2)1　[解析] (1)因为2x=,lg 2≈0.301 0,所以 x=log2==≈≈1.322.故选A. (2)+++…+=logA2+logA3+logA4+…+logA2024=logA(2×3×4×…×2024) =logAA=1. (3)解:①原式=log32=log32=+=. ②原式=lo·log 9=-log32·log29=-log32·3log23=-. 变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)由6x=25,5y=6,得x=log625,y=log56,所以xy=log625×log56=×=2.故选D. (2)由3x=4得x=log34.因为log34-log23=-=<=<=0,所以log34<log23,所以x<log23,所以a=2x-3<0.因为log34-log45=-=>=>=0,所以log34>log45,所以x>log45,所以b=4x-5>0,所以a<0<b.故选D. 例4　32　[解析] 由题意可得M=lg A-lg A0=lg,即=10M,所以A=A0·10M.当M=7.5时,7.5级地震的最大振幅A1=A0·107.5;当M=6时,6级地震的最大振幅A2=A0·106.所以==107.5-6=101.5=1=≈32. 变式　B　[解析] 设至少经过n年.由题得,1·(1+10%)n≥2,即1.1n≥2,则n≥log1.12=≈≈7.295,因为n为整数,所以至少经过8年后利润会翻一番.故选B. 【课堂评价】 1.C　[解析] 因为lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,所以lg a+lg b=lg ab=0,所以ab=1.故选C. 2.D　[解析] log735====1+.故选D. 3.D　[解析] 因为a-b=-log2=-2log23+1=>0,所以a>b.因为b=log2>log24=2,所以a>b>2.故选D. 4.C　[解析] 因为2b=7,所以b=log27,则log4256====.故 选C. 5.1　[解析] 由1000a=5,得a=log10005,由100b=2,得b=log1002,所以3a+2b=3log10005+2log1002=3lo5+2lo2=lg 5+lg 2=lg 10=1. 学科网（北京）股份有限公司 $