4.3 指数函数与对数函数的关系 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 【课前预习】 知识点 1.(1)x　反函数 (2)①值域　定义域　②y=x　③增　减　④(y,x) 2.(1)互为反函数　(2)直线y=x 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)函数y=的反函数是y=lox(x>0). (2)函数y=log3x的反函数的值域是原函数的定义域,故y=log3x的反函数的值域为(0,+∞). (3)互为反函数的图象关于直线y=x对称,所以函数y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称,函数y=lg x的图象与y=10x的图象关于直线y=x对称. 2.解:y=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,值域为(0,+∞),y=logax(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域互换. 【课中探究】 例1　解:(1)由y=2x+3得x=y-,所以函数y=2x+3的反函数是y=x-. (2)y=lox的底数是,它的反函数是指数函数y=. (3)由y=-1得y+1=,故x=lo(y+1),对调其中的x和y得y=lo(x+1).因为y=-1的值域是(-1,+∞),所以它的反函数为y=lo(x+1)(x>-1). (4)因为y=0.2x+1,所以y-1=0.2x,故x=log0.2(y-1),对调其中的x和y得y=log0.2(x-1).因为函数y=0.2x+1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2},所以y=log0.2(x-1)的定义域为{x|x≥1.2},即函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1)(x≥1.2). 变式　(1)D　(2)4　[解析] (1)因为函数y=f(x)与y=3x互为反函数,所以f(x)=log3x,所以f=log3=-2,f=log3=-1,f(1)=log31=0,f(3)=log33=1.故选D. (2)令y=f(x)=x2-3(x>1),则x2=y+3,因为x>1,所以x=,由反函数的定义可知f-1(x)=,所以f-1(13)==4. 例2　(1)C　(2)A　[解析] (1)y=f-1(x)的定义域即为函数f(x)的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,故y=f-1(x)的定义域为(0,+∞). (2)因为f(x)是增函数,所以其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.故选A. 变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵函数f(x)的图象过点(0,1),∴f(0)=1,即f(4-4)=1,则f(4-x)的图象过点(4,1),根据反函数的性质可知f(4-x)的反函数的图象一定过点(1,4).故选A. (2)因为函数y=1,x∈{0}是偶函数,且存在反函数,所以①错误;因为函数y=和函数y=x互为反函数,且点为它们图象的交点,但不在直线y=x上,所以②错误;因为函数y=的反函数就是其本身,两函数图象的交点有无数个,所以③正确;根据反函数的定义,可知④正确.故选C. 例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)∵ex-e-x≠0,∴x≠-x,∴x∈R且x≠0.令G(x)=ln|ex-e-x|(x∈R且x≠0),则G(-x)=ln|e-x-ex|=ln|ex-e-x|=G(x),∴G(x)=ln|ex-e-x|为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A,C.令H(x)=ex-e-x(x>0),∵函数H(x)=ex-在区间(0,+∞)上单调递增,∴函数y=ln|ex-e-x|在区间}上单调递增,排除D.故选B. (2)由题意得函数 g(x)与函数 f(x)=2x+1互为反函数,所以x=2g(x)+1,解得g(x)=log2(x-1),易知g(x)在定义域(1,+∞)上单调递增,且其图象过定点(2,0).故选A. 变式　(1)3　(2)3　[解析] (1)易知f(x)=2x+x在[0,2]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=20+0=1,f(x)max=f(2)=22+2=6,所以f(x)=2x+x的值域为[1,6],则y=f-1(x)的定义域为[1,6].因为f(x)=2x+x在[0,2]上单调递增,所以y=f-1(x)在[1,6]上单调递增,所以y=f(x)+f-1(x)在[1,2]上单调递增.因为f(0)=1,所以f-1(1)=0,所以ymin=f(1)+f-1(1)=21+1+0=3. (2) 将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.作出y=2x,y=log2x,y=x,y=-x+3的图象,如图所示,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得,A,B两点也关于直线y=x对称,所以A,B两点的坐标分别为A(a,b),B(b,a).而点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3. 【课堂评价】 1.D　[解析] 根据反函数的定义,存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x.对于A,当y为正数时,一个y对应两个x,不满足反函数的定义,故A错误;对于B,当y为正数时,一个y对应两个x,不满足反函数的定义,故B错误;对于C,当y为正数时,一个y对应两个x,不满足反函数的定义,故C错误;对于D,满足反函数的定义,故D正确.故选D. 2.A　[解析] 因为函数y=2x和y=的图象关于y轴对称,所以它们的反函数的图象关于x轴对称,故选A. 3.C　[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x与y=log2x的图象,如图所示.因为y=2x与y=log2x互为反函数,所以其图象关于直线y=x对称.2a=log2b=c>0,在图中作直线y=c,则其与y=2x,y=x,y=log2x的图象的交点的横坐标依次为a,c,b,可得a<c<b,又函数f(x)=3x+1是增函数,所以f(a)<f(c)<f(b),故选C. 4.16　[解析] 因为y=ax和y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,所以f(x)=的反函数为f-1(x)=lox,又f-1(a)+f-1(b)=-4,所以loa+lob=lo(ab)=-4,所以ab=16. 5.4　[解析] 因为函数f(x)=3-log2(x+a)的反函数的图象经过点(1,0),所以f(x)的图象经过点(0,1),所以f(0)=3-log2a=1,解得a=4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　指数函数与对数函数的关系 【学习目标】 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系; 2.能结合函数的图象与性质解决一些综合问题. ◆ 知识点　指数函数与对数函数的关系 1.反函数 (1)反函数的定义 一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的　　　　与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的　　　　　　,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).  (2)反函数的性质 ①函数y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的　　　　相同,函数y=f(x)的值域与y=f-1(x)的　　　　　相同.  ②y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线　　　　　对称.  ③如果y=f(x)是增函数,那么y=f-1(x)是　　　函数;如果y=f(x)是减函数,那么y=f-1(x)是　　　函数.  ④若函数y=f(x)的图象上有一点(x,y),则点　　　　在其反函数y=f-1(x)的图象上.  2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)　　　　　　　.  (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于　　　　　　对称.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=的反函数是y=logx. (　 ) (2)函数y=log3x的反函数的值域为R. (　 ) (3)函数y=ex的图象与y=lg x的图象关于直线y=x对称. (　 ) 2.函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)的定义域和值域有什么关系? ◆ 探究点一　求简单函数的反函数 例1 求下列函数的反函数. (1)y=2x+3;(2)y=lox;(3)y=-1;(4)y=0.2x+1(x≤1). 变式 (1)[2026·浙江宁波高一期末] 已知函数y=f(x)与y=3x互为反函数,则(　 ) A.f=-1　　　B.f=-2 C.f(1)=3 D.f(3)=1 (2)[2026·贵州遵义高一期末] 已知函数f(x)=x2-3(x>1),则f-1(13)=　　　　　　.  [素养小结] 求反函数的一般步骤: (1)先确定原函数的值域,即反函数的定义域. (2)对调原函数解析式中的x和y,解出y. (3)写出反函数. 注意:求反函数时,若原函数y=f(x)的定义域有限制条件,则其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求. ◆ 探究点二　反函数性质的应用 例2 (1)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为 (　 ) A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(0,+∞) D.[1,+∞) (2)已知函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则a,b的大小关系是 (　 ) A.a<b B.a=b C.a>b D.无法确定 变式 (1)[2026·河北邯郸高一月考] 已知函数f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象一定过点 (　 ) A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3) (2)下列说法中正确的是 (　 ) ①偶函数一定不存在反函数; ②若函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象存在交点,则交点必定在直线y=x上; ③函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象的交点可能有无数个; ④在定义域上单调递增的函数必存在反函数. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ [素养小结] 常用的互为反函数的函数间的关系及性质有: (1)一个函数与其反函数的图象关于直线y=x对称; (2)一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性一致; (3)一个函数与其反函数的定义域、值域相反,对应关系互逆等. ◆探究点三　同底数的指数函数与对数函数图象间的关系 例3 (1)函数y=ln|ex-e-x|的部分图象是(　 ) A B C D (2)[2026·福建泉州高一期末] 若函数 g(x)与函数 f(x)=2x+1的图象关于直线y=x对称,则g(x)的大致图象是 (　 ) A　B　C　D 变式 (1)已知y=f-1(x)是f(x)=2x+x,x∈[0,2]的反函数,则函数y=f(x)+f-1(x)的最小值为　　　　.  (2)设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,则a+b的值为　　　　.  [素养小结] 同底数的指数函数和对数函数互为反函数,二者的图象关于直线y=x对称,借助图象之间的关系及性质是解决此类问题的关键. 1.[2026·南昌高一期中] 下列各图象表示的函数中,存在反函数的是 (　 ) A　　　　B C　　　　D 2.已知函数y=2x和y=,则它们的反函数的图象 (　 ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 3.已知函数f(x)=3x+1,若2a=log2b=c,则　(　 ) A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a) 4.[2026·云南师大附中高一期末] 若f(x)=的反函数为f-1(x),且f-1(a)+f-1(b)=-4,则ab的值为　　　　.  5.若函数f(x)=3-log2(x+a)的反函数的图象经过点(1,0),则a=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $