4.1.2 第1课时 指数函数的性质与图象 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的性质与图象 【学习目标】 1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法; 2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质; 3.掌握指数函数的图象与性质,能借助指数函数的性质比较大小. ◆ 知识点一　指数函数的定义 一般地,函数y=ax称为　　　　　　,其中a是常数,a>0且a≠1.   注意:指数函数的系数为1. 【诊断分析】 指数函数中为什么规定a>0且a≠1? ◆ 知识点二　指数函数的图象与性质 函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 性 质 过定点 　　　  单调性 在R上是　　　函数  在R上是　　　函数  函数值的 变化 当x<0时,y∈　　　,当x>0时, y∈　　　  当x<0时,y∈　　　,当x>0时, y∈　　　  ◆ 知识点三　底数与指数函数图象的关系 1.由指数函数y=ax的图象与直线x=1的交点(1,a)可知,在y轴右侧,图象从　　　　到　　　　相应的底数由小变大.  2.由指数函数y=ax的图象与直线x=-1的交点可知,在y轴左侧,图象从下到上 相应的底数　　　　　　.  如图所示,指数函数底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)指数函数的图象一定在x轴的上方. (　 ) (2)函数y=在R上是减函数. (　 ) (3)函数y=和y=2x的图象关于x轴对称.(　 ) ◆ 探究点一　指数函数定义的应用 例1 (1)(多选题)下列各函数中是指数函数的是　 (　 ) A.y=3x B.y=-3x C.y=(-3)x D.y= (2)若函数f(x)=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则a= 　　　　.  变式 (1)[2025·广东东莞一中高一期中] 若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 (　 ) A.2 B.3 C. D.4 (2)已知p:函数f(x)=(m2-3m+3)mx是指数函数,q:m2-3m+2=0,则q是p的 (　 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [素养小结] 判断一个函数是否为指数函数的方法: (1)底数的值是否符合要求; (2)ax前的系数是否为1; (3)指数是否符合要求. ◆ 探究点二　指数函数图象及应用 例2 (1)如图所示的是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 (　 ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c (2)已知3a-3=4b-4=5c-5,则a,b,c的大小关系不可能为 (　 ) A.c<a<b B.a=b=c C.a<b<c D.c<b<a 变式 (1)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)在同一个平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能为(　 ) A B C D [素养小结] (1)无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与直线x=1均相交于点(1,a),由图象可知,在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. (2)处理指数函数的图象的方法:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换;③注意函数单调性的影响. ◆ 探究点三　利用指数函数的单调性比较大小 例3 比较下列各组数中两个值的大小: (1)1.52.5,1.53.2;(2)0.,0.;(3)1.50.3,0.81.2. 变式 将下列各数按从小到大排序:,,,,. [素养小结] 比较幂的大小的方法: (1)底数相同的直接利用单调性; (2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较; (3)底数不同指数相同的借助图象间的关系比较. 拓展 [2025·江苏常州前黄高级中学高一期末] 设函数f(x)=2x-2-x,则不等式f(x2)+f(2x-3)<0的解集是　　　　.  1.[2026·湖南衡阳高一月考] 已知指数函数f(x)的图象过点(3,27),则f(2)= (　 ) A.3 B.6 C.9 D.27 2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则　 (　 ) A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 3.已知a=,b=1.10.7,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b 4.已知a,b为实数,则“a>b”是“2a>2b”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax-4+3的图象恒过的定点坐标为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的性质与图象 【课前预习】 知识点一 指数函数 诊断分析 解:①如果a=0,那么当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要,当x≤0时,ax无意义;②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,那么当x=,,…时,该函数无意义;③如果a=1,那么1x是一个常数,没有研究的价值.为了避免上述各种情况的出现,所以规定a>0且a≠1. 知识点二 (0,1)　增　减　(0,1)　(1,+∞)　(1,+∞)　(0,1) 知识点三 1.下　上　2.由大变小 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)× 【课中探究】 例1　(1)AD　(2)3　[解析] (1)根据指数函数的定义知A,D中的函数是指数函数,故选AD. (2)若函数f(x)是指数函数,则解得a=3. 变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵函数f(x)=·ax是指数函数,∴a-3=1且a>0,a≠1,解得a=8,∴f(x)=8x,∴f==2.故选A. (2)若函数f(x)是指数函数,则m2-3m+3=1,且m>0,m≠1,解得m=2.若m2-3m+2=0,则m=1或m=2. 所以q是p的必要不充分条件.故选C. 例2　(1)B　(2)A　[解析] (1)在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降知c>d>1,b<a<1,所以b<a<1<d<c.故选B. (2)设3a-3=4b-4=5c-5=t,设f(x)=3x-3,g(x)=4x-4,h(x)=5x-5,则a为直线y=t与函数f(x)的图象的交点的横坐标,b为直线y=t与函数g(x)的图象的交点的横坐标,c为直线y=t与函数h(x)的图象 的交点的横坐标.当t>0时,如图①所示(横、纵坐标轴单位长度不相等), 由图可得c<b<a;当t=0时,可得a=b=c=1;当t<0时,如图②所示(横、纵坐标轴单位长度不相等), 由图可得a<b<c.故选A. 变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵0<a<1,∴y=ax的图象经过第一、二象限,经过点(0,1),且y=ax在R上是减函数.y=ax+b的图象可看成是把y=ax的图象向下平移-b(-b>1)个单位长度得到的,故函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A. (2)根据指数函数y=可知a,b同号且a≠0,b≠0,a≠b,则二次函数y=ax2+bx的图象的对称轴方程为x=-<0,排除B,D;因为二次函数y=ax2+bx的图象过坐标原点,所以排除A.故选C. 例3　解:(1)设f(x)=1.5x,因为1.5>1,所以f(x)=1.5x在R上单调递增, 又2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2. (2)设h(x)=0.5x,因为0<0.5<1,所以h(x)=0.5x在R上单调递减, 又-1.2>-1.5,所以0.<0.. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1,0.81.2<0.80=1,所以1.50.3>0.81.2. 变式　解:因为<0,0<<1,=1,>1,>1,且=>, 所以<<<<. 拓展　(-3,1)　[解析] 函数f(x)=2x-2-x的定义域为R,因为f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数, 又函数y=2x与y=2-x分别为R上的增函数和减函数,所以f(x)是R上的增函数. 不等式f(x2)+f(2x-3)<0可化为f(x2)<-f(2x-3)=f(3-2x),则x2<3-2x,解得-3<x<1,所以原不等式的解集为(-3,1). 【课堂评价】 1.C　[解析] 设f(x)=ax,a>0且a≠1,将(3,27)代入得f(3)=a3=27,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(2)=32=9.故选C. 2.C　[解析] 结合指数函数的图象知,b>1,0<a<1.故选C. 3.C　[解析] 设f(x)= ,可知f(x)在R上单调递减, ∴f<f(0.3)<f(0)=1,又a===f(0.3),c==f,∴c<a<1.设g(x)=1.1x ,可知g(x)在R上单调递增,∴b=g(0.7)>g(0)=1,∴b>a>c.故选C. 4.C　[解析] 因为y=2x为R上的增函数,所以当a>b时,2a>2b,当2a>2b时,a>b,所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件.故选C. 5.(4,4)　[解析] 令x-4=0,得x=4,因为f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3的图象恒过定点(4,4). 学科网（北京）股份有限公司 $