4.4 幂函数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.4　幂函数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过具体实例，结合y=x，y=，y=x2，y=，y=x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.掌握 y=xα的图象与性质. 2.本节课的难点理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 1.幂函数的概念 一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数. |微|点|助|解| 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，满足：①指数为常数；②底数为自变量；③底数系数为1.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数. 2.幂函数的图象与性质 (1)幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象如图所示. (2)五个幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) {x|x≠0} 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 是增函数 在[0，+∞)上是增函数，在(-∞，0]上是减函数 在R上是增函数　 在[0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数，在(-∞，0)上是减函数　 公共点 (1，1) (3)幂函数y=xα随着α的不同，定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，要根据α的值判断. |微|点|助|解| (1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都经过点(1，1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α>0时，幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；并且在区间[0，+∞)上单调递增. (3)当α<0时，幂函数的图象都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线下凸.并且在区间(0，+∞)上单调递减. (4)在x=1右侧，幂函数y=xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”. 基础落实训练 1.下列所给的函数是幂函数的为 (　　) A.y=2x5 B.y=x3+1 C.y=x-3 D.y=3x 解析：选C　选项C符合y=xα的形式，对于A，系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y=xα的形式. 2.设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 (　　) A.1，3 B.-1，1 C.-1，3 D.-1，1，3 解析：选A　可知当α=-1，1，3时，y=xα为奇函数.又因为y=xα的定义域为R，则α=1，3. 3.3.17-1与3.71-1的大小关系为　　　　.  解析：∵幂函数y=x-1在(0，+∞)上单调递减， ∴3.17-1>3.71-1. 答案：3.17-1>3.71-1 题型(一)　幂函数的概念及应用 [例1]　(1)(多选)下列函数为幂函数的是 (　　) A.y=2 B.y=x0 C.y=(x+1)2 D.y=x-1 (2)已知幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点，则实数m的值为 (　　) A.1 B.2 C.-2 D.1或2 解析：(1)由幂函数的定义知，函数y=x0，y=x-1为幂函数. (2)∵函数y=(m2-3m+3)是幂函数， ∴m2-3m+3=1，解得m=1或m=2. 当m=1时，y=x0，图象不过原点，符合题意； 当m=2时，y=x2，图象过原点，不符合题意. 答案：(1)BD　(2)A |思|维|建|模| 判断一个函数是否为幂函数的依据 观察该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. [针对训练] 1.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于 (　　) A.2 B.1 C. D.0 解析：选A　因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数， 所以a=1，-b+1=0，即a=1，b=1，则a+b=2. 2.若函数f(x)是幂函数，且满足=3，则f的值为 (　　) A.-3 B.- C.3 D. 解析：选D　设f(x)=xα(α为常数)，因为=3，所以=2α=3，即α=log23， 所以f(x)=，则f==. 题型(二)　幂函数的图象及应用 [例2]　(1)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 (　　) A.①y=x3，②y=x2，③y=，④y=x-1 B.①y=x2，②y=，③y=，④y=x-1 C.①y=x2，②y=x3，③y=，④y=x-1 D.①y=，②y=，③y=x2，④y=x-1 (2)如图所示的是函数y=(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则 (　　) A.m，n是奇数，且<1 B.m是偶数，n是奇数，且<1 C.m是偶数，n是奇数，且>1 D.m，n是奇数，且>1 解析：(1)函数y=x3为奇函数且定义域为R，该函数图象应与①对应； 函数y=x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应； y==的定义域、值域都是[0，+∞)，该函数图象应与③对应；y=x-1=，其图象应与④对应. (2)由幂函数性质可知，y=与y=x恒过点(1，1)，即在第一象限的交点为(1，1)， 当0<x<1时，>x，则<1； 又y=图象关于y轴对称，∴y=为偶函数， ∴===， 又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数. 答案：(1)A　(2)B |思|维|建|模| 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为 ①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，+∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. [针对训练] 3.函数y=的图象可能是 (　　) 解析：选C　由题意知，函数y==，则满足x5≥0，解得x≥0，故函数的定义域为[0，+∞)，又>1，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意. 4.已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)； (2)f(x)=g(x)； (3)f(x)<g(x). 解：设f(x)=xα，则由题意得2=()α， ∴α=2，即f(x)=x2， 再设g(x)=xβ，则由题意得=(-2)β， ∴β=-2，即g(x)=x-2， 在同一直角坐标系中作出f(x)和g(x)的图象.如图所示. (1)当x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，f(x)>g(x). (2)当x=±1时，f(x)=g(x). (3)当x∈(-1，0)∪(0，1)时，f(x)<g(x). 题型(三)　利用幂函数的单调性比较大小 [例3]　比较下列各组数中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 解：(1)因为幂函数y=x0.3在(0，+∞)上是增函数， 又>，所以>. (2)因为幂函数y=x-1在(-∞，0)上是减函数， 又-<-，所以>. (3)因为函数y1=为(0，+∞)上的增函数， 又>1，所以>=1. 又因为函数y2=在(0，+∞)上是增函数， 且<1，所以<=1， 所以>. |思|维|建|模| 比较幂值大小的3种基本方法 (1)直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较. (2)转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小. (3)中间量法：常用0和1作为中间量. 　[针对训练] 5.设a=，b=，c=，则 (　　) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析：选C　b==，因为函数y=是增函数，所以<，即b<a.又c==>>=a，所以b<a<c. 6.(多选)下列关系式正确的是 (　　) A.1.51.4<1.61.4 B.1.5-1.5<1.6-1.5 C.0.31.5>0.31.4 D.0.70.8<0.80.7 解析：选AD　由函数y=x1.4在(0，+∞)内单调递增，则1.51.4<1.61.4，故A正确；由函数y=x-1.5在(0，+∞)上单调递减，则1.5-1.5>1.6-1.5，故B错误；由函数y=0.3x在(0，+∞)上单调递减，则0.31.5<0.31.4，故C错误；由函数y=x0.8在(0，+∞)上单调递增，则0.70.8<0.80.8，由函数y=0.8x在(0，+∞)上单调递减，则0.80.8<0.80.7，故D正确. 题型(四)　幂函数性质的综合应用 　　　　 　　　　　 　　　　　 [例4]　已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). (1)求f(x)的解析式； (2)判断幂函数的单调性，并进行证明； (3)若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解：(1)因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数， 所以m2-2m+1=1， 所以m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=，图象过点(4，2)； 当m=0时，f(x)=，图象不过点(4，2)，舍去. 综上，f(x)=. (2)证明：函数f(x)在[0，+∞)上为增函数. 设x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=-=， 因为0≤x1<x2，<0， 即f(x1)-f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0，+∞)上为增函数. (3)函数f(x)在[0，+∞)上为增函数， 由f(a+1)>f(2a-3)， 则得≤a<4. 综上，a的取值范围为. |思|维|建|模| 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想. 　　[针对训练] 7.已知f(x)=(m2-2m-2)xm-1是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增， (1)求m的值； (2)求函数g(x)=f(x)-5x+3在区间[-1，4]上的值域. 解：(1)由题意知m2-2m-2=1，则m=-1或m=3， 当m=-1时，f(x)=x-2在(0，+∞)上单调递减，不符合题意，舍去， 当m=3时，f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，符合题意，综上可知，m=3. (2)g(x)=x2-5x+3=-，则g(x)在上单调递减，在上单调递增， 当x=-1时，g(x)max=g(-1)=9；当x=时，g(x)min=g=-. 综上可知，g(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $