4.2.3 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 【学习目标】 1.会进行函数性质与图象的结合; 2.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性的求解方法; 3.会解决对数函数的综合性问题. ◆ 知识点　y=logaf(x)型函数性质的研究 1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数y=logaf(x)的定义域. 2.值域:在函数y=logaf(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据　　　　　　法则判定,或运用单调性定义判定.   4.奇偶性:根据奇函数、偶函数的定义判定. 5.最值:在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值. 【诊断分析】 1.函数y=log2(x2-1)的定义域是　　　　　　　　,值域是　　　　,是　　　　(填“奇”或“偶”)函数,单调递增区间是　　 　　.  2.y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,且图象都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置? ◆ 探究点一　与对数函数有关的复合函数的单调性 例1 (1)(多选题)已知函数f(x)=ln(x2-4x+5),则　　 (　 ) A.f(x)在(-∞,2)上单调递增 B.f(x)在(2,+∞)上单调递减 C.f(x)的最小值为0 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 (2)[2025·天津南开中学高一月考] 已知函数f(x)=log2(-x2+ax+15) 在上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.  变式 [2026·安徽蚌埠高一期末] 已知函数f(x)=log2(3+mx)+lo(5-mx)在区间[1,3]上单调递减,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.(-1,0) C.(-∞,0) D. [素养小结] (1)求形如y=logaf(x)的函数的单调区间,一定要树立定义域优先的意识,即由f(x)>0先求定义域. (2)与形如y=logaf(x)的函数的单调性有关的两种问题及思路:①证明单调性,利用函数单调性的定义求证;②求单调区间,借助函数的性质研究函数t=f(x)和y=logat在定义域上的单调性,从而求出y=logaf(x)的单调区间. ◆ 探究点二　与对数函数有关的复合函数的值域或最值 例2 (1)函数f(x)=lo的最大值为　　　　.  (2)已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). ①若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; ②若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 变式 已知函数f(x)=lg(x2-|x|+1),若函数f(x)在区间(t,t+1)上有最小值,则实数t的值可能为　 (　 ) A.-2 B.- C.0 D.1 [素养小结] 求与对数函数有关的函数的值域或最值时要注意:①利用对数函数的单调性;②若是与二次函数复合的函数,要考虑二次函数的最值情况. ◆ 探究点三　解与对数函数有关的不等式 例3 已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(x-2). (1)求f(x)的定义域; (2)求关于x的不等式f(x)≥ln(3x)的解集. 变式 已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1). (1)讨论函数f(x)的定义域; (2)当a>1时,解关于x的不等式f(x)<f(1); (3)当a=2时,不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围. [素养小结] 解与对数函数有关的不等式的一般思路: (1)把不等式两边均化为logaf(x)的形式; (2)利用单调性把不等式转化为真数的大小关系,得到新的不等式,要注意底数a和1的关系; (3)在真数大于零的前提下解这个新的不等式; (4)得出不等式的解集. ◆ 探究点四　对数函数的综合应用 例4 [2025·江苏南通启东中学高一期中] 已知函数f(x)=log4(2+x)-log4(2-x),函数g(x)=log4(4x-2). (1)试判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论; (2)若不等式g[log2(2a+1)]≤f(x)对x∈恒成立,求实数a的取值范围. 变式 已知函数f(x)=log2x,g(x)=-x+4. (1)求g的值. (2)从下列问题中选一个作答. ①∀a,b∈R,定义max{a,b}=求h(x)=max{f(x),g(x)}的解析式及h(x)的最小值; ②∀a,b∈R,定义min{a,b}=求h(x)=min{f(x),g(x)}的解析式及h(x)的最大值. [素养小结] 解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”的原则,同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决此类问题中的应用. 1.已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图象不经过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知f(x)=log2(2x-1),则不等式f(x)<2的解集为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·福建厦门双十中学高一期中] 函数f(x)=log2(x2-x-2)的单调递减区间是(　 ) A. B.(-∞,-1) C. D.(2,+∞) 4.[2026·四川宜宾高一期末] 若函数f(x)=ln(x2-1)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　　　.  5.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数的图象及其性质的应用 【课前预习】 知识点 3.同增异减 诊断分析 1.(-∞,-1)∪(1,+∞)　R　偶　(1,+∞) 2.解:可以通过描点定位,也可令y=1,对应x的值即为底数.一般地,对于底数a>1的对数函数,在区间(1,+∞)内,底数越大图象越靠近x轴;对于底数0<a<1的对数函数,在区间(1,+∞)内,底数越小图象越靠近x轴. 【课中探究】 例1　(1)CD　(2)[8,+∞)　[解析] (1)令u=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1.因为u=x2-4x+5在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且y=ln u在定义域上单调递增,所以f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则f(x)的最小值为f(2)=ln 1=0.又u=x2-4x+5的图象关于直线x=2对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.故选CD. (2)因为y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,所以g(x)=-x2+ax+15在上单调递增,且当x∈时,g(x)>0,所以解得a≥8,所以实数a的取值范围为[8,+∞). 变式　B　[解析] f(x)=log2(3+mx)+lo(5-mx)=log2(3+mx)-log2(5-mx)=log2.设t==-1-.因为y=log2x在定义域上单调递增,所以t=-1-在区间[1,3]上单调递减且恒为正数,则解得-1<m<0,故实数m的取值范围为(-1,0).故选B. 例2　(1)0　[解析] 令y=-3x2+x+=-3+.当x=时,ymax=,当x=时,ymin=1,∴函数f(x)=lo的最大值为lo1=0. (2)解:①若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R. 当a=0时,x>-,这与x∈R矛盾,所以a≠0. 当a≠0时,由题意得解得a>1, 即实数a的取值范围为a>1. ②若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取遍一切正数, 所以a=0或所以0≤a≤1, 即实数a的取值范围为0≤a≤1. 变式　C　[解析] 易知y=lg x在(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=lg (x2-|x|+1)在区间(t,t+1)上有最小值,所以g(x)=x2-|x|+1在区间(t,t+1)上有最小值.g(x)=作出g(x)的大致图象如图所示.因为g(x)在区间(t,t+1)上有最小值,所以或解得-<t <或-<t<-.故选C. 例3　解:(1)由解得x>2,所以f(x)的定义域为(2,+∞). (2)f(x)=ln(x+2)+ln (x-2)=ln(x2-4),x∈(2,+∞), 不等式f(x)≥ln(3x)可化为ln(x2-4)≥ln(3x), 因为y=ln x是增函数,所以解得x≥4. 故不等式f(x)≥ln(3x)的解集为{x|x≥4}. 变式　解:(1)由ax-1>0,得ax>1. 当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0. 故当a>1时,f(x)的定义域是(0,+∞); 当0<a<1时,f(x)的定义域是(-∞,0). (2)当a>1时,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则<,∴-1<-1. ∵a>1,∴loga(-1)<loga(-1),即f(x1)<f(x2), 故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵f(x)<f(1),∴ax-1<a-1,∵a>1,∴x<1. 又∵x>0,∴0<x<1,故不等式的解集为{x|0<x<1}. (3)当a=2时,∵g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log2在[1,3]上是增函数,∴g(x)min=g(1)=-log23, ∵m<g(x)对x∈[1,3]恒成立,∴m<-log23. 例4　解:(1)f(x)=log4(2+x)-log4(2-x)=log4, f(x)在其定义域(-2,2)上单调递增. 证明如下:任取-2<x1<x2<2,则-=, ∵-2<x1<x2<2,∴2-x1>0,2-x2>0,x1-x2<0, ∴<0,∴0<<,∵y=log4x在(0,+∞)上单调递增,∴log4<log4,即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(-2,2)上单调递增. (2)由(1)知,当x∈时,f(x)的最小值为f=log42, ∵不等式g[log2(2a+1)]≤f(x)对x∈恒成立,∴g[log2(2a+1)]≤log42, ∴log4(-2)≤log42, ∴0<-2≤2,∴解得<a≤, ∴实数a的取值范围为. 变式　解:(1)f=log2=-2, g=g(-2)=-×(-2)+4=5. (2)函数f(x)=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增, g(x)=-x+4在R上单调递减,且f(4)=g(4)=2, 所以当0<x<4时,g(x)>f(x),当x>4时,f(x)>g(x). 选择①. h(x)=max{f(x),g(x)}= 函数h(x)在区间(0,4)上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增, 所以函数h(x)的最小值为h(4)=2. 选择②. h(x)=min{f(x),g(x)}= 函数h(x)在区间(0,4]上单调递增,在区间(4,+∞)上单调递减, 所以函数h(x)的最大值为h(4)=2. 【课堂评价】 1.D　[解析] 因为a>1,所以y=logax的图象经过第一、四象限,经过点(1,0),且y=logax是增函数.y=loga(x-b)的图象可以看成是把y=logax的图象向左平移-b(-b>1)个单位得到的,故函数y=loga(x-b)的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D. 2.D　[解析] 由题意可知log2(2x-1)<2,则解得<x<,则不等式f(x)<2的解集为.故选D. 3.B　[解析] 由题意可得x2-x-2=(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1.易知y=x2-x-2在(-∞,-1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,因为y=log2x在定义域上单调递增,所以f(x)=log2(x2-x-2)的单调递减区间为(-∞,-1).故选B. 4.[1,+∞)　[解析] ∵x2-1>0,∴x<-1或x>1,则函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).令u=x2-1,∵y=ln u在(0,+∞)上单调递增,当x∈(-∞,-1)时,函数u=x2-1单调递减,当x∈(1,+∞)时,函数u=x2-1单调递增,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)=ln(x2-1)的单调递增区间为(1,+∞),∴(a,+∞)⊆(1,+∞),∴a≥1,故a的取值范围为[1,+∞). 5.(1,2)　[解析] 令g(x)=x2-ax+1(a>0且a≠1).①当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,∴要使y=loga(x2-ax+1)有最小值,必须满足g(x)min>0,∴Δ<0,解得-2<a<2,∴1<a<2;②当0<a<1时,g(x)=x2-ax+1没有最大值,从而不能使得函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,不符合题意.综上所述,a的取值范围是(1,2). 学科网（北京）股份有限公司 $