4.2.3 第1课时 对数函数的性质与图象 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的性质与图象 【课前预习】 知识点一 y=logax　a>0且a≠1 知识点二 R　(1,0)　0　(-∞,0)　(0,+∞)　(0,+∞)　(-∞,0)　x 诊断分析 解:(1)因为对数函数的自变量要大于0,所以对数函数的图象一定在y轴右侧. (2)观察图象,总结变化规律: ①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,a越大,图象越靠近x轴,当0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴. ②左右比较(比较图象与直线y=1的交点):交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 【课中探究】 例1　解:①∵y=log2x-1中对数式后减1,∴不是对数函数. ②∵y=logxa(x>0且x≠1)中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数函数. ③为对数函数. 变式　A　[解析] 因为f==,所以f=f=log2=-.故选A. 例2　(1)(0,-2)　(2)b>a>1>d>c　[解析] (1)令x+1=1,得x=0,此时y=loga(x+1)-2=-2,所以函数y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,-2). (2)过点(0,1)作平行于x轴的直线,则直线与四条曲线的交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,所以b>a>1>d>c. 变式　(1)ABD　(2)(81,144)　[解析] (1)在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=,g(x)=lox的图象,如图. 画与x轴平行的直线,由①可得a<0,0<b<1,故A中式子可能成立;由②可得a=b,故B中式子可能成立;由③可得a>1,0<b<1,故D中式子可能成立;对于C,若a>b>1,则f(a)=>0,g(b)=lob<0,即f(a)≠g(b),故C中式子不可能成立.故选ABD. (2)作出f(x)的图象,如图.不妨设a<b<c,因为f(x)在(0,3]上单调递减,在(3,9)上单调递增,在[9,+∞)上单调递减,f(1)=1,f(3)=0,f(9)=1,f(16)=0,所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),所以a∈(1,3),b∈(3,9),c∈(9,16).由f(a)=f(b),得1-log3a=log3b-1, 则log3a+log3b=2,所以ab=9,所以abc=9c∈(81,144),故abc的取值范围为(81,144). 例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题得解得x>0且x≠1.故选C. (2)由题得解得x<1且x≠-4.故选A. 变式　解:(1)由题意得即解得x≤1,故函数y=的定义域为(-∞,1]. (2)由题意得解得x<4且x≠3,故函数y=的定义域为(-∞,3)∪(3,4). (3)由题意得即故函数y=log(2x-1)(-4x+8)的定义域为∪(1,2). 例4　(1)B　(2)　[解析] (1)因为函数f(x)=log2x,x∈单调递增,所以log2≤f(x)≤log28,即-2≤f(x)≤3,所以函数f(x)的值域为[-2,3],故选B. (2)因为0<a<1,所以f(x)=logax在[a,2a]上为减函数,所以f(x)在[a,2a]上的最大值为logaa=1,最小值为loga(2a)=1+loga2.由题意得1+1+loga2=1,解得a=. 变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)因为f(x)的值域是(0,+∞),所以2-x>1,解得x<1.故选A. (2)函数f(x)=ln (x2-2mx+m+2)的值域为R,则函数y=x2-2mx+m+2的值域应包含(0,+∞),则有Δ=(-2m)2-4(m+2)≥0,解得m≤-1或m≥2,所以m的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).故选D. 例5　解:(1)方法一:因为对数函数y=log5x在(0,+∞)上是增函数,而<,所以log5<log5. 方法二:因为log5<0,log5>0,所以log5<log5. (2)lo2=,lo2=, 因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且>, 所以0>log2>log2,所以<,所以lo2<lo2. (3)因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54. 变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)因为ln 3>ln e=1,0<0.23.1<1,所以ln 3>1>0.23.1,又f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以c<b<a.故选D. (2)因为loga>1,所以loga>logaa.当a>1时,对数函数y=logax是增函数,可得a<,舍去;当0<a<1时,对数函数y=logax是减函数,所以<a<1.故选C. 拓展　C　[解析] 由已知可得a=,b=,c=,所以3a-4b=-==.因为0<t<1,43<34,所以logt43-logt34>0,又logt3<0,logt4<0,所以3a-4b>0,即3a>4b,同理可得4b-5c>0,即4b>5c.综上,3a>4b>5c,故选C. 【课堂评价】 1.C　[解析] 要使函数f(x)有意义,则解得0<x≤2且x≠1,所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].故选C. 2.B　[解析] 因为函数y=logax的图象经过点P(3,1),所以loga3=1,所以a=3,所以所求函数为y=x3,显然y=x3为奇函数,排除A,C;又因为y=x3为增函数,所以排除D.故选B. 3.C　[解析] 因为函数y=logax的图象经过定点(1,0),所以函数y=logax-1(a>0且a≠1)的图象经过定点(1,-1).故选C. 4.D　[解析] 当0<a<1时,a-1<0,f(x)=(a-1)logax+b单调递增;当a>1时,a-1>0,f(x)=(a-1)logax+b单调递增.所以当a>0且a≠1时,f(x)=(a-1)logax+b都单调递增,所以函数f(x)的单调性与a,b都无关.故选D. 5.2　[解析] 因为函数y=logax+a2-3a+2为对数函数, 所以所以a=2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的性质与图象 【学习目标】 1.理解对数函数的概念、图象及性质; 2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数; 3.初步掌握对数函数的图象和性质,会解与对数函数相关的定义域、值域问题. ◆ 知识点一　对数函数的定义 一般地,函数　　　　　　称为对数函数,其中a是常数,　　　　　　.  ◆ 知识点二　对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与性质 解析式 y=logax(a>0且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0,+∞) 值域 　　　  单调性 增函数 减函数 过定点 图象过定点　　　　,即loga1=　　　　  函数值 特征 x∈(0,1)时,y∈　　　　; x∈(1,+∞)时,y∈　 　　  x∈(0,1)时,y∈　　　;x∈(1,+∞)时, y∈　 　　  对称性 y=logax与y=lox的图象关于　　轴对称  【诊断分析】 (1)对数函数的图象一定在y轴的右侧吗? (2)函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响? ◆ 探究点一　对数函数的概念及其应用 例1 判断下列函数是否是对数函数?并说明理由. ①y=log2x-1; ②y=logxa(x>0且x≠1); ③y=log5x. 变式 已知f(x)=则f=(　 ) A.- B. C. D. [素养小结] 判断一个函数是对数函数的方法: ◆ 探究点二　对数函数的图象 例2 (1)函数y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过点　　　　.  (2)已知a,b,c,d均是不为1的正数,如图所示的曲线分别是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为　　　　　.  变式 (1)(多选题)已知函数f(x)=,g(x)=lox,且f(a)=g(b),则下列式子可能成立的是 (　 ) A.a<0,0<b<1 B.a=b C.a>b>1 D.a>1,0<b<1 (2)[2026·河南三门峡高一期末] 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=设a,b,c是三个互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围为　　　　.  [素养小结] 在同一直角坐标系中作出不同对数函数的图象,则在第一象限按逆时针方向,图象对应的函数的底数从大到小排列. ◆ 探究点三　对数函数的性质 角度一　与对数函数相关的定义域 例3 (1)函数f(x)=ln x+的定义域为(　 ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞) (2)[2026·四川南充高一期末] 函数y=的定义域为 (　 ) A.(-∞,-4)∪(-4,1) B.(-∞,-1)∪(-1,4) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 变式 求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=; (3)y=log(2x-1)(-4x+8). [素养小结] 求与对数函数有关的定义域时应注意的两点: (1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式的分母不为零,偶次根式被开方数(或式)大于或等于零等. (2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式. 注意:函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示. 角度二　对数函数的值域与最值 例4 (1)函数f(x)=log2x,x∈的值域是　 (　 ) A.[-3,-2] B.[-2,3] C.[-3,3] D.[-2,2] (2)若函数f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为1,则a=　　　　.  变式 (1)已知函数f(x)=log2(2-x)的值域是(0,+∞),则f(x)的定义域为 (　 ) A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,2) C.(1,2) D.(-∞,0) (2)[2025·黑龙江齐齐哈尔高一月考] 若函数f(x)=ln(x2-2mx+m+2)的值域为R,则m的取值范围是(　 ) A.(-1,2) B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) [素养小结] 对数函数的值域和最值主要是根据对数函数的单调性来求解的,必要时注意对对数的底数进行分类讨论. 角度三　对数函数单调性的应用 例5 比较下列各组数的大小: (1)log5与log5;(2)lo2与lo2; (3)log23与log54. 变式 (1)[2026·湖北咸宁高一期中] 设函数f(x)=ln x,若a=f(ln 3),b=f(1),c=f(0.23.1),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a (2)若loga>1,则a的取值范围是 (　 ) A. B.(0,1)∪ C. D.∪(1,+∞) [素养小结] 利用函数的单调性可进行对数大小的比较,常用的方法如下: (1)同底数的两个对数值的大小比较,根据对数函数的单调性比较. (2)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较,常用数形结合思想来解决,也可用换底公式化为同底,再进行比较. (3)底数不同且真数也不同的两个对数值的大小比较,常引入中间量进行比较,通常取中间量-1,0,1等. 拓展 已知0<t<1,a=log3t,b=log4t,c=log5t,则 (　 ) A.4b<5c<3a B.5c<3a<4b C.5c<4b<3a D.4b<3a<5c 1.函数f(x)=的定义域是 (　 ) A.(0,2] B.(0,2) C.(0,1)∪(1,2] D.(0,1)∪(1,2) 2.已知函数y=logax(a>0且a≠1)的图象经过点P(3,1),则函数y=xa的图象大致为(　 ) A B C D 3.已知函数y=logax-1(a>0且a≠1),则该函数的图象恒过定点 (　 ) A.(0,-1) B.(1,1) C.(1,-1) D.(1,0) 4.已知函数f(x)=(a-1)logax+b(a>0且a≠1,b为实数),则下列说法正确的是 (　 ) A.函数f(x)的单调性只与a有关,与b无关 B.函数f(x)的单调性只与b有关,与a无关 C.函数f(x)的单调性与a,b都有关 D.函数f(x)的单调性与a,b都无关 5.[2026·山西大同高一期末] 已知函数y=logax+a2-3a+2为对数函数,则a=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $