4.2.1 对数运算 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 【学习目标】 1.能够在具体的数学问题情境中,得出对数的概念; 2.由指数运算与对数运算的关系,得出对数运算的性质; 3.能够利用对数运算的性质进行对数运算. ◆ 知识点一　对数及相关概念 1.对数的概念:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的　　　　,记作　　　　　　,其中a称为对数的　　　　,N称为对数的　　　　.  2.常用对数:以　　　　为底的对数称为常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为　　　　.   3.自然对数:在科学技术中,常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数,以 　　　　为底的对数称为　　　　　　,自然对数logeN通常简写为　　　　.   【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)logaN是loga与N的乘积. (　 ) (2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　 ) (3)对数运算的实质是求幂指数. (　 ) 2.(1)如何准确理解指数式与对数式的关系? (2)在对数概念中,为什么规定a>0且a≠1呢? ◆ 知识点二　对数的性质 1.　　　　　　没有对数.   2.当a>0且a≠1时, (1)loga1=　　　　;   (2)logaa=　　　　;   (3)=　　　　;   (4)b=logaN的充要条件是　　　　;  (5)logaab=　　　　.  ◆ 探究点一　对数的概念 例1 (1)对数式log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,5) B.(-3,5) C.(-3,-2)∪(-2,5) D.(-3,+∞) (2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: ①2-7=;②3a=27;③10-1=0.1; ④lo32=-5;⑤lg 0.001=-3. 变式 将下列指数式与对数式互化: ①log216=4;②lo27=-3; ③lox=6;④43=64; ⑤3-2=;⑥=16. [素养小结] (1)要注意对数中的底数和真数与指数中的底数和幂指数的对应关系. (2)在对数中,对底数和真数的范围要求是求解自变量取值范围的关键. ◆ 探究点二　对数的简单运算 例2 (1)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),若b=loga10,则f(b+1)=　　　　.  (2)[2026·石家庄精英中学高一期末] 已知logb3=m,logb2=n(b>0且b≠1),则b3m+n的值为　　　　.  变式 (1)已知logx+1(x+1)=1,则x的取值范围是　　　　　　.  (2)已知a>0,b>0,loa=log3b=lo(6a+b),则= (　 ) A. B. C.2 D.3 [素养小结] 进行有关对数的运算时,关键是要充分理解对数的含义,并能结合指数和对数之间的互化进行求解. ◆ 探究点三　利用对数的性质求值 例3 求下列各式中x的值. (1)log5(log3x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)ln[log2(lg x)]=0. 变式 (1)已知a>b>c>1,且loga(lox)=logb(loy)=logc(loz)=0,则 (　 ) A.1<z<y<x B.0<z<y<x<1 C.0<x<y<z<1 D.1<x<y<z (2)求下列各式的值: ①+;②;③101+lg 2;④e-1+ln 3. [素养小结] 1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法: (1)求多重对数式的值,应从内到外求,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值; (2)已知多重对数式的值,求变量的值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 2.注意对数恒等式=N的应用. 1.使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是 (　 ) A.x>2 B.<x<2 C.<x<2且x≠ D.x<2 2.[2026·福建厦门高一期末] 已知logx8=2,则x= (　 ) A.2 B.2 C.3 D.4 3.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以e为底的对数叫作自然对数 4.若a=log43,则2a+2-a=　　　　.  5.若关于实数x的方程log2(x-2k)=log2有解,则实数k的取值范围为　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 【课前预习】 知识点一 1.对数　b=logaN　底数　真数 2.10　lg N　3.e　自然对数　ln N 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.解:(1)指数式和对数式的关系如图所示. (2)①若a<0,则N取某些数值时,logaN不存在,因此规定a不能小于0. ②若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因此规定a≠0. ③若a=1,则当N≠1时,logaN不存在,当N=1时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因此规定a≠1. 知识点二 1.负数和零　2.(1)0　(2)1　(3)N　(4)ab=N　(5)b 【课中探究】 例1　(1)C　[解析] 由题得解得则a的取值范围为(-3,-2)∪(-2,5).故选C. (2)解:①log2=-7.②log327=a.③lg 0.1=-1.④=32.⑤1=0.001. 变式　解:①24=16.②=27.③()6=x. ④log464=3.⑤log3=-2.⑥lo16=-2. 例2　(1)10a　(2)54　[解析] (1)由题知ab=10,则f(b+1)=ab+1=a×ab=10a. (2)因为logb3=m,logb2=n(b>0且b≠1), 所以bm=3,bn=2,则b3m+n=b3m·bn=·bn=33×2=54. 变式　(1)(-1,0)∪(0,+∞)　(2)D　[解析] (1)因为logx+1(x+1)=1,所以解得x>-1且x≠0,则x的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). (2)设loa=log3b=lo(6a+b)=k,则a==,b=3k,6a+b==.∵·=32k=,∴a(6a+b)=b2,整理得b2-ab-6a2=(b-3a)(b+2a)=0,又a>0,b>0,∴b+2a>0,∴b=3a,即=3.故选D. 例3　解:(1)设t=log3x,则log5t=0,∴t=1,即log3x=1,∴x=3. (2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=3,∴x=103=1000. (3)∵ln[log2(lg x)]=0,∴log2(lg x)=1,∴lg x=2,∴x=102=100. 变式　(1)C　[解析] ∵loga(lox)=logb(loy)= logc(loz)=0,∴loga(lox)=0,logb(loy)=0, logc(loz)=0,∴lox=1,loy=1,loz=1,∴x=>0, y=>0,z=>0,∵a>b>c>1,∴0<<<<1,∴0<x<y<z<1.故选C. (2)解:①因为=3,=2,所以原式=3+2=5. ②原式=22×=4×=.③原式=10×1=10×2=20.④原式=e-1×=×3=. 【课堂评价】 1.C　[解析] 若式子log(3x-1)(2-x)有意义,则解得<x<2且x≠.故选C. 2.B　[解析] 因为logx8=2,所以x2=8,且x∈(0,1)∪(1,+∞),解得x=2.故选B. 3.ACD　[解析] A,C,D中说法正确,B中说法不正确,只有a>0且a≠1时,ax=N才能化为对数式.故选ACD. 4.　[解析] ∵a=log43,∴4a=3,∴2a=,∴2a+2-a=+=. 5.(-∞,-1)∪(0,1)　[解析] 若方程log2(x-2k)=log2有解,则即即解得0<k<1或k<-1. 学科网（北京）股份有限公司 $