4.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　指数函数的图象与性质

1．(多选)下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝－　　　　　　　 B．y＝|x|

C．y＝2x    D．y＝x3

答案：AD

解析：y＝－是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C、D项显然正确．

2．下列判断正确的是(　　)

A．1.51.5>1.52    B．0.52<0.53

C．e2<e    D．0.90.2>0.90.5

答案：D

解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5>0.2，所以0.90.2>0.90.5.故选D.

3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)

答案：A

解析：方法一　y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.

方法二　y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，故选A.

4．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是______________________________．

答案：(1，＋∞)

解析：因为指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，所以2a－1＞1，所以a＞1，

所以实数a的取值范围为(1，＋∞).

5．已知函数f(x)＝4＋ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

答案：(1，5)

解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(1，5).

题型一　指数函数的图象问题

例1　(1)如图所示是下列指数函数的图象：

①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.

则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

A．a<b<1<c<d

B．b<a<1<d<c

C．1<a<b<c<d

D．a<b<1<d<c

(2)当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax-3－2必过定点________．　

[思路点拨]　(1)先由a>1，0<a<1，两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．

(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．

答案：(1)B　(2)(3，－1)

解析：(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小．由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴．故选B.

(2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3-3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax-3－2必过定点(3，－1).

指数函数的图象随底数变化的规律

1．无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．

2．指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．　　

对点练1.(1)已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是(　　)

(2)若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　)

A．第一、二、三象限    B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限    D．第一、二、四象限

答案：(1)C　(2)A

解析：(1)由1>n>m>0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n>m可知应选C.

(2)因为a>1，且－1<b<0，故其图象如下图所示．

题型二　利用指数的单调性比较大小

例2　比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5，1.73；

(2)0.8－，0.8－；

(3)1.70.3，0.93.1.

学生用书第11页

[思路点拨]　当底数相同时，利用指数函数的单调性比较大小．当底数不同时，一般找中间量比较大小．

解：(1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x，当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．

因为底数1.7>1，

所以指数函数y＝1.7x是增函数．

因为2.5<3，所以1.72.5<1.73.

(2)同(1)题，因为0<0.8<1，

所以指数函数y＝0.8x是减函数．

因为－>－，所以0.8－<0.8－.

(3)由指数函数的性质知1.70.3>1.70＝1，