4.1.1 实数指数幂及其运算 (讲义)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 【课前预习】 知识点一 1.(1)xn=a　n次方根 (2)　根指数　被开方数　①a　②a　|a| 2.　 3.as+t　ast　asbs 诊断分析 1.解:()2=3,==3,==3. 2.解:成立.6×6=×=×=8×4=32,6=6===25=32,所以6×6=6. 3.解:能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂的形式,即=,即任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式. 知识点二 实数 【课中探究】 例1　(1)C　(2)①　②-6　(3)(3,+∞) [解析] (1)f(x-1)=x-π+π=x-1+1,所以f(x)=x+1,所以f(2)=3,故选C. (2)①=.②=-6. (3)要使有意义,则a-3>0,即a>3.故实数a的取值范围是(3,+∞). 变式　(1)CD　(2)B　[解析] (1)对于A,=3,故A错误;对于B,=|x|,故B错误;对于C,因为a2+a+1=+≠0,所以对于a∈R,(a2+a+1)0=1恒成立,故C正确;对于D,(a-b)2·(b-a)4=(a-b)2·(a-b)4=(a-b)6,故D正确.故选CD. (2)因为a<,所以2a-1<0,所以=|2a-1|=1-2a.故选B. 例2　(1)BCD　(2)-　[解析] (1)对于A,因为->0,所以a<0,所以=-,故A错误; 对于B,因为π-2>0,所以=π-2,故B正确; 对于C,==,故C正确; 对于D,=x9-8=x,故D正确.故选BCD. (2)==-=-. 变式　(1)AC　(2)2　[解析] (1)对于A,==,故A正确;对于B,=5,故B错误;对于C,==62=36,故C正确;对于D,==,故D错误.故选AC. (2)因为p>0,q>0,所以==pq=paqb,所以a=1,b=1,所以a+b=2. 例3　解:(1)+-+=8+1-+=9-8+4×27=109. (2)×b-1÷=×b-1×=×b-1×=×=1. 变式　(1)C　(2)　[解析] (1)(-64+[(-3)4-+=+-1+=-4+3-1+=-.故选C. (2)由b-3m=56,可得b==. 例4　(1)8　72　(2)-　[解析] (1)因为3x=4,3y=2,所以32x-y====8.因为3x-y===2,所以92x-y+27x-y=(32)2x-y+(33)x-y=(32x-y)2+(3x-y)3=82+23=72. (2)==,因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x<y,所以x-y=-6,所以==-. 变式　(1)BCD　(2)C　[解析] (1)对于A,令(4,6)=x,(2,3)=y,则4x=6,2y=3,所以=2,即22x-y=2,所以2x-y=1,即2×(4,6)-(2,3)=1,故A错误;对于B,因为21=2,所以(2,2)=1,故B正确;对于C,令(4,5)=m,(4,6)=n,(4,30)=s,则4m=5,4n=6,4s=30,所以4m×4n=4s,即4m+n=4s,所以m+n=s,即(4,5)+(4,6)=(4,30),故C正确;对于D,令(a,b)=t,则at=b且t>0,所以a=,则(b,a)=,所以(a,b)+(b,a)=t+≥2=2,当且仅当t=1,即a=b时取等号,故D正确.故选BCD. (2)由16a=64,得42a=64=43,即2a=3,因为b>0,b2=64,所以b=8,所以2a+b=11.故选C. 拓展　-2　[解析] 由67x=27=33,得67=,由603y=81=34,得603=,所以===3-2,所以-=-2. 【课堂评价】 1.C　[解析] 由题意可得===.故选C. 2.C　[解析] 对于A,=,故A错误;对于B,=,故B错误;对于C,=-2,故C正确;对于D,=n2m-2,故D错误.故选C. 3.D　[解析] 因为a>0,b>0,所以()·(-)÷=-3·=-3a.故选D. 4.CD　[解析] 对于A,=3,故A错误;对于B,16的4次方根为±2,故B错误;对于C,D,根据指数幂的运算法则可知C,D正确.故选CD. 5.4　[解析] ===4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 【学习目标】 1.理解n次方根及根式的概念,正确运用根式的运算性质进行根式运算; 2.掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算性质. ◆ 知识点一　有理数指数幂 1.根式 (1)n次方根:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得　　　　　,则x称为a的　　　　　　.   (2)根式:当有意义的时候,　　　　称为根式,n称为　　　　　,a称为　　　　　　.   一般地,根式具有以下性质: ①()n=　　　　.   ②当n为奇数时,=　　　　;当n为偶数时,=　　　　.   2.分数指数幂 正分数 指数幂 ①=(a>0); ②=()m=　　　  负分数 指数幂 =　　　　(a>0,n,m∈N+)  3.分数指数幂(有理数指数幂)的运算法则 asat=　　　　,(as)t=　　　,(ab)s=　　　. (s,t∈Q)  【诊断分析】1.我们已经知道,若x2=3,则x=±,那么()2等于什么?呢?呢? 2.我们知道32×33=,那么6×6=6成立吗? 3.任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式吗? ◆ 知识点二　实数指数幂 无理数指数幂at(a>0,t是无理数)是一个确定的　　　　,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理数指数幂的运算法则仍然成立.  ◆ 探究点一　根式的概念与性质 例1 (1)已知函数f(x-1)=+π,则f(2)= (　 ) A.2π-3 B.-3 C.3 D.3-2π (2)计算下列各式的值: ①=　　　　;②=　　　　.  (3)若有意义,则实数a的取值范围是　　　　.  变式 (1)(多选题)下列结论正确的是 (　 ) A.=-3 B.=x C.对于a∈R,=1恒成立 D.(a-b)2·(b-a)4=(a-b)6 (2)若a<,则= (　 ) A.1+2a B.1-2a C.-1-2a D.2a-1 [素养小结] 进行根式的计算时应先考虑根指数的形态,再考虑被开方数应符合的范围,然后进行有效的变形再化简、计算. ◆ 探究点二　根式与分数指数幂的互化 例2 (1)(多选题)下列运算中正确的是 (　 ) A.=- B.=π-2 C.= D.=x (2)根式的分数指数幂的形式为　　　　.  变式 (1)(多选题)下列各式正确的是 (　 ) A.= B.=-5 C.(=36 D.=- (2)已知p>0,q>0,若=paqb,则a+b=　　　　.  [素养小结] 根式与分数指数幂互化的规律及技巧: (1)规律:根指数分数指数幂的分母. 被开方数(式)的指数分数指数幂的分子. (2)技巧:当表达式中的根号较多时,由里向外用分数指数幂的形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简. ◆ 探究点三　指数幂的运算 例3 化简求值: (1)+-+(×)6; (2)×b-1÷. 变式 (1)[2026·长沙高一期中] 计算:+[(-3)4-+= (　 ) A.- B.- C.- D. (2)已知b>0,m∈N*,且b-3m=56,则b=　　　　.  [素养小结] 实数指数幂运算的基本原则和常规方法: (1)基本原则:式子里既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一化为分数指数幂的形式,再利用运算法则化简. (2)常规方法:①化负指数幂为正指数幂; ②化根式为分数指数幂; ③化小数为分数. ◆ 探究点四　条件求值 例4 (1)已知3x=4,3y=2,则32x-y=　　　　,92x-y+27x-y=　　　　.  (2)已知x+y=12,xy=9,且x<y,则=　　　　.  变式 (1)(多选题)规定a,b之间的一种运算,记作(a,b),若ac=b,则(a,b)=c,则下列结论正确的是 (　 ) A.(4,6)=2×(2,3) B.(2,2)=1 C.(4,5)+(4,6)=(4,30) D.若a>1,b>1,则(a,b)+(b,a)≥2 (2)[2026·河南洛阳高一月考] 已知b>0,16a=b2=64,则2a+b的值是 (　 ) A.3 B.8 C.11 D.14 [素养小结] 解决此类问题时,先将所求的式子化简,再将已知条件代入.在化简过程中,要注意平方差公式及完全平方公式的灵活应用. 拓展 已知67x=27,603y=81,则-=　　　　.  1.[2025·江苏宿迁文昌高级中学高一月考] 化简的结果是 (　 ) A. B. C. D. 2.下列各式正确的是 (　 ) A.= B.=(x+y C.=-2 D.=n2 3.已知a>0,b>0,则()·(-)÷= ( 　 ) A.- B.-3 C.-a D.-3a 4.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.的运算结果是±3 B.16的4次方根是2 C.当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义 D.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义 5.[2026·天津河西区高一期末] 计算:(-8=　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $