4.1.1 实数指数幂及其运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“实数指数幂及其运算”核心知识点，从整数指数幂（正整数、零、负整数）出发，通过n次方根与根式的概念构建基础，逐步拓展至分数指数幂（含正分数、负分数）及无理指数幂，形成完整的实数指数幂知识体系，并系统梳理其运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）。 该资料以牛顿首次使用任意实数指数的历史情境引入，激发学习兴趣，体现数学抽象素养。通过问题驱动（如“a≤0时根式是否有意义”）引导探究，结合例题与跟进训练强化数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后通过分层作业与回顾问题，辅助学生查漏补缺，巩固知识。

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 学习任务 1．能从教材实例中抽象出n次方根、根式的概念．(数学抽象) 2．能结合教材探究总结出根式的性质．(数学运算) 3．能从教材实例中抽象出分数指数幂及无理指数幂的意义．(数学抽象) 4．能结合整数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．(数学运算) 牛顿(1643~1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗? 他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将，…写成，…，将，…写成a-1，a-2，a-3，…．”这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习． 问题：(1)(a>0)写成根式会是怎样的形式? (2)的根式形式中a≤0又如何? [提示]　(1)=，＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)． (2)若a≤0，，不一定有意义，例如，无意义，故规定a>0． 知识点1　有理数指数幂 1．有关幂的概念 一般地，an中的a称为底数，n称为指数． 2．整数指数幂 整数指数幂 正整数指数幂 an＝(n∈N＋) 零指数幂 规定a0＝1(a≠0)为零指数幂 负整数指数幂 规定a－n＝(a≠0，n∈N＋)为负整数指数幂 3．n次方根、根式的定义与性质 (1)①a的n次方根的定义 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． ②a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) ③根式 式子称为根式，这里n称为根指数，a称为被开方数． (2)根式的性质 ①()n＝a． ②＝ ①a为正数： ②a为负数： ③零的n次方根为零，记为＝0． 1．根式化简开偶次方根时应注意什么问题？ [提示]　开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 4．分数指数幂 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝． (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．分数指数幂与根式有什么关系？ [提示]　(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化． (2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，可能会有意义．当有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算． 3．分数指数幂可以理解为个a相乘吗？ [提示]　不可以．分数指数幂不可以理解为个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法． 5．有理数指数幂的运算法则 (1)前提：s，t为任意有理数． (2)法则：asat＝as＋t；(as)t＝as_t；(ab)s＝asbs． 知识点2　实数指数幂 无理指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理数指数幂的运算法则仍然成立． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当a≥0时，表示一个数． (　　) (2)实数a的n次方根有且只有一个． (　　) (3)当n为偶数，a≥0时，≥0． (　　) (4)＝()n． (　　) (5)(－2＝(－2．． (　　) (6)[(－2)×(－3)＝(－2(－3． (　　) (7)当a>0时，(ar)s＝(as)r． (　　) [提示]　(1)√ (2)×．当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个． (3)√ (4)×．当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立． (5)×．(－2>0，而(－2无意义，故错误． (6)×．左边＝，右边无意义． (7)√ [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×　(7)√ 2．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A．(x>0) B． C．(xy≠0) D．(y<0) C　[A选项中＝，故A错误； B选项中＝，故B错误； C选项中＝＝(xy≠0)，故C正确；D选项中，＝ (y<0)，故D错误．] 3．(1)15的平方根为________；－243的5次方根为________． (2)已知x6＝2 026，则x＝________． [答案]　(1)± 　－3　(2)± 4．计算下列各式． ＝________； (2)a－π＝________．(a≠0) (1)9　(2)1　＝＝32＝9． (2)a－π＝＝a0＝1．] 5．当x＞0，y＞0时·的化简结果为________． －　[原式＝·＝＝－．] 类型1　n次方根的概念及相关问题 【例1】　(1)27的立方根是________；16的4次方根是________． (2)若有意义，则实数x的取值范围为________． (3)＝________． (1)3　±2　(2)[－3，＋∞)　(3) [(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2． (2)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3． (3)原式＝|x＋2|＝ ] 　根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分()n与； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． [跟进训练] 1．(1)等式＝成立的条件是(　　) A．>3 B．x≠3 C．x>0 D．x>3 (2)下列各式正确的是(　　) A．＝a B．＝－3 C．＝－4 D．－＝－a (3)设－3<x<3，则＝________． (1)D　(2)B　(3) 　　 [(1)等式＝成立的条件是 即x>3． (2)当n为偶数时，＝|a|＝故A，C错误．当n为奇数时，＝－(－a)＝a，故B项正确，D项错误． (3)原式＝＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4． ∴原式＝ ] 类型2　根式与分数指数幂的化简与求值 【例2】　【链接教材P7例2、例3】 计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)(2)(－6)÷(－3)； (2)()8； (3)()÷． [解]　(1)(2)(－6)÷(－3) ＝[2×(－6)÷(－3)] ＝4ab0 ＝4a． (2)()8＝()8()8 ＝m2n-3 ＝． (3)()÷＝()÷ ＝ ＝－a ＝－a． 【教材原题·P7例2、例3】 例2　计算下列各式的值： (1)；． [解]　(1)＝＝＝31＝3． ＝＝＝25． 例3　化简下列各式： ； ． [解]　(1)原式＝＝＝． (2)原式＝ ＝＝． 　指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是代分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． [跟进训练] 2．计算：(－1)0＋． [解]　(－1)0＋=＋(23＝1＋＋4＝． 类型3　指数幂运算中的条件求值 【例3】　已知＝(a＞0)，求下列各式的值： (1)a＋a-1； (2)a2＋a-2． [解]　(1)将＝的两边平方，得a＋a-1＋2＝5，即a＋a-1＝3． (2)由a＋a-1＝3，两边平方， 得a2＋a-2＋2＝9，即a2＋a-2＝7． [母题探究] 1．(变结论)本例条件不变，求a2－a-2的值． [解]　设y＝a2－a-2，两边平方，得 y2＝a4＋a-4－2＝(a2＋a-2)2－4＝72－4＝45． 所以y＝±3，即a2－a-2＝±3． 2．(变条件)将本例中的条件改为a2＋a-2＝3，求a＋a-1的值． [解]　∵a2＋a-2＝3， ∴(a＋a-1)2－2＝3， 即(a＋a-1)2＝5，故a＋a-1＝±． 　条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，应设法整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值． (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果． [跟进训练] 3．已知x＝，求的值． [解]　 ＝ ＝ ＝． 将x＝代入上式得：原式＝． 1．的值是(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．81 A　[] ＋80.25×＋6＝(　　) A．112 B．110 C．102 D．120 A　[原式＝6＝＋22×33＝112． 故选A．] 3．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－ B． (y<0) C．(x≠0) D． (x>0) CD　[对于选项A，因为－ (x≥0)，而(x≤0)，故A错误； 对于选项B，因为 (y<0)，故B错误； 对于选项(x≠0)，故C正确； 对于选项 (x>0)，故D正确．] 4．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________． 　[利用一元二次方程根与系数的关系， 得α＋β＝－2，αβ＝，则2α·2β＝2α＋β＝2-2＝，(2α)β＝2α β＝．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．有理指数幂与实数指数幂的运算法则是否相同？它们有怎样的运算法则？ [提示]　相同．s，t为有理数(或实数)时， asat＝as＋t；(as)t＝as t；(ab)s＝asbs． 2．化简指数幂的一般步骤是什么？ [提示]　有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减． 注意：负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数；若是根式，则应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算法则． 3．本节课的易错点在哪里？ [提示]　本节课的易错点是对根式概念理解不透致错以及指数幂运算性质掌握不熟练出现的计算错误． 课时分层作业(一)　实数指数幂及其运算 一、选择题 1．下列各式计算正确的是(　　) A．(－1)0＝ B．·a2＝a C． D． A　[选项A中，(－1)0＝1正确； 选项B中，故B不正确； 选项C中，故C不正确； 选项D中＝a，故D不正确．] 2．(多选)下列各式中一定成立的有(　　) A． B． C． D． BD　[＝n7m-7，A错误；，C错误；，D正确．] 3．(多选)若an＝b(a≠0，n＞1，n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　) A．当n为奇数时，b的n次方根为a B．当n为奇数时，＝a C．当n为偶数时，b的n次方根为a D．当n为偶数时，＝|a| ABD　[当n为奇数时，b的n次方根只有1个，为a，即＝a，故AB正确， 当n为偶数时，由于(±a)n＝an＝b，所以b的n次方根有2个，为±a，所以C错误， 即＝|a|，故D正确．故选ABD．] 4．若，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥ B．a≤ C．－ D．R B　[因为， 所以|2a－1|＝1－2a，则2a－1≤0，解得a≤．] 5．计算(n∈N＋)的结果为(　　) A． B．22n+5 C． D． D　[原式＝．] 二、填空题 6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________． －11或7　[因为81的平方根为±9，所以a＝±9． 又因为－8的立方根为－2，所以b＝－2． 所以a＋b＝－11或a＋b＝7．] 7．若有意义，则 化简后的结果是________． －1　[∵有意义，∴2－x≥0，∴x≤2． ∴ ＝|x－2|－|3－x|＝(2－x)－(3－x)＝－1．] 8．已知a＞0，化简＝________． a-1　[] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)已知10α＝3，10β＝4，求的值． [解]　10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12； 10α－β＝10α×10－β＝； 10-2α＝(10α)-2＝3-2＝； ． 10．(多选)下列结论中错误的是(　　) A．当a<0时＝a3 B．＝|a| C．函数y＝－(3x－7)0的定义域是[2，＋∞) D．若100a＝5，10b＝2，则2a＋b＝1 ABC　[取a＝－2，可验证A不正确； 当a<0，n为奇数时，B不正确； y＝－(3x－7)0的定义域应是 ∪，C不正确； 由100a＝5得102a＝5． ① 又10b＝2， ② ①×②得102a+b＝10． ∴2a＋b＝1，D正确．] 11．已知x>0，y>0且x＋4y＝1，则2x＋16y的最小值是(　　) A． B．2 C．4 D．4 B　[∵x＞0，y＞0且x＋4y＝1， ∴2x＋16y＝2x＋24y≥2，当且仅当2x＝24y，即x＝时，等号成立，即2x＋16y的最小值是2．] 12．计算：－(－2 026)0＝______． －6　[] ＝________． 1　[ ＝－(＋2)＋1＋＝1．] 14．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值． [解]　因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根， 所以 ． 因为a>b>0，所以>， 所以． 15．(15分)已知a>0，b>0，且ab＝ba，试探究：是否相等?证明你的结论．　 [解]　相等，证明如下： 由ab＝ba知b＝， 则，即得证． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $