5.3.3 第2课时 古典概型的应用-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

5.3 概率 5.3.3 古典概型 1 第2课时 古典概型的应用 2 探究点一 古典概型的简单应用 探究点二 “不放回”与“放回”抽取问题 探究点三 互斥、对立事件与古典概型的 综合应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 应用古典概型的概率公式计算复杂事件的概率. 4 知识点一 古典概型的概率公式及性质 假设古典概型对应的样本空间含个样本点，事件包含 个样本点， 则： （1）由 与__________可知______________; （2）因为中包含的样本点个数为 ,所以 _________,即 ___; （3）若事件包含有个样本点，而且与互斥，则容易知道 包含个样本点，从而 ____________. 1 课 前 预 习 5 知识点二 古典概型的应用 1.从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典 概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解 决就变得越简单. 2.古典概型的两类主要问题：“有放回”与“不放回”问题，“有序”与 “无序”问题. 课 前 预 习 6 探究点一 古典概型的简单应用 例1（1）某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷.如果下雨与不下 雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的.只要帐篷如期运到,他 们就不会淋雨,则下列说法中正确的是( ) A.淋雨的概率为 B.淋雨的概率为 C.淋雨的概率为 D.一定不会淋雨 √ 课 中 探 究 7 [解析] 如图,淋雨的情况是天下雨且不能准时收到帐篷,故淋雨的概率 . 课 中 探 究 8 （2）［2025·广东佛山顺德区乐从中学高一期末］同时转动如图的 两个转盘,记转盘①得到的数为转盘②得到的数为 ,结果为 ． （ⅰ）写出事件“”和事件“且 ”包含的样本点. 解:事件“”包含的样本点有,, ； 事件“且”包含的样本点有,,, . 课 中 探 究 9 （2）［2025·广东佛山顺德区乐从中学高一期末］同时转动如图的 两个转盘,记转盘①得到的数为转盘②得到的数为 ,结果为 ． （ⅱ）设计了一种游戏方案：甲、乙两人同时各转动一个转盘一次， 将转到的数字相加，和为偶数时甲获胜，否则乙获胜．游戏方案对 双方是否公平？请说明理由． 课 中 探 究 10 解:甲、乙两人同时各转动一个转盘一次包含的样本点有 , ,共12个， 其中转到的两数字之和为偶数包含的样本点有6个，两数字之和为奇 数包含的样本点也有6个， 所以甲获胜的概率，乙获胜的概率 ， 即 ，所以该游戏方案对双方是公平的. 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 当一个事件的样本点有有限个，且每个基本事件发生的可能性相等 时，则可使用古典概型概率公式进行计算，同时还要注意样本空间 的确定. 课 中 探 究 12 探究点二 “不放回”与“放回”抽取问题 例2 ［2026·山东济宁高一期末］一个不透明的箱子中有4个红球、2 个蓝球（球除颜色外，没有其他差异）. （1）按先后顺序任意取出2个球，每次取出后不放回，求这2个球颜 色相同的概率; 解:把4个红球标记为,,,,2个蓝球标记为, . 按先后顺序任意取出2个球，每次取出后不放回的样本空间 ,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,, , , ,,,,,, ，共包含30个样本点, 课 中 探 究 13 设事件 为“按先后顺序任意取出2个球，每次取出后不放回且取出的 2个球颜色相同”,则，，，，， ， ，，，，，，， ,共包含14 个样本点,则 . 课 中 探 究 例2 ［2026·山东济宁高一期末］一个不透明的箱子中有4个红球、2 个蓝球（球除颜色外，没有其他差异）. （2）若从箱子中有放回地抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率. 课 中 探 究 15 解:从箱子中有放回地随机抽取2个球的样本空间 , , ,, , , , , , ,, , , , , , , , ,, , , , , , , , ,, , , , , , , , 共包含36个样本点， 设事件 为“从箱子中有放回地抽取2个球且颜色相同”，则 , , , , , , ,, , , , , , ,，共包含20个样本 点，则 . 课 中 探 究 变式 （1）讨论例2（1）中抽取两个球时，若从箱子中一次性随机抽取2 个球,求这2个球颜色相同的概率. 解:由例2可知,,,,,,, , ,,,,,,,共包含15个样本点, 设事件 为“从箱子中一次性随机抽取2个球且颜色相同”, 则，，，，，， ,共包含7 个样本点,则 . 课 中 探 究 17 （2）一个盒子中装有标号为1,2,3,5的4张标签,依次随机选取2张标签, 用数组(m,n)表示可能的结果,其中m表示第一次取出的标签上的数字, n表示第二次取出的标签上的数字. ①若标签的选取是不放回的,写出样本空间Ω,并求m+n>5的概率; 解:若标签的选取是不放回的,则样本空间 Ω={(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3)},共包含 12个样本点,满足m+n>5的样本点有(1,5),(2,5),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),共6个, 所以满足m+n>5的概率P1==. 课 中 探 究 18 （2）一个盒子中装有标号为1,2,3,5的4张标签,依次随机选取2张标签, 用数组(m,n)表示可能的结果,其中m表示第一次取出的标签上的数字, n表示第二次取出的标签上的数字. ②若标签的选取是有放回的,求m<n的概率. 解:若标签的选取是有放回的,则样本空间Ω '={(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1), (2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)},共包含16个样本点, 满足m<n的样本点有(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),共6个, 所以满足m<n的概率P2==. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ “抽取”问题的解题策略： 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点： 一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的 条件； 二是看抽取方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数 是有影响的.另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽 样要看作有序抽取. 课 中 探 究 20 探究点三 互斥、对立事件与古典概型的综合应用 例3 在某铁人三项接力比赛中，某运动俱乐部要从3名擅长游泳的选 手，，，3名擅长骑自行车的选手，， ，2名擅长跑步 的选手，中各选一名组成参赛队.假设在2名擅长跑步的选手中 的状态更好，已确定入选，擅长游泳与骑自行车的选手每人入选的 可能性相等. （1）求 被选中的概率； 课 中 探 究 21 解:从擅长游泳的3名选手与擅长骑自行车的3名选手中各选出1名与 选手 组成参赛队，样本空间中共包含9个样本点，分别为 ，，，， ， ，，，，其中 被选中 包含的样本点有3个，分别为，， ， 所以被选中的概率 . 课 中 探 究 22 例3 在某铁人三项接力比赛中，某运动俱乐部要从3名擅长游泳的选 手，，，3名擅长骑自行车的选手，， ，2名擅长跑步 的选手，中各选一名组成参赛队.假设在2名擅长跑步的选手中 的状态更好，已确定入选，擅长游泳与骑自行车的选手每人入选的 可能性相等. （2）求， 不全被选中的概率. 解:用事件表示“, 不全被选中”，则, 所以, 不全被选中的概率 . 课 中 探 究 23 变式 某文具店推出“盲盒抽奖”活动,共有5个外观完全相同的盲盒, 其中1个为一等奖,2个为二等奖,2个为三等奖.顾客需不放回抽取盲盒, 每次抽取1个. (1)求顾客“第二次才抽到一等奖”的概率; 解: 将一等奖盲盒记为A,二等奖盲盒记为B1,B2,三等奖盲盒记为C1,C2, 若抽取两次,则样本空间Ω={AB1,AB2,AC1,AC2,B1A,B1B2,B1C1,B1C2,B2A,B2B1, B2C1,B2C2,C1A,C1B1,C1B2,C1C2,C2A,C2B1,C2B2,C2C1},所以n(Ω)=20. 记事件M为第二次才抽到一等奖,则M=,所以n(M)=4, 所以P(M)==,即第二次才抽到一等奖的概率为. 课 中 探 究 24 变式 某文具店推出“盲盒抽奖”活动,共有5个外观完全相同的盲盒, 其中1个为一等奖,2个为二等奖,2个为三等奖.顾客需不放回抽取盲盒, 每次抽取1个. (2)求顾客“在前两次抽取中,恰好抽到1个二等奖和1个三等奖”的概率. 解: 记事件N为前两次抽取中,恰好抽到1个二等奖和1个三等奖, 则N={B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,C1B1,C1B2,C2B1,C2B2},所以n(N)=8, 所以P(N)==,即在前两次抽取中,恰好抽到1个二等奖和1个三等奖 的概率为. 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 求某些较复杂事件的概率通常有两种方法: 一是将所求事件的概率表示成一些彼此互斥事件的概率的和; 二是先求此事件的对立事件的概率，用公式<m></m>间接法 求解. 当转化成的彼此互斥的事件较多或用直接法求某一事件的概率较为复 杂时,方法二常可使概率的计算得到简化. 课 中 探 究 26 1.［2026·山东威海高一期末］甲、乙两校各有2名教师报名支教，若 从报名的4名教师中任选2名，则选出的2名教师来自不同学校的概率 为( ) A. B. C. D. [解析] 设甲校报名支教的两名教师为, ，乙校报名支教的两名教 师为,，从这4名教师中任选2名，样本空间包含 , , ,,, ，共6个样本点，选出的2 名教师来自不同学校包含的样本点有,, , ，共4个，所以所求概率为 .故选C. √ 课 堂 评 价 27 2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，观察向上的点数，设事件 为“向 上的点数为偶数”，事件为“向上的点数为3”，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题得，，因为事件， 是互斥事件，所 以 ，故选B. √ 课 堂 评 价 28 3.［2026·长春东北师大附中高一期末］将一枚质地均匀的骰子连续 抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6, ，则这6个点数的中位数为4 的概率为( ) A. B. C. D. [解析] 当或2时，这6个点数的中位数为3； 当 时，这6个点数的中位数为3.5； 当时，这6个点数的中位数为4； 当 或6时，这6个点数的中位数为4.5. 由古典概型概率计算公式可得所求概率 .故选A. √ 课 堂 评 价 29 4.从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选 2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 30 [解析] 设只读过《论语》的3名同学为,, ，只读过《红楼梦》的3 名同学为,,,设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件 . 从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2 人，样本空间中共包含15个样本点，分别为,,,, , ,,,,,,,,, ,其 中事件包含的样本点有3个，分别为,, ,所以选中的2 人都读过《红楼梦》的概率 .故选A. 课 堂 评 价 31 5.某部门派四位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调 研活动,每位专家选择周一、周二的可能性相同,则周一、周二都有专 家参加调研活动的概率为__. [解析] 依题意,四位专家参加调研活动的情况可以用如图所示的树形 图表示. 课 堂 评 价 32 由图可得，样本空间中共包含16个样本点,四位专家都在同一天参加 调研活动包含的样本点有2个,周一、周二都有专家参加调研活动包含 的样本点有 （个），故周一、周二都有专家参加调研活 动的概率为 . 课 堂 评 价 33 课后习题 34 1.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站同一时刻只 能停靠一辆车）,有一位乘客在等候4路车或8路车,假定当时各路车首 先到站的可能性相同,则首先到站的正好是这位乘客所需要乘坐的公 共汽车的概率为( ) A. B. C. D. [解析] 样本空间中样本点总数为5,首先到站的是4路车或8路车包含 的样本点个数为2，故所求概率为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 2.先后抛掷两枚质地均质的骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率 依次是，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 先后抛掷两枚骰子,出现的点数的样本空间为 ,， , ,， , ,， , ,共包含36 个样本点， √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 其中点数之和是2的有1个样本点，故 ， 点数之和是3的有2个样本点，故 ， 点数之和是4的有3个样本点，故 ， 所以 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件包含10个样本点， 事件 包含8个样本点，事件包含16个样本点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得事件包含（个）样本点，由 包 含16个样本点，且，得 包 含（个）样本点，则包含 （个）样本 点，故 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 4.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球， 个绿球，现采用 不放回的方式从中依次随机取出2个球，若取出的2个球都是红球的 概率为，则 的值为( ) A.4 B.5 C.12 D.15 [解析] 因为从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是 红球的概率是，所以，解得或 （舍去）. 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 5.［2025·河北邢台南宫中学高一期末］口袋里装有1红、2白、3黄共 6个除颜色外完全相同的小球，从中任取2个球，记事件 “取出的2 个球同色”，事件“取出的2个球中至少有1个黄球”，事件 “取 出的2个球至少有1个白球”，事件 “取出的2个球不同色”，事件 “取出的2个球中至多有1个白球”，则( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 [解析] 记红球为，白球为,，黄球为,, ，从中任取2个球 的样本空间,,,,,,,,, , ,,,,，共15个样本点，事件 包含的样本点有 ,,,，共4个，所以，故A错误； 表示取到的2个球为一个黄球一个白球，包含的样本点有, , , ,,，共6个，所以 ，故B错误； 由题知事件是必然事件，故，故C正确； 事件与事件 是对立事件,所以 ,故D错误.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 6.某博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车按随机 顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计了两种乘车方案:方案一, 不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐 此车,否则乘坐第三辆车;方案二,直接乘坐第一辆车.记选择方案一与 方案二坐到“3号”车的概率分别为, ,则( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 [解析] 三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321,即样本空间 中的样本点共有6个. 选择方案一坐到“3号”车包含的样本点有132,213,231,所以 ; 选择方案二坐到“3号”车包含的样本点有312,321,所以. 所以 ,故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 7.（多选题）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3的三个小球, 现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等. 下列说法正确的是(　 ) A.取出的两个球上标号都是2的概率为 B.取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C.取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 [解析] 将从甲、乙盒中取出的球的标号分别记为x,y,用数对(x,y)来表示 取球结果,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}, 共包含9个样本点.取出的两个球上标号都是2包含的样本点有(2,2),共1个, 其概率为,故A正确; 取出的两个球上标号为不同数字包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3), (3,1),(3,2),共6个,其概率为=,故B错误; 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1包含的样本点有(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(3,1),共5个,其概率为,故C错误; 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样本点有 (2,1),(3,1),(3,2),共3个,其概率为=,故D正确.故选AD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 8.现有1件正品和2件次品，从中不放回地依次抽取2件产品，则事件 “第二次抽到的是次品”的概率为__. [解析] 记1件正品为，2件次品分别为， ，从3件产品中不放回地 依次抽取2件产品所包含的样本点有,,,, , ，共6个，事件“第二次抽到的是次品”所包含的样本点有 , ,, ，共4个，所以事件“第二次抽到的是次品”的概率 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 9.（13分）［2025·广东广州白云中学高一期末］ 甲、乙二人用4张 扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑 克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不 放回，各抽一张. （1）写出这个试验的样本空间. 解:用2，3，4， 分别表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，记甲抽到 的牌为，乙抽到的牌为，用 来表示抽取结果， 则样本空间,,,,,,,, , ,, ，共12个样本点. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 9.（13分）［2025·广东广州白云中学高一期末］ 甲、乙二人用4张 扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑 克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不 放回，各抽一张. （2）设事件“乙抽到的牌的数字比3大”，求 的概率. 解:事件,,,,, ，共6个样本点， 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 9.（13分）［2025·广东广州白云中学高一期末］ 甲、乙二人用4张 扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑 克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不 放回，各抽一张. （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜，否则乙 胜.你认为此游戏是否公平？为什么？ 解:甲抽到的牌的数字比乙的大，包含的样本点有,, , , ，共5个，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为， 因为 ，所以此游戏不公平. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 10. [2026·河南驻马店高一期末] 袋子中有四个小球,分别写有“文、明、 中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取 到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率. 利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表 “文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的 结果,经随机模拟产生了以下18组随机数: 232　321　230　023　123　021　132　220　001 231　130　133　231　013　320　122　103　233 由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为(　 ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 [解析] 随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止包含的基本 事件有023,123,132,共3个,所以由此可以估计,恰好第三次就停止的 概率P==.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 11.（多选题）下面有三个游戏，则( ) 取球方式 结果 游 戏1 袋中有除颜色外完全相同的3个黑球和1个白球， 游戏时，每次取1个球，不放回地依次取2个球 取出的2个球 同色 甲获 胜；取出的2 个球不同色 乙获胜 游 戏2 袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球， 游戏时，每次取1个球，有放回地依次取2个球 游 戏3 袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球， 游戏时，每次取1个球，不放回地依次取2个球 A.游戏1公平 B.游戏2公平 C.游戏3公平 D.游戏2不公平 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 [解析] 对于游戏1，样本空间包含(黑1,黑2), (黑1,黑3),(黑1,白),(黑2, 黑1),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,黑1),(黑3,黑2),(黑3,白),(白,黑1),(白,黑2), (白,黑3),共12个样本点，其中甲获胜包含的样本点有(黑1,黑2),(黑1, 黑3),(黑2,黑1),(黑2,黑3),(黑3,黑1),(黑3,黑2),共6个,则甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,故游戏1公平. 对于游戏2，样本空间包含(黑1,黑1),(黑1,黑2),(黑1,白1), (黑1,白2), (黑2,黑1),(黑2,黑2),(黑2,白1),(黑2,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,白1), (白1,白2),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,白1),(白2,白2),共16个样本点,其中 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 甲获胜包含的样本点有(黑1,黑1),(黑1,黑2),(黑2,黑1),(黑2,黑2),(白1, 白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共8个,则甲获胜的概率为,乙 获胜的概率为 ,故游戏2公平. 对于游戏3，样本空间包含(黑1,黑2),(黑1,白1,),(黑1,白2),(黑2,黑1), (黑2,白1),(黑2,白2), (白1,黑1),(白1,黑2),(白1,白2),(白2,黑1),(白2,黑2), (白2,白1),共12个样本点,其中甲获胜包含的样本点有(黑1,黑2),(黑2, 黑1),(白1,白2),(白2,白1),共4个,则甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率 为,故游戏3不公平.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题, 共3道,另一种是填空题,共2道.若小李从中不放回地依次抽取2道题解 答，则所选的题不是同一种题型的概率为__. [解析] 将3道选择题分别编号为1,2,3，将2道填空题分别编号为4,5. 从5道题中任选2道不同的题解答,每一次选1题,则样本空间包含 , ,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,共20个样本点. 设事件 为“所选的题不是同一种题型”,则事件包含的样本点有, , , ,,,,,,,, ,共12个, 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 13.［2025·云南昭通高一期末］先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰 子，记向上一面的点数分别为，，则函数 的图象过原 点，且关于原点对称的概率为__. [解析] 根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上 一面的点数分别为，，试验包含的样本点有 （个）. 若函数的图象过原点，且关于原点对称，则 为正奇 数，包含的样本点有，，，，，， ， ，，共9个，故函数 的图象过原点，且关于原 点对称的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 14.（15分）[2026·四川达州高一期末] 某市2024年5月举办了“用普通 话讲好中国故事”的活动,有20名选手进入决赛,他们的决赛得分(单位:分, 满分100分)情况如下表: (1)同组数据由该组区间中点值代替,求这20名选手决赛的平均成绩; 得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 7 8 3 解:由表中数据可得=65×+75×+85×+95×=81. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 14.（15分）[2026·四川达州高一期末] 某市2024年5月举办了“用普通 话讲好中国故事”的活动,有20名选手进入决赛,他们的决赛得分(单位:分, 满分100分)情况如下表: (2)从决赛得分在[60,70)内和在[90,100]内的选手中随机抽取2人, 求至少1人得分不低于90分的概率. 得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 7 8 3 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 解: 由题可知,决赛得分在[60,70)内的有2人,得分在[90,100]内的有3人. 设决赛得分在[60,70)内的2人分别为A,B,得分在[90,100]内的3人分别 为a,b,c,则从得分在这两区间的选手中随机抽取2人, 样本空间Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc},共包含10个样本点. 设事件M为“2人中至少1人得分不低于90分”,则事件M={Aa,Ab,Ac,Ba,Bb, Bc,ab,ac,bc},共包含9个样本点, 则P(M)=.所以至少1人得分不低于90分的概率为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 15. 从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张， 放回并搅拌均匀后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字 大于第二张卡片上的数字的概率为__． [解析] 记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为 事件 ,则,,,,,,, ,,, ,,,,,, ,,,, ,共21个 样本点,而有放回地连续抽取2张卡片共包含 （个）样本点, 则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 $