5.1.4 第2课时 用样本的分布来估计总体的分布-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

5.1 统计 5.1.4 用样本估计总体 1 第2课时 用样本的分布来估计总体的分布 2 探究点 用样本的分布估计总体的分布 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 能用样本的分布来估计总体的分布. 4 知识点 用样本的分布估计总体的分布 1.如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分 布会差不多.特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大. 2.如果容许有一定误差，则可以用____________去估计总体的分布. 而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体 的分布. 同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.同样，大数定律 可以保证，当____________________时，误差很小的可能性将越来 越大. 样本的分布 样本的容量越来越大 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）用样本分布估计总体分布难免有误差，如果总体在每一个分组 的频率记为,, ,，样本在每一组对应的频率记为， ， ， ，则公式 可以去除误差.( ) × [解析] 误差是不可能去除的，大数定律可以保证, 当样本的容量越来越大时, 很小的可能性将越来越大. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）在用样本分布估计总体分布的过程中，总体容量越大，估计越 精确.( ) × [解析] 在用样本分布估计总体分布的过程中，样本容量越大， 估计越精确. 课 前 预 习 7 探究点 用样本的分布估计总体的分布 例1 [2026·贵州遵义高一期末] 某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”, 为了了解本次竞赛成绩的情况,从中抽取了100名学生的竞赛成绩(单位: 分,得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,将成绩整理后按 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,得到如图所示的频率分 布直方图. (1)求a的值; 解:根据频率分布直方图的性质,可得 (a+0.018+0.028+0.030+a)×10=1,解得a=0.012. 课 中 探 究 8 例1 [2026·贵州遵义高一期末] 某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”, 为了了解本次竞赛成绩的情况,从中抽取了100名学生的竞赛成绩(单位: 分,得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,将成绩整理后按 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,得到如图所示的频率分 布直方图. (2)估计这次竞赛成绩的平均数(各组数据以 该组区间的中点值作代表); 解:估计这次竞赛成绩的平均数=(55×0.012+65× 0.018+75×0.028+85×0.030+95×0.012)×10=76.2. 课 中 探 究 9 例1 [2026·贵州遵义高一期末] 某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”, 为了了解本次竞赛成绩的情况,从中抽取了100名学生的竞赛成绩(单位: 分,得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,将成绩整理后按 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,得到如图所示的频率分 布直方图. (3)若该中学计划奖励竞赛成绩前15%的学生, 估计获得奖励的学生的竞赛成绩的最低分. 解:设获得奖励的学生的竞赛成绩的最低分为x分, 则x≈90-×10=89, 所以估计获得奖励的学生的竞赛成绩的最低分为89分. 课 中 探 究 10 变式 [2026·广东汕尾高一期末] “广东万里碧道·汕尾品清湖铁人三项赛” 是汕尾市重点打造,融合体育竞技、绿美生态体验与滨海旅游资源的品 牌赛事,吸引了全国众多爱好者.为科学评估大众选手在品清湖“欢乐跑” (10千米)项目的表现,组委会从所有完赛选手中随机抽取了100人的成绩 (单位:分,成绩均为不低于40的整数)作为样本进行分析,并据此绘制了如 下频率分布表和频率分布直方图. 成绩分组/分 频数 [40,50) 5 [50,60) 10 [60,70) 20 [70,80) a [80,90) 25 [90,100] 10 课 中 探 究 11 (1)根据样本数据,计算频率分布表中a的值和频率分布直方图中b的值; 解:由频率分布表知5+10+20+a+25+10=100,解得a=30, 所以频率分布直方图中b==0.03. 成绩分组/分 频数 [40,50) 5 [50,60) 10 [60,70) 20 [70,80) a [80,90) 25 [90,100] 10 课 中 探 究 12 (2)根据样本数据,估计这100名选手“欢乐跑”成绩的样本众数、中位数 和平均数; 成绩分组/分 频数 [40,50) 5 [50,60) 10 [60,70) 20 [70,80) a [80,90) 25 [90,100] 10 解:由频率分布表和频率分布直方图,估计样本的众数为=75. 由(1)及频率分布表知,数据落在各组的频率按成绩由低到高依次为 0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1,则样本的中位数x0∈(70,80), 则0.35+(x0-70)×0.03=0.5,解得x0=75. 估计样本的平均数=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74. 课 中 探 究 13 (3)已知落在区间[50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在区间[60,70)的 平均成绩是63,方差是4,求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 成绩分组/分 频数 [40,50) 5 [50,60) 10 [60,70) 20 [70,80) a [80,90) 25 [90,100] 10 解:两组成绩合并后的总平均数==60, 两组成绩合并后的总方差s2=×[7+(54-60)2]+×[4+(63-60)2]=23. 课 中 探 究 14 例2 某学院采用线下和线上相结合的 方式开展了300名学员参加的一项专题 培训.为了了解参训学员对于线上培训、 线下培训的满意程度，随机选取了50名学员， 将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评， 根据学员的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图. （1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高,并说明理由. 课 中 探 究 15 解:对线下培训的满意度更高，理由如下： ①由茎叶图可知，在线上培训中，学员满意度评分至多79分的有18人， 即有 的学员满意度评分至多79分， 在线下培训中，学员满意度评分至少80分的有18人， 即有 的学员满意度评分至少80分. 因此学员对线下培训的满意度更高. 课 中 探 究 16 ②由茎叶图可知，线上培训满意度评分的中位数为76， 线下培训满意度评分的中位数为85.因此学员对线下培训的满意度更高. ③由茎叶图可知，线上培训的满意度评分的平均数低于80， 线下培训满意度评分的平均数高于80.因此学员对线下培训的满意度更高. 课 中 探 究 17 ④由茎叶图可知，线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布， 线下培训的满意度评分在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布， 又两种培训方式评分的分布区间相同， 故可以认为线下培训评分比线上培训评分更高. 因此学员对线下培训的满意度更高. （注：以上给出了4种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可） 课 中 探 究 例2 某学院采用线下和线上相结合的 方式开展了300名学员参加的一项专题 培训.为了了解参训学员对于线上培训、 线下培训的满意程度，随机选取了50名学员， 将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评， 根据学员的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图. (2)求这50名学员满意度评分的中位数，并将评分不超过 、超过 分别视为 “基本满意”“非常满意”两个等级.利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有 多少名学员对线上培训非常满意. 课 中 探 究 19 解:由茎叶图知 . 参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意， 频率为 ，又本次培训共有300名学员， 所以对线上培训非常满意的学员约为 （名）. 课 中 探 究 20 变式 某校的3000名高三学生参加了一次联考， 为了分析此次联考数学学科的情况，现随机从中 抽取15名学生的数学成绩（满分：150分），并绘 制成如图所示的茎叶图，将成绩低于90分的称为 不及格，不低于120分的称为优秀，其余的称为良 好.根据样本的分布估计总体的分布. （1）估计此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩. 课 中 探 究 21 解:因为抽取的15名学生的数学学科的平均成绩为 （分）， 所以估计此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩为112分. 课 中 探 究 22 变式 某校的3000名高三学生参加了一次联考， 为了分析此次联考数学学科的情况，现随机从中 抽取15名学生的数学成绩（满分：150分），并绘 制成如图所示的茎叶图，将成绩低于90分的称为 不及格，不低于120分的称为优秀，其余的称为良 好.根据样本的分布估计总体的分布. （2）估计此次联考该校高三学生数学成绩不及格和优秀的人数. 课 中 探 究 23 解:依题意知，随机抽取的15人中，不及格的人数为1，优秀的人数为5， 所以不及格率为 ，优秀率为 ， 所以估计此次联考中该校高三学生数学成绩不及格的人数为, 优秀的人数为 . 课 中 探 究 24 （3）该地教育部门提出了教育“扶贫”活动，要求对此次 数学成绩不及格的学生分两期进行学业辅导：一期由优秀 学生对不及格学生进行一对一帮扶辅导，二期由老师对仍 不及格学生进行集中辅导.根据实践总结，优秀学生进行一 对一辅导的转化率为 ;老师集中辅导的转化率为 . 试估计经过两期辅导后，该校高三学生中数学成绩仍不及格的人数. 注：转化率 . 课 中 探 究 25 解:由（2）知，不及格的人数为200. 设一期辅导后不及格的人数为，则 ,解得 . 设二期辅导后不及格的人数为，则 ,解得 . 所以估计经过两期辅导后， 该校高三学生中数学成绩仍不及格的人数为112. 课 中 探 究 ［素养小结］ 用样本的分布估计总体的分布是从样本分布状况的角度分析总体的 规律,涉及的内容有图表和数字特征.其中图表包括频率分布表、频率 分布直方图、折线图、茎叶图等.数字特征包括平均数、中位数、众 数、方差、标准差等. 课 中 探 究 27 1.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出500人参加笔试，再按笔试成绩择优 选出100人参加面试，现随机抽取25名笔试者的成绩，如下表所示： 分数段 人数 2 3 4 9 2 5 据此估计参加面试的分数线是( ) A.75 B.80 C.85 D.90 √ [解析] 由题意，25名笔试者中只有 的人能参加面试，即有5人能参加面试， 分数在区间 内的恰有5人，故估计参加面试的分数线是85. 课 堂 评 价 28 2.（多选题）某农业科学研究所分别抽取了 试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻 各10株，测量了它们的根系深度（单位： ）， 得到了如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是( ) A.若根系深度超过 更有利于水稻生长，则海水稻有 达到这一标准 B.普通水稻根系深度的众数是32 C.海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数 D.普通水稻根系深度的极差小于海水稻根系深度的极差 √ √ √ 课 堂 评 价 29 [解析] 对于A，海水稻根系深度超过 的有7株， 故海水稻有 达到这一标准，故A正确. 对于B，普通水稻根系深度的众数是32，故B正确. 对于C，海水稻根系深度的平均数为 ， 普通水稻根系深度的平均数为 ， 故C正确. 对于D,普通水稻根系深度的极差为， 稻根系深度的极差为，故D错误.故选 . 课 堂 评 价 30 3.对一批底部周长（单位：）在 内 的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并 测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所 示，由此估计，这批树木的底部周长的众数是 _____，中位数是____ . [解析] 由题图知，估计这批树木的底部周长的众数是 ， 中位数是 . 课 堂 评 价 31 4.从鱼塘捕得同时放养的草鱼100尾，从中任选5尾，称得每尾的质量 （单位：）分别是，，，， ，估计捕得的100尾鱼 的总质量为_____ ． 150 [解析] 从中任选5尾的平均质量为 ， 则估计捕得的100尾鱼的总质量为 . 课 堂 评 价 32 课后习题 33 1.样本的频率分布与相应的总体分布的关系是( ) A.样本的频率分布与相应的总体分布是同样的分布 B.样本的频率分布与相应的总体分布是互不相关的两种分布 C.样本的频率分布将随着样本容量的增大更加接近相应的总体分布 D.以上说法都不正确 [解析] 样本容量越大，样本的频率分布越接近相应的总体分布.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 2.依据相关法律可知,车辆驾驶员血液中 所含的酒精浓度大于或等于 时,属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车的 28 800人进行血液检测,从中随机抽取500人 的检测结果，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示, 则估计这28 800人中属于醉酒驾车的人数为 ( ) A.8640 B.5760 C.4320 D.2880 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 [解析] 由题图可知,血液中酒精浓度大于或等于 的频率为 ， 则估计这28 800人中属于醉酒驾车的人数为 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 3.高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在 内，估计所有参赛同学成绩的 分位数为( ) A.65 B.75 C.85 D.95 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 [解析] 由题知， 解得 . 参赛成绩位于 内的频率为 ， 参赛成绩位于 内的频率为， 则 分位数在内，设为 ， 则，解得, 则 分位数为85.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.［2026·河北张家口高一期末］ 随着暑假将近，某市文旅局今年 为了使游客有更好的旅游体验， 收集并整理去年暑假60天期间日 A.43.6万人 B.44.5万人 C.45万人 D.49.1万人 接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分 布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为（同一组的数据 用该组区间的中点值作代表） ( ) √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 [解析] 由频率分布直方图得 ， 解得，则从左到右各小矩形的面积依次为,,, ， 所以该组样本数据的平均数 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 5. (多选题)某次考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机 抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图. 为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中, 成绩位于[80,90)内的学生成绩的方差为12,成绩位于[90,100]内的学生 成绩的方差为10,则(　 ) A.a=0.005 B.估计该年级学生成绩的中位数为71.43 C.估计该年级学生成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级学生成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 [解析] 对于A,在频率分布直方图中,(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 解得a=0.005,故A正确; 对于B,前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25<0.5, 前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5, 设该年级学生成绩的中位数为m,则m∈[70,80), 根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035=0.5, 解得m≈77.14,所以估计该年级学生成绩的中位数 为77.14,故B错误; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 [解析] 对于C,估计该年级学生成绩在80分以上的学生成绩的平均数为×85+×95=87.5,故C正确; 对于D,估计该年级学生成绩在80分及以上的学生 成绩的方差为×[12+(87.5-85)2]+×[10+(87.5-95)2]=30.25, 故D正确.故选ACD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 6.为了迎接某市作为全国文明城市的复查，某 协会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查 项目是自己对该市各方面卫生情况的满意度 (假设路人的回答是客观的),以分数表示问卷 结果（满分为100分），并统计他们的问卷分数， 把问卷分数分成六组: ,,, , 画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图中信息，问卷分数低于50分的 被问卷人数为___，估计全市市民满意度在60分及以上的百分比为_____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 [解析] 因为各组的频率和等于1， 所以问卷分数低于50分的频率为 ， 故低于50分的被问卷人数为 . 依题意,问卷分数在60分及以上的频率为 5555555555， 所以样本中满意度在60分及以上的百分比为 ， 所以可以估计全市市民满意度在60分及以上的百分比为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 7.（15分）为弘扬中华民族优秀传统文化，树 立正确的价值导向，落实立德树人根本任务， 某市组织3000名高中学生进行古典诗词知识 测试.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的 方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数， 整理得到频率分布直方图如图所示. （1）规定分数不低于60为及格，不低于85为优秀，试估计此次测试的 及格率及优秀率； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 解：分数在, , ,,, , 内的频率分别为 , ,,,,, ， 所以此次测试的及格率的估计值为 ， 此次测试的优秀率的估计值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 7.（15分）为弘扬中华民族优秀传统文化，树 立正确的价值导向，落实立德树人根本任务， 某市组织3000名高中学生进行古典诗词知识 测试.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的 方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数， 整理得到频率分布直方图如图所示. （2）试估计此次测试学生分数的中位数； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 解：由频率分布直方图知， 分数在 内的频率为 ， 分数在 内的频率为 ， 所以此次测试学生分数的中位数在 内， 则中位数为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 7.（15分）为弘扬中华民族优秀传统文化，树 立正确的价值导向，落实立德树人根本任务， 某市组织3000名高中学生进行古典诗词知识 测试.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的 方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数， 整理得到频率分布直方图如图所示. （3）已知样本中分数不低于80的男女生人数相等，且样本中有 的男生分 数不低于80，试估计参加本次测试的3000名高中生中男生和女生的人数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 解：样本中分数不低于80的学生共有 （人）， 而样本中分数不低于80的男女生人数相等， 所以样本中分数不低于80分的男生有20人， 又样本中有 的男生分数不低于80， 所以样本中男生有60人，女生有40人. 由分层抽样可得参加测试的高中男生有 （人）, 女生有 （人）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 8.某中学跨学科项目研学小组的同学们准备研究高一年级新生的身高情况. 他们从学校医务室得到高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生 的平均身高为 .然后同学们用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取 了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 为了更方便地观察数据，以便我们分析 样本平均数的特点以及与总体平均数的 关系，我们把这20次试验的平均数用图 形表示出来，如图所示. 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样本量为50的 平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0 样本量为100的 平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 从试验结果看，有以下四种说法： ①不管样本量为50还是为100，不同样本的平均数往往是不同的； ②样本平均数偏离总体平均数都不超过 ； ③大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动； ④比较样本量为50和样本量为100的样本平均数，还可以发现样本量为100的波动 幅度明显小于样本量为50的，这与我们 对增加样本量可以提高估计效果的认识 是一致的.其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [解析] 对于①，从表中的数据来看不管样本量为50还是为100， 不同样本的平均数往往是不同的，故①正确； 对于②，由表中数据可知最小数据是 ，故②错误； 对于③，由题图可得大部分样本平均数离总体平均数不远， 在总体平均数附近波动，故③正确； 对于④，由题图可发现样本量为100的 波动幅度明显小于样本量为50的， 这与我们对增加样本量可以提高估计 效果的认识是一致的，故④正确.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 9.（多选题）高一学生会对物理、历史2门课程进行选科， 每位同学从中选择1门课程学习，现对某校2000名高一 学生的选科情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的 方法从中抽取 的学生对所选课程进行了满意率调查， 如图②．则下列说法正确的是( ) A.满意率调查中抽取的样本容量为2000 B.该校学生中对物理课程满意的人数约为840 C.若抽取的学生中对历史课程满意的人数为24，则 D.抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 [解析] 对于A，满意度调查中抽取的样本容量为 ，故A错误； 对于B，该校学生中对物理课程满意的人数约为 ， 故B正确； 对于C，抽取的学生中对历史课程满意的人数为24， 则，则 ，故C错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 57 对于D，若抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数， 则 ，即， 由于，所以 恒成立，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 58 10.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图 所示，现在用分层抽样的方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100 件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为____； 由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂抽取的产品的使用 寿命平均值分别为，， ， 估计这个企业所生产的该产品的平均使用 寿命为______ . 50 1015 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 59 [解析] 第一分厂应抽取的件数为 . 估计该产品的平均使用寿命为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 11.现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了 了解学生的视力变化情况，从全市九年级的学生中随机抽取了1500名，统计了 每名学生近三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线图， 并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图，如图所示.解答下列问题： （1）图中 所在扇形的圆心角度数为____. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 61 [解析] 根据题意得 所在圆心角的度数为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 62 11.现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了 了解学生的视力变化情况，从全市九年级的学生中随机抽取了1500名，统计了 每名学生近三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线图， 并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图，如图所示.解答下列问题： （2）若全市共有30 000名九年级学生,则估计视力在4.9以下的学生有______名. 16 000 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 63 [解析] 根据题意得 ， 则估计视力在4.9以下的学生有16 000名. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 64 12.某校为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂进行 满意度评分，按照分层抽样的方法，抽取200位师生的评分（满分 100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数 为，方差为 ，所有教师评分样本的平均数为，方差为， 总样本的平均数为，方差为.若 , ，且抽取的学 生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为_____． 160 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 65 [解析] 假设在样本中，学生、教师的人数分别为 , ， 记样本中所有学生的评分为 ， 所有教师的评分为 ， 由，得 ， 所以 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 66 所以，即 . 令，则 ， 令 ， 即，解得或 ， 因为,且，所以 ， 所以 .所以总样本中学生样本的个数至少为160. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.(15分)[2025·成都高一期末]某地区有 小学生9000人,初中生8600人,高中生4400人， 教育局组织网络“防溺水”网络知识问答， 现用分层抽样的方法从中抽取220名学生， 对其成绩进行统计分析， 得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图,估计该地区所有学生知识问答成绩的平均数 和众数; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 68 解:由题知，一至六组的频率分别为 ，，，，， ， 则平均数为 ， 由图可知，众数为75. 以样本估计总体， 该地区所有学生知识问答成绩的平均数为71分， 众数为75分. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 69 13.(15分)[2025·成都高一期末]某地区有 小学生9000人,初中生8600人,高中生4400人， 教育局组织网络“防溺水”网络知识问答， 现用分层抽样的方法从中抽取220名学生， 对其成绩进行统计分析， 得到如图所示的频率分布直方图． （2）成绩位列前 的学生，平台会生成“防溺水达人”优秀证书， 试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 70 解:前四组的频率之和为 ， 前五组的频率之和为 ， 则分位数落在第五组，设为 ， 则 ， 解得 . 故“防溺水达人”的成绩至少为88分. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 71 13.(15分)[2025·成都高一期末]某地区有 小学生9000人,初中生8600人,高中生4400人， 教育局组织网络“防溺水”网络知识问答， 现用分层抽样的方法从中抽取220名学生， 对其成绩进行统计分析， 得到如图所示的频率分布直方图． （3）已知落在内的平均成绩为67分，方差是9，落在 内 的平均成绩是73分，方差是29，求落在 内的平均成绩和方差． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 72 解:的频率为， 的频率为 ， 所以的频率与 的频率之比为 ， 的频率与的频率之比为 . 设内的平均成绩和方差分别为， ， 依题意有，解得 ， ， 解得 ，所以 内的平均成绩为76分，方差为12. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 73 $