4 指数函数、对数函数与幂函数 滚动习题(三)-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

滚动习题（三） 1 一、单项选择题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 1. [2026·河北衡水高一期末] 已知幂函数f(x)=(a2-8)在(0,+∞)上 单调递增,则a=(　 ) A.1 B.±1 C.3 D.±3 √ [解析] 由幂函数f(x)=(a2-8)在(0,+∞)上单调递增,得a2-8=1且>0, 所以a=3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.某城市地铁某环线12月份地铁票销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的 关系大致满足f(t)=t2+2020t+100,则该环线前t天平均每天售出的地 铁票张数最少为 (　 ) A.2019 B.2040 C.2021 D.2022 [解析] 依题意知该环线前t天平均每天售出的地铁票张数为 =t++2020,因为0<t≤30,所以t+≥2=20,当且仅当t=10时 等号成立,即该环线前t天平均每天售出的地铁票张数最少为2040.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 3.已知幂函数是 上的偶函数，且函数 在区间上单调递减，则实数 的取值范 围是 ( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 [解析] 因为 是幂函数， 所以，解得或. 当时， 是奇函数，不符合题意； 当时， 是偶函数，符合题意， 所以. 因为 的图象 关于直线对称， 所以在区间 上单调递减， 所以，解得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4. [2026·湖南常德高一期末] 从甲地到乙地的距离约为240 km,经多次 实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120) 的数据如下表: 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,下列四个函数模型中最符合 实际的是 (　 ) A.Q=av3+bv2+cv B.Q=0.5v+a C.Q=klogav+b D.Q=kv+b √ v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 [解析] 由表中数据可知函数模型满足:①定义域为[0,120], ②在定义域上单调递增,③函数图象过原点. 函数Q=0.5v+a在定义域内单调递减,排除B; 函数Q=klogav+b的定义域不包括0,排除C; 由表中数据可知,增长的速度不恒定,故函数不为一次函数,排除D. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.设,,,，则,,, 的大小关系 为( ) A. B. C. D. [解析] 因为以及是 上的减函数， 所以，，即， ， 又因为,， 而是 上的增函数， 所以，即.故 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 6.若满足,满足 ,函数 则关于的方程 的解的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 [解析] 满足,满足,, 分别为函数 的图象与函数, 的图象交点的横坐标. 由于与的图象交点的横坐标为2, 函数与 的图象关于直线对称,, 函数 当时,关于的方程 ,即,即, 或 ,满足题意; 当时,关于的方程,即,满足题意. 关于 的方程 的解的个数是3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分. 7. 已知函数的定义域为 ，若对任意的,且， 都有，则称函数 为“定义域上的凹函数”. 以下函数是“定义域上的凹函数”的有 ( ) A. B. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 [解析] 分别作出四个选项中函数的图象，如图所示. 根据 可知， “定义域上的凹函数”是函数图象上任意两点连线的中点都在 图象的上方.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 8.已知函数若，则 的值可能 为( ) A.1 B. C.10 D. [解析] , 又,. 当时，由,可得 ； 当时，由,可得.故选 . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 9.已知幂函数的图象过点，则 的定义域为_______. [解析] 设 ，的图象过点， ， 则，故，则， ，即，故的定义域为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 10. [2026·安徽阜阳高一期末] 某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏 温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b 为常数). 若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在20 ℃时的保鲜时间是24 小时,则该食品在30 ℃时的保鲜时间约是　　　　小时(结果保留一位 小数).  8.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [解析] 由题意得 两式相除得e20k==,所以e10k==. 当x=30时,y=e30k+b=e20k+b·e10k=24×=6≈8.5, 所以该食品在30 ℃时的保鲜时间约是8.5小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 11. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感， 某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒. 如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中 的含药量 与 时间成正比； 1 药物释放完毕后，与 的函数关系式为 . 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 以下时， 学生方可进入教室，则学校应安排工作人员至少提前___ 进行消毒工作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 [解析] 题图中线段的方程为 ， 因为点在函数 的图象上， 所以，解得， 所以含药量与时间的函数关系式为 当 时，令，可得 ，解得， 所以学校应安排工作人员至少提前 进行消毒工作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 四、解答题：本大题共3小题,共43分. 12.（13分）已知函数的定义域为，且 在任意区间 上的平均变化率均为.求证： 是一个二次函数. 证明：函数在区间 上的平均变化率为 , 变形得,即 , 令, 为常数， 所以有,所以函数 是一个二次函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 13.（15分）已知函数是定义在 上的奇函数. （1）求 的值； 解：因为是定义在上的奇函数，所以 ， 所以，解得，所以 ， 此时，所以为奇函数，故 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 13.（15分）已知函数是定义在 上的奇函数. （2）若关于的不等式有解，求实数 的取值范围； 解：因为有解，所以 有解， 所以只需 . 因为（当且仅当 时等号成立）， 所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 13.（15分）已知函数是定义在 上的奇函数. （3）设，求在 上的最小值，并 指出取得最小值时 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 解： . 令，可得函数在 上单调递增，所以. 因为，所以， ， 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以当 时，取得最小值，此时， 可得 . 故在上的最小值为，此时 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 14.（15分）[2026·福建漳州高一期末] 近年来,漳州文旅直播平台以 “闽南文化推广”为主题,聚焦漳州土楼、闽南古厝、漳州小吃等内容. 从2025年初上线后会员人数逐月增加,下表是平台上线第x个月的会员 人数统计: 平台上线第x个月 1 2 3 4 5 会员人数y(万人) 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系,现有以下三种 函数模型供选择:①y=mlog2x+n;②y=m+n;③y=2x+m+n. (1)选出最符合实际的函数模型,并说明理由; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 解：由题知,函数的定义域为N*,会员人数增长速度随x增大而减缓. 对于模型②y=m+n,当x=1时无意义,不符合题意; 对于模型③y=2x+m+n,会员人数的增长速度随x增大而变快,不符合题意; 对于模型①y=mlog2x+n,当m>0时,会员人数的增长速度随x增大而减缓, 符合题意.所以最符合实际的函数模型是模型①y=mlog2x+n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 (2)请恰当选取表格中的两组数据,求出你选择的函数模型的解析式, 若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”,请问 至少第几个月才能开启该专场直播. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 解：由(1)知,选择模型①y=mlog2x+n, 由题得解得所以y=3log2x+2. 令3log2x+2≥12,则log2x≥,所以x≥=. 因为10=<<=11,且x∈N*,所以x≥11, 故所求函数模型的解析式为y=3log2x+2,预测至少第11个月会员人数 达到12万,即至少第11个月才能开启该专场直播. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 $