4.3 指数函数与对数函数的关系-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.3 指数函数与对数函数的关系 1 探究点一 求简单函数的反函数 探究点二 反函数性质的应用 探究点三 同底数的指数函数与对数函数 图象间的关系 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 2 【学习目标】 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清 它们的图象间的对称关系； 2.能结合函数的图象与性质解决一些综合问题. 3 知识点 指数函数与对数函数的关系 1.反函数 （1）反函数的定义 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个 的值，只有 唯一的___与之对应，那么是的函数，这个函数称为 的 ________，函数的反函数记作 . 反函数 课 前 预 习 4 1.反函数 （2）反函数的性质 ①函数的定义域与的______相同，函数 的值域与 的________相同. ②与 的图象关于直线______对称. ③如果是增函数，那么 是____函数；如果 是减函数，那么 是____函数. ④若函数的图象上有一点 ，则点______在其反函数 的图象上. 值域 定义域 增 减 课 前 预 习 5 2.指数函数与对数函数的关系 （1）指数函数与对数函数且 ________ _____. （2）指数函数与对数函数且 的图象关 于__________对称. 互为反 函数 直线 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的反函数是 .( ) × [解析] 函数的反函数是 . （2）函数的反函数的值域为 .( ) × [解析] 函数 的反函数的值域是原函数的定义域， 故的反函数的值域为 . 课 前 预 习 7 （3）函数的图象与的图象关于直线 对称.( ) × [解析] 互为反函数的图象关于直线对称， 所以函数 的图象与的图象关于直线对称， 函数 的图象与的图象关于直线 对称. 课 前 预 习 8 2.函数与且 的定义域和值域有什么关系？ 解:且的定义域为，值域为 ， 且的定义域为，值域为 ， 即它们的定义域和值域互换. 课 前 预 习 9 探究点一 求简单函数的反函数 例1 求下列函数的反函数. （1） ; 解:由得 , 所以函数的反函数是 . （2） ; 解:的底数是,它的反函数是指数函数 . 课 中 探 究 10 例1 求下列函数的反函数. （3） ; 解:由得，故， 对调其中的 和得. 因为的值域是 , 所以它的反函数为 . 课 中 探 究 11 例1 求下列函数的反函数. （4） . 解:因为,所以,故 , 对调其中的和得. 因为函数 的值域是， 所以的定义域为 , 即函数的反函数是 . 课 中 探 究 12 变式（1）［2026·浙江宁波高一期末］已知函数与 互 为反函数，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数与互为反函数，所以 ， 所以，， ， .故选D. √ 课 中 探 究 13 （2）[2026·贵州遵义高一期末] 已知函数f(x)=x2-3(x>1),则f-1(13)=　　　. [解析] 令y=f(x)=x2-3(x>1),则x2=y+3,因为x>1,所以x=, 由反函数的定义可知f-1(x)=,所以f-1(13)==4. 4 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 求反函数的一般步骤： （1）先确定原函数的值域，即反函数的定义域. （2）对调原函数解析式中的<m></m>和<m></m>，解出<m></m>. （3）写出反函数. 注意：求反函数时，若原函数<m></m>的定义域有限制条件，则其 反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求. 课 中 探 究 15 探究点二 反函数性质的应用 例2（1）函数的反函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. [解析] 的定义域即为函数的值域， ， ，故的定义域为 . √ 课 中 探 究 16 （2）已知函数是增函数，它的反函数是 ,若 ,,则, 的大小关系是( ) A. B. C. D.无法确定 [解析] 因为是增函数，所以其反函数 也是增函数， 所以,,即 .故选A. √ 课 中 探 究 17 变式（1）[2026·河北邯郸高一月考] 已知函数f(x)的图象过点(0,1), 则f(4-x)的反函数的图象一定过点 (　 ) A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3) [解析] ∵函数f(x)的图象过点(0,1),∴f(0)=1,即f(4-4)=1, 则f(4-x)的图象过点(4,1), 根据反函数的性质可知f(4-x)的反函数的图象一定过点(1,4).故选A. √ 课 中 探 究 18 （2）下列说法中正确的是( ) ①偶函数一定不存在反函数； ②若函数和其反函数 的图象存在交点，则交点必 定在直线 上； ③函数和其反函数 的图象的交点可能有无数个； ④在定义域上单调递增的函数必存在反函数. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ √ 课 中 探 究 19 [解析] 因为函数， 是偶函数，且存在反函数， 所以①错误； 因为函数和函数互为反函数， 且点 为它们图象的交点，但不在直线 上，所以②错误； 因为函数 的反函数就是其本身，两函数图象的交点有无数个， 所以③正确； 根据反函数的定义，可知④正确.故选C. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 常用的互为反函数的函数间的关系及性质有: （1）一个函数与其反函数的图象关于直线<m></m>对称; （2）一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性一致; （3）一个函数与其反函数的定义域、值域相反,对应关系互逆等. 课 中 探 究 21 探究点三 同底数的指数函数与对数函数图象间的关系 例3（1）函数 的部分图象是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 22 [解析] ，，且 . 令且 ， 则， 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除A,C. 令， 函数在区间 上单调递增， 函数在区间 上单调递增，排除D. 故选B. 课 中 探 究 23 （2）［2026·福建泉州高一期末］若函数与函数 的图象关于直线对称，则 的大致图象是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得函数与函数 互为反函数， 所以，解得， 易知在定义域 上单调递增，且其图象过定点 .故选A. √ 课 中 探 究 24 变式（1）已知是， 的反函数，则 函数 的最小值为___. 3 [解析] 易知在 上单调递增， 所以， ， 所以的值域为,则的定义域为 . 因为在上单调递增， 所以在 上单调递增， 所以在上单调递增.因为 ， 所以,所以 . 课 中 探 究 25 （2）设方程的根为，方程 的根为 ，则 的值为___. 3 课 中 探 究 26 [解析] 将方程整理得， 作出，，， 的图象，如图所示， 是指数函数的图象与直线 的交点的横坐标， 是对数函数 的图象与直线的交点的横坐标. 课 中 探 究 由于函数与 互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称， 由题意可得，， 两点也关于直线对称， 所以，两点的坐标分别为 ，. 而点，都在直线上， 所以 点坐标代入或点坐标代入， 故 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 同底数的指数函数和对数函数互为反函数，二者的图象关于直线 <m></m>对称，借助图象之间的关系及性质是解决此类问题的关键. 课 中 探 究 29 1.［2026·江西南昌高一期中］下列各图象表示的函数中，存在反函 数的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 30 [解析] 根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个 至多对应一个. 对于A，当为正数时，一个对应两个 ，不满足反函数的定义，故A错误； 对于B，当为正数时，一个对应两个 ，不满足反函数的定义，故B错误； 对于C，当为正数时，一个对应两个 ，不满足反函数的定义，故C错误； 对于D，满足反函数的定义，故D正确.故选D. 课 堂 评 价 31 2.已知函数和 ，则它们的反函数的图象( ) A.关于轴对称 B.关于 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 对称 [解析] 因为函数和的图象关于 轴对称， 所以它们的反函数的图象关于 轴对称，故选A. √ 课 堂 评 价 32 3.已知函数，若 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数 , 与的图象，如图所示. 因为 与互为反函数， 所以其图象关于直线 对称. ，在图中作直线 ， 则其与,,的图象的交点的横坐标依次为,, ， 可得， 又函数 是增函数，所以 ，故选C. √ 课 堂 评 价 33 4.［2026·云南师大附中高一期末］若的反函数为 ， 且，则 的值为____. 16 [解析] 因为和且 互为反函数， 所以的反函数为， 又 ，所以， 所以 . 课 堂 评 价 34 5.若函数的反函数的图象经过点，则 ___. 4 [解析] 因为函数的反函数的图象经过点 ， 所以的图象经过点，所以,解得 . 课 堂 评 价 35 课后习题 36 1.函数的定义域为 ,则其反函数的值域是( ) A. B. C. D. [解析] 由原函数与反函数间的关系知， 反函数的值域为原函数的定义域.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.下列函数中，反函数是其自身的函数为( ) A., B., C., D., [解析] 由,,得, .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.［2026· 广东茂名高一期末］若指数函数的图象经过点 ， 则它的反函数 的解析式为( ) A. B. C. D. [解析] 设指数函数且， 因为点在 的图象上，所以，可得， 所以 ，其反函数 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 4.已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，函 数是奇函数，且当时，，则 ( ) A. B.4 C. D.5 [解析] 因为函数的图象与函数的图象关于直线 对称， 所以，所以当时， ， 所以， 又为奇函数，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 5.已知的反函数是,则函数 的图象 是图中的( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 的反函数为 , , 该函数为减函数，故排除选项A，B， 又此函数的图象过点， 排除选项D.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在，，，四点中，函数 的图象与 其反函数的图象的公共点只可能是点( ) A. B. C. D. [解析] 设可得， 故与其反函数 的图象的公共点是. 经检验,, 均不符合题干的要求.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 7.（多选题）已知函数，其反函数为 ，实数 满足，则 的值可以是( ) A. B. C. D. [解析] ，， 又实数 满足，,. 当 时，显然不符合题意； 当时，,, ， 成立，符合题意； 当时， ,,，不符合题意； 当时，, ,，不符合题意.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 8.函数且 的反函数的图象过定点______． [解析] 对于函数且， 令 ，即，则， 则函数且 的图象恒过点， 所以函数且 的反函数的图象恒过点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9. [2026·江苏苏州高一月考] 函数f(x)=-2-x与g(x)=2x的图象关于　　　　 对称;若函数h(x)是函数g(x)的反函数,则h(3)=　　　　.  原点 [解析] 在函数f(x)的图象上任取一点(x,-2-x),其关于原点对称的点为(-x,2-x). 因为g(-x)=2-x,所以点(-x,2-x)在函数g(x)的图象上,所以函数f(x)与g(x)的 图象关于原点对称. 因为g(x)=2x的反函数为h(x)=log2x,所以h(3)=log23. log23 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 10.(13分)[2026·沈阳高一期末] 已知 . （1）求 的解析式，并指出其在定义域内的单调性（无需写出证 明过程）； 解：设，则，所以 ， 所以，定义域为 . 设，，则， 因为函数在 上单调递增， 在 上单调递增， 所以在 上单调递增. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 （2）已知为的反函数，解不等式 ． 解：的值域为的定义域， 因为在 上单调递增， 所以当时，的取值范围为， 所以 的解集为 . 由，可得， 得 ,故不等式的解集为 . 10.(13分)[2026·沈阳高一期末] 已知 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 11.已知，，则 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 由，得， 令 ，得， 所以为函数与 的图象的交点的横坐标， 由，得， 所以 为函数与的图象的交点的横坐标， 又与 互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 又 的图象关于直线对称，由得， 所以 ，所以 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 12.（多选题）［2026·吉林长春高一期末］ 已知函数 且的反函数为 ，则( ) A.且，且的定义域是 B.函数与的图象关于直线 对称 C.若，则 D.当时，函数与 的图象的交点个数可能是0,1,2 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 对于A，由的反函数为， 得 且，其定义域是 ，故A正确. 对于B，根据反函数的特点知函数与的图象关于直线 对称，故B正确. 对于C，若，则 ，可得，则， 则 ，故C错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 对于D，当时，函数与 的图象无公共点(如图①)； 当时，函数与 的图象有一个公共点 (如图②)； 当时，函数与 的图象有两个公共点(如图③). 所以当时，与 的图象的交点个数可能为0，1，2，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.［2026·陕西咸阳高一期末］已知函数的图象与 的 图象关于直线对称，则 的值域为________． [解析] 因为函数的图象与的图象关于直线 对称， 所以，所以， 因为 ，所以， 所以的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 14.（15分）［2025·河北定州二中高一期中］ 已知函数 的图象 与函数的图象关于直线 对称． （1）求在 上的取值范围； 解：由，可得，则 ， 因为 在定义域内单调递增， 且 ， ， 所以在上的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 14.（15分）［2025·河北定州二中高一期中］ 已知函数 的图象 与函数的图象关于直线 对称． （2）判断函数 的奇偶性，并说明理由． 解： 为奇函数.理由如下： 由（1）可得， ， 的定义域为 ，关于原点对称， 因为，所以 为奇函数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 15.已知函数f(x)和g(x)=ln x互为反函数,若正数a,b满足af(a)=1, b[g(b)-1]=e,则g(a)+g(b)=　　　　.  [解析] 因为函数f(x)和g(x)=ln x互为反函数,所以f(x)=ex, 由af(a)=1,得aea=1,两边取对数得ln a+a=0①, 由b[g(b)-1]=e,得b(ln b-1)=e,所以ln=,即ln+=0②. 令函数h(x)=ln x+x,因为y=ln x和y=x在(0,+∞)上均单调递增, 所以函数h(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增, 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 又h=ln+<0,h(e)=ln e+e>0, 所以函数h(x)有且仅有一个零点,由①和②可得a=,即ab=e, 所以g(a)+g(b)=ln a+ln b=ln(ab)=ln e=1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 16.（17分）已知函数, . （1）求的值，并判断 的奇偶性； 解：由,得, 所以,所以的定义域为 ，关于原点对称. 又因为 , 所以,即 为奇函数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 16.（17分）已知函数, . （2）求的反函数 ； 解：因为 , 所以,所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 16.（17分）已知函数, . （3）对任意的,解不等式 . 解：因为,即 , 所以解得 所以当时，原不等式的解集为;当 时， 原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 $