4.6-4.7 函数的应用(二) 数学建模活动：生长规律的描述-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数型、对数型函数模型及函数模型选择，通过复利计算、计算机价格变化等现实情境导入，衔接前期函数概念，搭建从知识理解到数学建模的学习支架。 其亮点在于以候鸟飞行速度、视力测量等情境化问题培养数学眼光，通过不同函数模型对比（如例3奖励方案选择）发展逻辑推理，结合分层作业与建模活动提升应用意识。学生能增强实际问题解决能力，教师可获得完整教学资源与多样化训练素材。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.6　函数的应用(二)　 4.7　数学建模活动：生长规律的描述 学习任务 1．了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用．(数学建模) 2．通过数据的合理分析，能建立恰当的函数模型，解决实际问题．(数据分析、逻辑推理) 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为 1 000元，每期的利率为2.25%． 必备知识·情境导学探新知 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 问题：五期后的本利和是多少？ [提示]　解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 知识点　指数型函数模型与对数型函数模型 1．指数型函数模型：y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0) 当底数b＞1，a＞0时，其函数图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度________，常形象地称之为指数爆炸． 2．对数型函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0) 当底数a＞1，m＞0时，其函数图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度________． 越来越快 越来越慢 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 1．计算机成本不断降低，若每隔2年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机6年后价格可降为(　　) A．3 600元 B．2 400元 C．900元 D．300元 √ B　[由题意，计算机6年后的价格为8 100×＝2 400(元)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 2．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到______只． 300　[由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，所以100＝alog2(1＋1)，所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300．] 300 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 类型1　指数型函数模型 【例1】　【链接教材P43例1】 某行业计划从2025年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0＜x＜1)． (1)设n年后(2025年记为第1年)年产能为2024年的a倍，请用a，n表示x； (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2024年的25%? 参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477． 关键能力·合作探究释疑难 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [思路导引]　(1)根据初始值、“增长率”、增长次数的关系建立等式． (2)列出不等式，利用对数知识及参考数据求解． [解]　(1)依题意得(1－x)n＝a， 所以1－x＝，即x＝1－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 (2)设n年后年产能不超过2024年的25%， 则(1－10%)n≤25%，即， 即n lg ≤lg ，即n(2lg 3－1)≤－2lg 2， 所以n≥，即n≥， 因为13＜＜14，且n∈N*，所以n的最小值为14， 所以至少要到2038年才能使年产能不超过2024年的25%． 【教材原题·P43例1】 例1　有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息．假设最开始本金为a元，每期的利率为r(r＞0)，存x期后本息和为f (x)元． (1)写出f (x)的解析式； (2)至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [解]　(1)不难看出， f (1)＝a＋ar＝a(1＋r)， f (2)＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， f (3)＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r＝a(1＋r)3， …… 因此 f (x)＝a(1＋r)x，x∈N*． (2)由f (x)≥2a可得 a(1＋r)x≥2a， 由此可解得x≥． 设不小于的最小整数为x0，则至少要经过x0期后，本息和才能不小于本金的2倍． 反思领悟　有关增长(衰减)率问题 (1)熟练应用公式a(1＋x)n，特别是增长(衰减)次数，看清如年初、年底等字眼． (2)对于比较复杂的问题，可以通过写出前三、四次的表达式，找出规律后再写第n次的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [跟进训练] 1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 24 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 24　[由题意得解得所以当x＝33时， y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝×192＝24．] 2．每次用同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗x次后存留的污垢在1%以下，则x的最小值是________． 3　[每次洗去污垢的，就是存留了污垢的， 故洗x次后，还有原来的(x∈N*)， 故有＜1%， 所以5x＞100，解得x的最小值为3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 类型2　对数型函数模型 【例2】　有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，lg 5≈0.70，31.2≈3.74，31.4≈4.66)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [解]　(1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度约为1.7 km/min． (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0， 可得，0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5，解得x≈466，故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减可得1＝log3， 解得＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 反思领悟　对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [跟进训练] 3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 C　[由题意知，4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝1≈ ≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．] 类型3　函数模型的选择 【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 反思领悟　几类不同增长函数模型选择的方法 (1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型． (2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型． (3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [跟进训练] 4．某跨国饮料公司在对全世界所有人均纯收入在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均纯收入处于中等水平的地区销售量最多，然后向两边递减． (1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均纯收入，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均纯收入关系更合适？说明理由； (2)若人均纯收入为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均纯收入为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出年人均A饮料的销售量最多是多少． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 [解]　(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均纯收入处于中等水平的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适． (2)因为人均纯收入为1千美元时，年人均A饮料的销量为2 L；人均纯收入为4千美元时，年人均A饮料的销量为5 L，把x＝1，y＝2，x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx， 得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])． ∵y＝－x2＋x＝－＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是 L． 1．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据如下表： 学习效果·课堂评估夯基础 √ x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －1.01 0.01 0.98 2.00 则x，y最合适的函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 D　[根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98代入计算，可排除B，C；将各数据代入y＝log2x，可知D满足题意．] 2．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是(　　) A．－1 B． C．－1 D． √ A　[设月平均增长率为x，1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 3．某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2025年的湖水量为m，从2025年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系式为__________． y＝0.m　[设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.，则x年后的湖水量为y＝0.m．] y＝0.m 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 4．某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料，瓶子的底面半径是r，高h＝r(单位：cm)，一个瓶子的制造成本是0.8r2分，已知每出售1 mL(注：1 mL＝1 cm3)的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6 cm，记每瓶饮料的利润为f (r)，则 f (3)＝______，其实际意义是_________________________________ _________________________________________________________． 0 瓶子的半径是3 cm时，每瓶饮料的利润与瓶子的成本恰好相等　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 0　瓶子的半径是3 cm时，每瓶饮料的利润与瓶子的成本恰好相等　[由题意可得：每瓶饮料的利润为f (r)＝r2·h·0.2－0.8r2＝r3－r2，0<r≤6， 所以f (3)＝××33－××32＝0，表示瓶子的半径是3 cm时，每瓶饮料的利润与瓶子的成本恰好相等．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．函数模型的应用实例主要包括哪三个方面？ [提示]　(1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 2．在引入自变量建立函数解决函数应用题时，应注意哪两个问题？ [提示]　一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.3%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：ln 5≈1.6)(　　) 课时分层作业(十)　函数的应用(二)　数学建模活动：生长规律的描述 38 A．12.8分钟 B．14.4分钟 C．16分钟 D．17.6分钟 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[由题意可知，当t＝0时，由y＝0.05＋λ＝0.3，可得λ＝0.25，所以y＝，由y＝≤0.1，可得，解得t≥10ln 5≈16(分钟)， 因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为16分钟．故选C．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示． 时间(x) 1 2 3 4 利润(y)千元 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　) A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x B　[把x＝1，2，3，4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 40 3．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝Wlog2，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上式真数中的1可以忽略不计．若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至4 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 41 B　[当＝1 000时，C1＝Wlog21 001≈Wlog21 000； 当＝4 000时，C2＝Wlog24 001≈Wlog24 000．所以增加的百分比为： ＝－1＝－1＝－1＝－1 ＝＝≈≈0.2＝20%．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 √ 4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区流感病毒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制病毒，则t*约为(ln 19≈3) (　　) A．60 B．63 C．66 D．69 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 43 C　[因为I(t)＝，所以当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K⇒＝0.95⇒1＋⇒－1⇒＝19⇒0.23(t*－53)＝ln 19⇒t*＝＋53≈＋53≈66．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 √ 5．调查表示，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，那么他想驾驶机动车至少经过的小时数为(精确到小时)(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．4　　 　 D．6 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 45 C　[设他至少经过n个小时后才可以驾驶机动车． 由题意，得0.3(1－50%)n≤0.02， ∴，∴n≥4， 即他至少要经过4小时才可以驾驶机动车．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 二、填空题 6．已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________．经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2ln 2　1 024　[当t＝0.5时，y＝2，∴2＝， ∴k＝2ln 2，∴y＝e2t ln 2． 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024．] 2ln 2 1 024　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 47 7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln ．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 e6－1　[当v＝12 000时，2 000ln ＝12 000，∴ln ＝6，∴＝e6－1．] e6－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 48 8．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算成本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行(复利计息)，年利率为2.25%；若购买某理财产品(假定按复利计息)，年利率可达4.01%．如果将这1 000元选择合适方式存满5年，最多可获利息________元．(参考数据：1.022 55≈1.118，1.040 15 ≈1.217) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 217 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 49 217　[用1 000元购买理财产品，则存满5年后的本息和为1 000× 1.040 15≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元)．将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×1.022 55≈1 118(元)，故可获得利息1 118－1 000＝118(元)．217＞118，故最多可获利息217元．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 三、解答题 9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要 20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？(参考数据：lg 11≈ 1.04，lg 2≈0.30) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 51 [解]　由题意知40－24＝(88－24)·， 即＝，解得h＝10． 故T－24＝(88－24)·． 当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝． 两边取对数，求得t≈25． 因此，约需要25 min，可降温到35 ℃． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 10．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域，水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2．现水葫芦覆盖面积y(单位：m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋q(p>0)可供选择． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 53 (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍． (参考数据：≈1.414，≈1.732，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) [解]　(1)因为y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝＋q(p>0)的增长速度越来越慢，所以依题意应选函数y＝kax(k>0， a>1)，则有解得所以y＝8×(x∈N)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 (2)当x＝0时，y＝8，设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．则8×＝8×1 000，所以x＝lo1 000＝＝≈17.04． 答：原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 √ 11．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 56 C　[A选项是一次函数，而沙漠增加值无这种倍数关系，显然不适合； B选项，将三点代入，函数值与实际值差的太大，不适合； C选项，将x＝1，2，3分别代入得y＝0.2，0.4，0.8，与实际增加值比较接近； D选项，将x＝2代入得y＝0.45，将x＝3代入得y≈0.6，与实际值相差太多．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 12．(多选)声强级Li(单位：dB)与声强I(单位：W/m2)之间的关系是：Li＝10lg ，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1 W/m2，对应的声强级为120 dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[60，70](单位：dB)．下列选项中正确的是(　　) A．闻阈的声强级为0 dB B．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10-6，10-5](单位：W/m2) C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加10 dB，则声强变为原来的10倍 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 58 ABD　[因为Li＝10lg ＝10lg I－10lg I0，I＝时，Li＝120 dB，代入公式得I0＝10-12W/m2， A．I＝I0时，Li＝10lg 1＝0，故A正确； B．由题意60≤10lg I－10lg 10-12≤70，即60≤10lg I＋120≤70，因此－6≤lg I≤－5，解得10-6≤I≤10-5，故B正确； C．当I变为2I时，代入有Li′＝10lg 2I－10lg I0≠2Li，故C错误； D．设声强变为原来的k倍，则10lg kI－10lg I＝10，解得k＝10，故D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 13．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16　[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae-8b＝a，所以e-8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝ (e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．] 16 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 60 14．某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S与学生听课时间t(单位：分钟)之间的函数关系为 S＝ (1)在上课期间的前13分钟内(包括第13分钟)，求注意力的最大指标； (2)研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在学习核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 61 [解]　(1)当0<t≤13时， S＝－t2＋6t＋46＝－(t－12)2＋82． 所以当t＝12时，S＝82最大，即注意力的最大指标为82． (2)①当0<t≤13时，S＝－t2＋6t＋46>80，解得12－2<t<12＋2， 又因为0<t≤13，所以12－2<t≤13； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 ②当13<t≤40时，S＝83－log3(t－5)>80，解得 5<t<32，因为13<t≤40，所以13<t<32． 综上，S>80的解集为{t|12－2<t<32}． 而32－(12－2)＝20＋2>20， 所以教师能够安排核心内容的时间段，使得学生的学习效果均在最佳状态． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．药物治疗作用与血液中药物浓度(简称血药浓度)有关，血药浓度C(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：小时)的变化规律可近似表示为C(t)＝C0·e－λt，其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，λ表示该药物在人体内的衰减常数．已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为1.2×10-3 mg/mL，2小时后测得血药浓度为0.8×10-3mg/mL，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为0.4×10-3 mg/mL时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 64 A．3.0小时 B．3.5小时 C．3.7小时 D．4.2小时 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[由题意得两式相除，得λ＝ln ， 把λ＝ln 代入C0e－λ＝1.2×10-3，解得C0＝1.8×10-3，所以C(t)＝，令C(t)＝0.4×10-3，得＝0.4×10-3，解得t＝≈≈3.7．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述 65 $