4.6 函数的应用(二) 4.7 数学建模活动：生长规律的描述（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

4.6 函数的应用(二) 　　4.7 数学建模活动：生长规律的描述 知识 清单破 知识点 常见函数模型 一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数型函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1) 幂函数型模型 y=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.解决某一实际问题的函数模型是唯一的. (　    ) 2.用来拟合散点的函数图象一定要经过所有点. (　    ) 3.根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得到的函数模型 的拟合效果较好. (　    ) 4.函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义. (　    ) 5.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就没有存在的意义了. (　    ) ✕ √ ✕ ✕ 在函数模型中,所求的定义域除了要使函数式有意义,还要使实际问题有意义. 提示 ✕ 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.利用函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题——弄清题意,分清条件和要求的结论,理顺数量关系; (2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相 应的函数模型; (3)求模——推理并求解函数模型; (4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律. 2.函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格,绘出散点图; 疑难 情境破 疑难 利用函数模型解决实际问题 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 (2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线; (3)求出拟合直线或拟合曲线对应的函数关系式; (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　某科研团队在某水域中放入一定量的水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过 2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经 过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p +q(p>0)可供选择.(参考数 据: ≈1.414, ≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式; (2)求最初投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放 量的1 000倍. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p +q(p>0)的增长速度越来越慢, ∴由题意可知应选y=kax(k>0,a>1). 由题意得 解得  ∴y=8· (x∈N). (2)当x=0时,y=8. 设经过n(n∈N+)个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍, 则8· =8×1 000, 解得n=lo 1 000= = ≈17. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 ∴最初投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量 的1 000倍. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　某企业常年生产一种出口产品,自2020年以来,每年在正常情况下,该产品的产量平稳 增长.已知2020年为第1年,前4年的年产量f(x)(万件)如下表所示: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 (1)画出2020~2023年该产品年产量的散点图; (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该产品年产量变化的函数模型,并求出函数 解析式; (3)2024年(即x=5)因受到某种影响,该产品的年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,估计 2024年的年产量. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)画出散点图,如图所示. (2)由散点图知,可选用一次函数模型. 设f(x)=ax+b(a≠0), 将(1,4),(3,7)代入,得  解得 所以f(x)=1.5x+2.5. 检验: f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1, f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映该产品年产量的变化. (3)根据所建立的函数模型,估计2024年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10(万件), 又年产量减少30%, 所以估计2024年的年产量为10×70%=7(万件). 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$