周末练2 章末检测试卷一(第4章 指数函数、对数函数与幂函数)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了第四章函数的核心知识，涵盖指数函数、对数函数、幂函数的概念性质运算及应用，通过具体例题如对数运算函数奇偶性分析等串联知识点，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计和错题详细解析，如细菌繁殖模型题培养数学建模能力，函数单调性参数求解题提升推理意识，满足不同水平学生需求，助力教师精准把握学情，有效巩固知识提高复习效率。

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 <<< 周末练2 章末检测试卷一(第四章) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A A C B A 题号 9 10 11 12 13 　14 答案 ACD ABD ABD x3　27 　 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式=lg (2lg +lg 5)+ =lg(lg 2+lg 5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. (2)∵loga2=m，∴am=2， ∵loga3=n，∴an=3， 故a2m+n=(am)2·an=4×3=12. 17 18 19 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当x<0时，-x>0， 则f(-x)=lo(-x)(x<0)， 又因为f(x)为奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-lo(-x). 17 18 19 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题意及(1)，知原不等式等价于 或 解得x≥或-4≤x<0. 17 18 19 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)令t=ax>0，∵x∈[-1，1]，a>1， ∴t∈， f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2， 故当t=a时，函数y取得最大值a2+2a-1=14，求得a=3(舍负)， ∴f(x)=32x+2×3x-1. 17 18 19 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由f(x)=7，可得32x+2×3x-1=7， 即(3x+4)(3x-2)=0， 求得3x=2，∴x=log32. 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由指数函数和幂函数函数图象可知， y=kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢， 依题意选函数y=kax(k>0，a>1)更适合， 则有解得 即y=8×，x∈N. 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令x=0，则y=8，即开始时放入的细菌的数量为8个， 令y=8×>8×100 000， 则x>lo100 000=≈≈28.39， 因为x∈N， 所以至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍. 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意可知，函数f(x)的定义域为R， 且函数f(x)是偶函数，则f(x)-f(-x)=0， 又因为f(x)-f(-x)=(2x+1)+kx-[(2-x+1)-kx]=+2kx =2x+2kx=(2k-1)x， 即(2k-1)x=0，结合x的任意性可得2k-1=0，所以k=. 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)可知，f(x)=(2x+1)+x， 则g(x)=f(2x)=(22x+1)+x=(22x+1)-2x =(2x+2-x)=-log2(2x+2-x)，可得h(x)=loga[22x-2-2x-a·] =loga[22x-2-2x-a(2x+2-x)]， 若不等式h(x)≤0对任意的x∈[log23，2]恒成立， 即loga[22x-2-2x-a(2x+2-x)]≤0， 令t=2x∈[3，4]，可得loga[t2-t-2-a(t+t-1)]≤0， 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可知t2-t-2-a(t+t-1)>0对任意t∈[3，4]恒成立， 且t+t-1>0，可得t-t-1>a， 因为F(t)=t-t-1在[3，4]上单调递增，则F(t)≥F(3)=， 可得0<a<，且a≠1， 若0<a<1，则t2-t-2-a(t+t-1)≥1，可得t-t-1-≥a， 因为F(t)=t-t-1，G(t)=t+t-1在[3，4]上单调递增， 可知H(t)=t-t-1-在[3，4]上单调递增，则H(t)≥H(3)=， 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得a≤，即0<a<1，符合题意； 若1<a<，则t2-t-2-a(t+t-1)≤1，可得t-t-1-≤a， 因为F(t)=t-t-1，G(t)=t+t-1在[3，4]上单调递增， 可知H(t)=t-t-1-在[3，4]上单调递增，则H(t)≤H(4)=， 可得无解； 综上所述，存在正实数a符合题意，实数a的取值范围为(0，1). 17 18 19 一、单项选择题 1.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是 A.y=50 B.y=1 000x C.y=0.4·2x-1 D.y=ex 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 指数函数y=ax在a>1时呈爆炸式增长，而且底数a越大，增长速度越快. 解析 2.函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由得即1≤x<. 解析 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m(m为常数)， 则f(-log35)的值为 A.-4 B.4 C.-6 D.6 由题意，得f(0)=0， 即1+m=0，所以m=-1. 所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 4.一质点的运动规律为S(t)=t2+3，则t从3到3.3，质点运动的平均速率为 A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ ∵S(3)=12，S(3.3)=13.89， ∴平均速率===6.3. 解析 5.已知a=，b=lo，c=log2，则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a=>1，0<b=lo=log32<1， c=log2=-log23<0，故a>b>c. 解析 √ 6.函数f(x)=的图象大致为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于函数f(x)=， 由|x|(ex-1)≠0，可得x≠0， 故函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，排除B，D选项； 因为f(-x)====-f(x)， 故函数f(x)为奇函数，排除A选项，C选项符合题意. 解析 17 18 19 7.已知函数 f(x)=(m2-m-1) 是幂函数，对任意的 x1，x2∈(0，+∞) 且 x1≠x2 ，满足 >0 ，若 a，b∈R，a+b<0，则 f(a)+f(b) 的值 A.恒大于 0 B.恒小于0 C.等于 0 D.无法判断 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由题意知，f(x)=(m2-m-1)是幂函数，则m2-m-1=1，解得m=-1或m=2， 又f(x)对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，满足>0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， ①当m=-1时，f(x)=x0，不满足f(x)在(0，+∞)上单调递增，故m=-1不符合题意， ②当m=2时，f(x)=x3为增函数，故m=2符合题意. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综上所述，m=2，即f(x)=x3. 又f(-x)=-x3=-f(x)， 所以f(x)在R上为奇函数且为增函数， 又a+b<0，即a<-b， 所以f(a)<f(-b)=-f(b)， 所以f(a)+f(b)<0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)+m-2.若g(x)有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为 A. B.(1，2) C. D.(2，+∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由函数g(x)=f(x)+m-2有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，可知函数y=f(x)与y=2-m的图象有四个不同的交点A，B，C，D， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，如图所示，则0<2-m<1，可得1<m<2， 因为点A，B关于直线x=-对称， 故x1+x2=-1； 由0<yC=yD<1可得0<-log2x3=log2x4<1， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则有<x3<1，且log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0，即得x3x4=1， 于是x1+x2+x3+x4=-1+x3+， 因为函数y=x+在上单调递减， 故可得2<x3+<， 则x1+x2+x3+x4的取值范围为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题 9.若10a=4，10b=25，则 A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8(lg 2)2 D.b-a>lg 6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 由10a=4，10b=25，得a=lg 4，b=lg 25， ∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确； b-a=lg 25-lg 4=lg，故B错误； ∵lg 10=1>lg>lg 6， ∴b-a>lg 6，故D正确； ab=4lg 2lg 5>4lg 2lg 4=8(lg 2)2，故C正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.设函数f(x)=则下列说法正确的是 A.f(2)=3 B.若f(-1)=f(1)，则a=0 C.若a>0，则f(x)的值域为R D.若f(x)的最小值为-2，则a=-1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由于2>0，则f(2)=22-1=3， 故A正确； 对于B，由f(-1)=f(1)，则1+2a=2-1， 解得a=0，故B正确； 对于C，当x≤0时，f(x)=-x+2a，易知函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)=2a， 当x>0时，f(x)=2x-1，易知函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则f(x)>20-1=0， 解析 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a>0，则函数f(x)的值域为(0，+∞)， 故C错误； 对于D，由C可得f(x)min=f(0)=-2<0， 则2a=-2，解得a=-1，故D正确. 解析 17 18 19 11.已知函数f(x)=ln |x-1|-ln |x|，则 A.f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1} B.f(x)在区间(-∞，0)上单调递增 C.f(x)的图象关于点(1，0)对称 D.f(-log23)+f <0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}，选项A正确； 当x∈(-∞，0)时，f(x)=ln(1-x)-ln (-x)=ln， 因为y=1-在区间(-∞，0)上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，选项B正确； f(x)+f(1-x)=ln+ln=0， 所以f(x)的图象关于点对称，选项C错误； 解析 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由选项C可知f(x)+f(1-x)=0， 所以f(-log23)+f(1+log23)=0，即-f(-log23)=f(1+log23)， 因为2log23=log29>log28=3，即log2 3>， 所以1+log23>1+=， 当x>1时，f(x)=ln(x-1)-ln x=ln， 因为y=1-在(1，+∞)上单调递增且y>0恒成立， 解析 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)在区间(1，+∞)上单调递增， 所以f <f(1+log23)=-f(-log2 3)， 即f(-log23)+f <0，选项D正确. 解析 17 18 19 三、填空题 12.函数y=loga(2x-3)+8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=　　　　，f(3)=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x3 27 由题意得定点A为(2，8)，设f(x)=xα， 则2α=8，α=3，∴f(x)=x3，∴f(3)=33=27. 解析 13.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数，则 实数a的取值范围是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=是定义在R上的减函数， 所以 则解得 <a≤， 所以实数a的取值范围是. 解析 17 18 19 14.如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=lox，y=，y=的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2， 则点D的坐标为　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由图象可知，点A(xA，2)在函数y=lox的图象上，所以2=loxA，xA==. 点B(xB，2)在函数y=的图象上， 所以2=(xB，xB=4. 所以点C(4，yC)在函数y=的图象上， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以yC==. 又xD=xA=，yD=yC=， 所以点D的坐标为. 解析 四、解答题 15.(1)计算：2(lg )2+lg ·lg 5+； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 原式=lg (2lg +lg 5)+ =lg(lg 2+lg 5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. (2)已知loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 ∵loga2=m，∴am=2， ∵loga3=n，∴an=3， 故a2m+n=(am)2·an=4×3=12. 16.设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=lox. (1)求当x<0时，f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x<0时，-x>0， 则f(-x)=lo(-x)(x<0)， 又因为f(x)为奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-lo(-x). 解 (2)解不等式f(x)≤2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意及(1)，知原不等式等价于 或 解得x≥或-4≤x<0. 解 17.已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1，且a为常数)在区间[-1，1]上的最大值为14. (1)求f(x)的表达式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令t=ax>0，∵x∈[-1，1]，a>1， ∴t∈， f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2， 故当t=a时，函数y取得最大值a2+2a-1=14，求得a=3(舍负)， ∴f(x)=32x+2×3x-1. 解 (2)求满足f(x)=7时x的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由f(x)=7，可得32x+2×3x-1=7， 即(3x+4)(3x-2)=0， 求得3x=2，∴x=log32. 解 18.某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快.现该细菌数量y(单位：个)与经过时间x(x∈N，单位：小时)的关系有以下两个函数模型可供选择：①y=kax(k>0，a>1)；②y=p+q(p>0). (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由指数函数和幂函数函数图象可知， y=kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢， 依题意选函数y=kax(k>0，a>1)更适合， 则有解得 即y=8×，x∈N. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令x=0，则y=8，即开始时放入的细菌的数量为8个， 令y=8×>8×100 000， 则x>lo100 000=≈≈28.39， 因为x∈N， 所以至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知函数f(x)=lo(2x+1)+kx(k为常数，k∈R)，且f(x)是偶函数. (1)求k的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可知，函数f(x)的定义域为R， 且函数f(x)是偶函数，则f(x)-f(-x)=0， 又因为f(x)-f(-x)=(2x+1)+kx-[(2-x+1)-kx]=+2kx =2x+2kx=(2k-1)x， 即(2k-1)x=0，结合x的任意性可得2k-1=0，所以k=. 解 (2)若函数g(x)=f(2x)，h(x)=loga[22x-2-2x-a·2-g(x)](a>0，a≠1)，问是否存在正实数a，使关于x的不等式h(x)≤0对x∈[log23，2]恒成立，若存在，求出正实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)可知，f(x)=(2x+1)+x， 则g(x)=f(2x)=(22x+1)+x=(22x+1)-2x =(2x+2-x)=-log2(2x+2-x)，可得h(x)=loga[22x-2-2x-a·] =loga[22x-2-2x-a(2x+2-x)]， 若不等式h(x)≤0对任意的x∈[log23，2]恒成立， 即loga[22x-2-2x-a(2x+2-x)]≤0， 令t=2x∈[3，4]，可得loga[t2-t-2-a(t+t-1)]≤0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 可知t2-t-2-a(t+t-1)>0对任意t∈[3，4]恒成立， 且t+t-1>0，可得t-t-1>a， 因为F(t)=t-t-1在[3，4]上单调递增，则F(t)≥F(3)=， 可得0<a<，且a≠1， 若0<a<1，则t2-t-2-a(t+t-1)≥1，可得t-t-1-≥a， 因为F(t)=t-t-1，G(t)=t+t-1在[3，4]上单调递增， 可知H(t)=t-t-1-在[3，4]上单调递增，则H(t)≥H(3)=， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 可得a≤，即0<a<1，符合题意； 若1<a<，则t2-t-2-a(t+t-1)≤1，可得t-t-1-≤a， 因为F(t)=t-t-1，G(t)=t+t-1在[3，4]上单调递增， 可知H(t)=t-t-1-在[3，4]上单调递增，则H(t)≤H(4)=， 可得无解； 综上所述，存在正实数a符合题意，实数a的取值范围为(0，1). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 <<< $