4.6 函数的应用(二)-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.6 函数的应用（二） 1 探究点一 指数函数模型 探究点二 对数函数模型 探究点三 建立拟合函数模型解决实际问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 2 【学习目标】 1.了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用； 2.通过对数据的合理分析,能自己建立函数模型,解决实际问题. 3 知识点一 应用函数模型解决实际问题的步骤 用函数模型解应用题的四个步骤 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选 择模型； （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号 语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模——求解数学模型，得出数学结论； （4）还原——将数学结论还原为实际问题的结论. 课 前 预 习 4 知识点二 几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 指数函数模型 ,,为常数，且, 对数函数模型 ,,为常数，且, 幂函数模型 ,,为常数，, 课 前 预 习 5 探究点一 指数函数模型 例1 若某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍,则该厂去年 产值的月平均增长率为 (　 ) A.m B.m2 C.-1 D.-1 解: 设去年1月份的产值为1,月平均增长率为x,则1×(1+x)11=m, 解得x=-1.故选D. √ 课 中 探 究 6 变式 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富， 也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废 气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留量（单位： 毫克/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 ，其中为常数，， 为原污染物的量. 该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤 掉 ，则再继续过滤3个小时废气中污染物的残留量约为原污染物 的 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 7 [解析] 因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 ， 所以，即,所以 . 再继续过滤3个小时，废气中污染物的残留量约为 .故选A. 课 中 探 究 8 ［素养小结］ 确定指数函数模型的关键是确定底数,从而确定指数函数关系式. 课 中 探 究 9 探究点二 对数函数模型 例2 我们一般使用分贝（符号是 ）来表示声音强度（瓦/平方米， 符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为 ， 科学研究表明，它们满足关系：，其中 为修正系数 （常数）， 为普通人能听到的声音的最小强度（常数）.清晨时风 吹落叶的沙沙声的强度为，声音等级为 ，上学高 峰时汽车川流不息的声音强度达到，声音等级为 . （1）求与的值，当同学们早读的声音等级为 时，求早读的 声音强度； 课 中 探 究 10 解:由题可知，当时，，当， ， ， ， 解得 . 令 ，得，即， 解得 ， 早读的声音强度为 . 课 中 探 究 11 例2 我们一般使用分贝（符号是 ）来表示声音强度（瓦/平方米， 符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为 ， 科学研究表明，它们满足关系：，其中 为修正系数 （常数）， 为普通人能听到的声音的最小强度（常数）.清晨时风 吹落叶的沙沙声的强度为，声音等级为 ，上学高 峰时汽车川流不息的声音强度达到，声音等级为 . （2）某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常 安静，比平常降低了 ，求平常中午的声音强度是这天中午声音 强度的多少倍？ 课 中 探 究 12 解:设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为 ， 则，，即 ， ，解得 ， 平时中午的声音强度是这天中午声音强度的100倍. 课 中 探 究 13 变式 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超 过8万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过8万元时， 若超出万元，则超出部分按 进行奖励，不超过8万元的 部分仍按原方案奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）. （1）写出奖金关于销售利润 的函数关系式； 解:由题意，当时， ； 当时，. 故奖金关于销售利润 的函数关系式为 课 中 探 究 14 变式 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超 过8万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过8万元时， 若超出万元，则超出部分按 进行奖励，不超过8万元的 部分仍按原方案奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）. （2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他创造的销售利润是 多少万元？ 解:由题意得，解得 ， 故小江创造的销售利润是20万元. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建 模，充分注意数学模型中元素的实际意义. （2）对数函数模型的一般表达式为：<m> </m>，<m></m>，<m></m>为常数，<m></m>，<m></m>，<m></m>. 课 中 探 究 16 探究点三 建立拟合函数模型解决实际问题 例3 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门近年来 利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等）对国家级湿地公园进行进一步 净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生 植物的生长进行了科学管控，并于2024年对该湿地公园内某一水域浮萍的 生长情况进行了调查，测得该水域2月底浮萍覆盖面积为，4月底浮萍 覆盖面积为 ，8月底浮萍覆盖面积为. 浮萍覆盖面积（单位：）与月份 年1月底记为， 2025年1月底记为 的关系有两个函数模型与 可供选择. 课 中 探 究 17 （1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由. 解:选择数据和 ， 由解得则 ， 当时， ，与实际情况相符; 由解得则 ， 当时， ，与实际情况差别比较大， 故选函数模型 . 课 中 探 究 18 （2）利用你选择的函数模型，试估算从2024年1月初起至少经过多 少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到 .（参考数据： ） 解:因为 ，， 而 ， 所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到 . 课 中 探 究 19 变式 [2026·云南文山高一期末] 文山红果参是一种药食同源特色水果. 红果参为草本植物,果实成熟后呈紫黑色,果肉红润酸甜,口感沙脆带青 草味,可连皮带籽食用.某地区为了激发果农种植热情,制定了如下的 补贴方案: (i)规定补贴金额y(单位:万元)是销售额x(单位:万元)的函数,且函数的 部分图象如图所示; (ii)当销售额为2万元时,补贴金额为0.3万元; 当销售额为12万元时,补贴金额为1.4万元. 课 中 探 究 20 现有以下三个函数模型供选择: ①y=kx+m;②y=k·1.1x+m;③y=k[log5(2x+1)+mx]. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型(无需说明理由),并求出你选择 的函数模型的解析式; 课 中 探 究 21 解：模型①是一次函数,其图象是一条直线,不符合题意; 模型②是指数型函数,当k>0时,函数图象下凹,不符合题意; 当k<0时,函数y=k·1.1x+m为减函数,不符合题意. 故考虑模型③:y=k[log5(2x+1)+mx]. 代入点(2,0.3) 和 (12,1.4)的坐标, 得解得 所以此函数模型的解析式为y=0.1x+0.1log5(2x+1). 课 中 探 究 22 (2)假设某果农2025年的销售额为23.5万元,则他应得多少补贴金? (参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.5,lg 5≈0.7,结果保留1位小数) 解： 2025年的销售额为23.5万元,即x=23.5,则此时 y=0.1×23.5+0.1×log5(2×23.5+1)=2.35+0.1×log548, log548===, 把lg 2≈0.3,lg 3≈0.5,lg 5≈0.7代入得log548≈==, 所以y≈2.35+0.1×≈2.6,故该果农应得补贴金约为2.6万元. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 当一组数据所对应的拟合函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几 个拟合函数求出来,再根据题中的其他条件,对这几个拟合函数的可靠 性进行评估,选出拟合性最好的函数. 课 中 探 究 24 1.地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式 表达，其中为震级， 为地震能量.11月21日某地 发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次的 地震能量大约是第二次的地震能量的（参考数据： , ）( ) A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.125倍 √ 课 堂 评 价 25 [解析] 设第一次的地震能量为，则 ， 设第二次的地震能量为，则， 由 得，则， 因为 ，所以 .故选D. 课 堂 评 价 26 2.我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录 与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0 五分记录 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：，， 表示小数 记录数据， 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题： 小明同学检测视力时，医生告诉他视力为 ，则小明同学视力的小 数记录数据为（附：，， ） ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 √ 课 堂 评 价 27 [解析] 由数据可知，当时， ，两个函数都符合， 但当时，由得 ，与表中的数据符合， 而由得 ，与表中的数据不符合， 所以选择模型更合适， 此时令，则 ，所以 .故选B. 课 堂 评 价 28 3.中国唐代著名的天文学家张遂发明了一种内插法近似计算原理，广 泛应用于现代建设工程费用估算.近似计算公式如下： ，其中 为计费额的区间， ，为对应于,的收费基价， 为该区间内的插入值， 为对应于的收费基价.如下表所示，则 的值估计为( ) 计费额 （单位：万元） 500 700 1000 收费基价 （单位：万元） 16.5 30.1 A.18.53 B.19.22 C.21.94 D.28.22 √ 课 堂 评 价 29 [解析] 结合题意可知，， , , , ， 则 .故选C. 课 堂 评 价 30 4.某科技公司计划加大在芯片相关产业的研发投入.若该公司计划在 2025年全年投入芯片制造研发资金60亿元，在此基础上，每年投入 的研发资金比上一年增长 ，则该公司全年投入的研发资金开始超 过100亿元的年份是______.（参考数据： ， ， ） 2031 课 堂 评 价 31 [解析] 依题意，设 年后该公司全年投入芯片制造研发资金超过100亿元， 则，所以 ， 所以 ， 所以需要6年， 即2031年该公司全年投入芯片制造研发资金开始超过100亿元. 课 堂 评 价 32 课后习题 33 1.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年比上一年平均增长 ， 专家预测经过年的增长，荒漠化土地面积为 （平方千米），则函 数 的大致图象为( ) A. B. C. D. [解析] 设初始荒漠化土地的面积为， 则, 是关于 的指数型函数.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 2.［2025·广东阳江高一期末］大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位： ） 可以表示为，其中 表示鱼的耗氧量的单位数.若鲑鱼的 游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的( ) A.3倍 B.9倍 C.18倍 D.27倍 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 [解析] 设原来的游速为，则提速后的游速为 ， 设原来的耗氧量的单位数为，提速后的耗氧量的单位数为 ， 则所以，所以 ， 所以， 所以若鲑鱼的游速每增加 ， 则它的耗氧量的单位数是原来的9倍．故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.某种水果的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位： ） 近似满足函数关系,为常数，为自然对数的底数 .已知该水果 在下的保鲜时间为192小时，在 下的保鲜时间为96小时，若要使该 水果保鲜时间不低于48小时，则温度不应超过( ) A. B. C. D. [解析] 由题知两式相除得，所以 ， 所以，得. 令，得 ，则，得， 则，解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 4.［2025·浙江宁波中学高一期中］中国 技术领先世界，其数学原 理之一便是香农公式 ，它表示在受噪音干扰的信 道中，最大信息传递速率取决于信道带宽 、信道内信号的平均功 率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中 叫信噪比.按照香农 公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至，则 大约 增加了（参考数据： ）( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 [解析] 由题意，将信噪比从2000提升至 ， 则最大信息传递速率从增加至 ， 所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 5.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元/100千克)与上市时间t(单位:天)的数据如下表: 根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与 上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt. 利用你选取的函数,求得西红柿种植成本最低时的上市时间是(　 ) A.120　　 B.100　　 C.110　　 D.118 √ 上市时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 [解析] 因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,所以函数不单调, 所以选取Q=at2+bt+c. 将表格中的三组数据分别代入Q=at2+bt+c, 得解得 所以Q=0.01t2-2.4t+224,其图象的对称轴方程为t=-=120, 开口向上,所以在t=120时函数取得最小值, 所以西红柿种植成本最低时的上市时间是120.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 6.（多选题）若臭氧含量与时间 （单位：年）的函数关系式为 ，其中 为臭氧的初始含量，则( ) A.随着时间的增加，臭氧的含量减少 B.随着时间的增加，臭氧的含量增加 C.当时， D.当时， √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 [解析] 对于A，B，因为函数单调递增， 单调递减， 所以复合函数 单调递减， 所以随着时间的增加，臭氧的含量减少，故A正确，B错误； 对于C，D，当 时，, 故C正确，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 中， 表示达到某一英文打字水平所需的学习时 间，表示每分钟打出的字数，则当时， ______. （参考数据：, ） 36.72 [解析] 当 时， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 8.（13分）某种生物的身长（单位：米）与其生长年限 000000000（单位：年） 之间的关系为（其中， 为自然对数的底数， 该生物出生时 ），则至少需要经过多少年，该生物的身长才能 超过8米？（精确到， ） 解：由得,即 , ， . , . 又， ， 即至少需要6.8年，该生物的身长才能超过8米. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 9. [2026·江西赣州高一期末] “打水漂”是一种游戏:按一定方式投掷石片, 使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小乐同学在玩“打水漂” 游戏时,将一个石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度 为30 m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设 石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%,若石片接触水面时 的速度低于6 m/s,石片就不再弹跳,沉入水底,则小乐同学这次“打水漂” 石片的弹跳次数为 (　 ) (参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 [解析] 设这次“打水漂”石片速度为6 m/s时的弹跳次数为x, 由题意得30×0.75x-1=6,即0.75x-1=0.2,解得x=1+log0.750.2. 因为log0.750.2===≈5.3,所以x≈6, 所以这次“打水漂”石片的弹跳次数为6.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 10.［2026·福建师大附中高一期中］某医院开展某种病毒的检测工作， 第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 （单位：小时），,为常数 ．已知第16天 检测过程的平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程的平均耗 时均为8小时，那么可得到第49天检测过程的平均耗时为___小 时．（精确到1小时） 9 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 [解析] 根据函数的解析式可知，当时， 单调递减； 当时， 为常数. 因为第16天检测过程的平均耗时为16小时， 第64天和第67天检测过程的平均耗时均为8小时， 所以，， 所以 ，. 所以所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 11.某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加 ， 人均粮食占有量比现在至少提高.如果人口年增长率为 （即千分之三），那么耕地平均每年至多只能减少____公顷. （附： ,精确到小数点后一位） 3.9 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 [解析] 设耕地平均每年至多只能减少 公顷， 该地区现有人口数量为，粮食单产为 吨/公顷. 依题意得， 化简得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 12.（15分）[2026·安徽安庆高一期末] 某中学学生每天能用于课外的 锻炼时间约有60分钟,现制定了一个课外锻炼考核评分标准,建立了一 个每天得分y(单位:分)与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系如图所示, 要求如下: (i)函数是区间[0,60]上的增函数; (ii)当每天锻炼时间为0分钟时,当天得分为0分; (iii)当每天锻炼时间为20分钟时,当天得分为3分,每天最多得分不超过6分. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 现有以下三个函数模型供选择: ①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=klog2+n(k>0). (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型, 说明理由并求出函数解析式; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 解：y=kx+b是一次函数,增长速度恒定,与图象的增长趋势不符; y=k·1.2x+b是指数型函数,增长速度越来越快,与图象的增长趋势不符; y=klog2+n是对数型函数,增长速度越来越缓,与图象的增长趋势 一致,故选择模型③. 由题可知,图象经过点(0,0)和(20,3), 则解得 所以函数解析式为y=3log2-3(0≤x≤60). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 54 (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分,请问小张同学每天课外 锻炼时间不少于多少分钟.(注:≈1.26,结果保留一位小数). 解： 由题意可得3log2-3≥4,即log2≥=log2, 因为y=log2x是增函数,所以+2≥==4·≈4×1.26=5.04, 所以≥3.04,解得x≥30.4, 即小张同学每天课外锻炼时间不少于30.4分钟. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 13.（15分）［2026·福建泉州高一期末］ 某物品上的特殊污渍需用 一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用 个单位量的洗涤溶液漂 洗一次以后残留污渍量与原污渍量之比.已知用1个单位量的洗涤溶液 漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量的 . （1）写出,的值，并对 的值给出一个合理的解释. 解：由题意得, ， 的值表示的含义是没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 13.（15分）［2026·福建泉州高一期末］ 某物品上的特殊污渍需用 一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用 个单位量的洗涤溶液漂 洗一次以后残留污渍量与原污渍量之比.已知用1个单位量的洗涤溶液 漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量的 . （2）已知 . ①求, . 解： ，,则，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 57 13.（15分）［2026·福建泉州高一期末］ 某物品上的特殊污渍需用 一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用 个单位量的洗涤溶液漂 洗一次以后残留污渍量与原污渍量之比.已知用1个单位量的洗涤溶液 漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量的 . （2）已知 . ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的 洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 58 解： 设清洗前物品上污渍残留量为1， 用 个单位量的洗涤溶液漂洗一次后残留污渍量 ， 用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次后残留污渍量 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 59 当时，， 则“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”去污效果更好； 当时， ，两种方案去污效果相同； 当时，， 则“用 个单位量的洗涤溶液漂洗一次”去污效果更好. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $