4.5 增长速度的比较-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.5 增长速度的比较 1 探究点一 平均变化率的比较 探究点二 不同函数增长速度的比较 探究点三 指数函数、对数函数与幂函数 模型的比较 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 2 【学习目标】 1.了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用； 2.理解直线增长、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型 性质的比较； 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题. 3 知识点一 函数的平均变化率 1.定义：函数在区间（时）或 （时）上的平均变化率为 . 2.实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. 3.理解：自变量每增加1个单位,函数值平均将增加 个单位.因此，可 用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 课 前 预 习 4 知识点二 三种函数增长速度的比较 1.在区间上,函数， 和 都是____函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上. 增 2.随着的增大, 的增长速度__________,会超过并远远 大于的增长速度,而 的增长速度则会 __________. 越来越快 越来越慢 3.存在一个，当时，有 . 课 前 预 习 5 探究点一 平均变化率的比较 例1（1）如图为物体甲、乙在时间0到 范围内路程 的变化情况，则下列说法正确的是____.（填序号） ③ ①在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度. 课 中 探 究 6 [解析] 在0到范围内，甲、乙的平均速度都为 ，故①②错误. 在到范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均速度为. 因为 ，， 所以 ，故③正确，④错误. 课 中 探 究 7 （2）已知函数，，， ，分 别计算这四个函数在区间 上的平均变化率，并比较它们的大小. 解:,,, , 故在区间上的平均变化率的大小关系为 . 课 中 探 究 8 变式 在附近，取，在四个函数， ， ， 中，平均变化率最大的是( ) A.④ B.③ C.② D.① [解析] 当时，在 附近的平均变化率； 在 附近的平均变化率； 在 附近的平均变化率； 在 附近的平均变化率 .故选B. √ 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用： （1）计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小 比较函数值增加的快慢. （2）平均变化率的大小也代表了区间的端点对应的曲线上两点连线 斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势 的影响. （3）计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数函数、 对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定 平均变化率的大小. 课 中 探 究 10 探究点二 不同函数增长速度的比较 例2（1）下列函数中在区间(1,+∞)上增长速度最慢的是 (　 ) A.y=2025x B.y=log2025x C.y=x2025 D.y=2025x [解析] 根据一次函数、对数函数、幂函数、指数函数的增长差异, 可知在区间(1,+∞)上对数函数的增长速度最慢.故选B. √ 课 中 探 究 11 （2）（多选题）已知函数，， ，则下列关于 这三个函数的描述中正确的是( ) A.在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B.在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C.当时，的增长速度一直快于 D.当时，的增长速度有时快于 √ √ 课 中 探 究 12 [解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数， ， 的图象，如图所示. 对于A，B，在上， 随着 的逐渐增大，的增长速度越来越快于 ， 故A错误，B正确; 对于C，当时， 的增长速度不是一直快于 ，故C错误; 对于D，当时，的增长速度有时快于，故D正确.故选 . 课 中 探 究 13 变式 （多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一 个方向运动，其路程关于时间 的函数关系 式分别为，， ， ，则下列结论中正确的是( ) A.当 时，甲走在最前面 B.当 时，乙走在最前面 C.当时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面 D.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 √ √ 课 中 探 究 14 [解析] 路程关于时间 的函数关系式分别 为，，，， 它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数 型函数模型. 对于A，当时，，， 该结论不正确； 对于B， 指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度， 当足够大时，甲总会超过乙， 该结论不正确； 课 中 探 究 15 对于C，根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢， 当 时，甲、乙、丙、丁四个物体相遇， 从而可知当 时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面， 该结论正确； 对于D，结合一次函数、幂函数、对数型函数和指数型函数的图象变 化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面， 该结论正确.故选 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 三种函数（指数函数、幂函数、对数函数）中，当自变量充分大时， 指数函数的函数值最大，但必须是自变量的值大到一定程度，因此 判断一个增函数是否为指数型函数时，一般判断当自变量增加到一 定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若 是，则这个函数就可能是指数型函数. 课 中 探 究 17 探究点三 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 例3 （多选题）已知函数， ， ， ，则下列结论正确的是 ( ) A.函数和 的图象有两个交点 B.存在，当时，恒有 C.当时，存在，使得 D.当时，方程 有解 √ √ 课 中 探 究 18 [解析] 对于选项A,因为，， 所以点 为函数和图象的交点， 又因为 ，， 且和都是增函数， 所以 和的图象在区间内有一个交点， 当时，函数 的增长速度比函数 的增长速度快， 它们的图象不再有交点，故A正确； 课 中 探 究 19 对于选项B,和在区间 上都是增函数， 一次函数 保持固定的增长速度， 而对数函数的增长速度越来越慢， 因为 的增长速度慢于， 所以存在一个，当时，恒有 ，故B错误； 对于选项C,当时，和的图象关于直线 对称， 的图象在直线的上方,的图象在直线 的下方， 所以不存在，使 ，故C错误； 课 中 探 究 对于选项D,当时，， 则和 的图象均过点，所以方程有解， 故D正确.故选 . 课 中 探 究 变式 [2026·天津滨海新区高一期中] 若x∈(0,+∞),则当自变量充分大时, 函数y=log2x,y=2x,y=2x中增长最快的是　　　　; 使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是　　　　.  y=2x (1,2) [解析] 作出函数y=log2x,y=2x,y=2x的图象,如图所示. 从增长速度看,y=log2x的增长速度是越来越慢, y=2x是均匀增长,y=2x的增长速度是越来越快, 故增长最快的是y=2x. 由图可得,使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是(1,2). 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法： 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观 察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数 是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 课 中 探 究 23 1.如图所示的曲线大致反映的增长趋势所对应的函数 模型是( ) A.一次函数 B.幂函数 C.对数函数 D.指数函数 √ [解析] 由题图可知，这个函数的增长速度越来越快， 反映的是指数函数的增长趋势. 课 堂 评 价 24 2.给出以下四个函数：；；； .则在 区间 上的平均变化率最大的是( ) A.① B.② C.③ D.④ [解析] 函数在区间上的平均变化率为 ， 函数在区间上的平均变化率为， 函数 在区间上的平均变化率为， 函数在区间 上的平均变化率为, 故函数在区间 上的平均变化率最大.故选C. √ 课 堂 评 价 25 3.若函数在区间上的平均变化率为 ，在区间 上的平均变化率为 ，则( ) A. B. C. D.与的大小关系与 的取值有关 [解析] ， 由题意知 ，所以 ，故选A. √ 课 堂 评 价 26 4. （多选题）[2026·辽宁盘锦高一月考] 已知函数f(x)=2x,g(x)=lox, h(x)=x-1,则在区间(0,+∞)上(　 ) A.f(x)的递增速度越来越快 B.g(x)的递减速度越来越慢 C.h(x)的递减速度越来越慢 D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 √ √ √ 课 堂 评 价 27 [解析] 作出函数f(x)=2x,g(x)=lox,h(x)=x-1在区间(0,+∞)上的图象,如图. 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上, f(x)的递增速度越来越快,故A正确; g(x)的递减速度越来越慢,故B正确; h(x)的递减速度越来越慢,故C正确; 由于当x→+∞时,g(x)→-∞,h(x)→0, 因此g(x)的递减速度快于h(x)的递减速度,故D错误. 故选ABC. 课 堂 评 价 28 课后习题 29 1.函数在区间 上的平均变化率为( ) A.1 B.9 C.19 D.36 [解析] . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 2.有一组数据如下表所示： 1 2 3 4 5 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型最适合刻画与 的关系的是( ) A. B. C. D. [解析] 通过所给数据可知，随 的增大而增大，其增长速度越来越快， A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 3.已知 ，则下列说法中正确的是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， [解析] 因为，所以函数，， 均为增函数， 且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以，， .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 4.已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析 式可能为( ) A. B. C. D. [解析] 对于B，当 时,，排除B； 对于C，当 时, ，排除C； 对于D，当 时, ，排除D.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 5.已知与在区间 上的平均变化率分别为 ,,当时,实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得,, 由,得 ,所以实数的取值范围为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 6. [2026·河南安阳高一期中] 根据下列表格中的数据选择合适的模型, 则f(x)的解析式可以是 (　 ) A.f(x)=-2x+4 B.f(x)=x2+1 C.f(x)=4-2x D.f(x)=-2 √ x 1 2 3 4 5 6 f(x) 2 0 - -1 - - 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 [解析] 由表格中的数据作出散点图如图所示. 由图可知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且递减速度越来越慢, D选项中的函数模型最为合适.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. [2026·广东汕尾高一期末] 向一个倒放的圆台形容器匀速注水(容器 原本无水,注水速率恒定),设注水时间为x,容器内水面高度为y,则以下 函数中最能近似反映y与x这一变化现象的是 (　 ) A.y=2x B.y=x2 C.y= D.y=ln x √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 [解析] 当匀速注入水时,随着注水时间的增加,水面高度的增长速度会 逐渐变慢. 对于A,y=2x为指数函数,增长速度越来越快,呈爆炸式增长,故A错误; 对于B,y=x2为二次函数,当x≥0时,增长速度越来越快,故B错误; 对于C,y=为幂函数,增长速度越来越慢,且始终递增,故C正确; 对于D,对数函数y=ln x虽然增长速度越来越慢,但其定义域为(0,+∞), 不满足初始时刻x=0时水面高度y=0的实际情况,故D错误.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 8.［2025·江西南昌八一中学高一月考］一次函数 在区 间 上的平均变化率为___. [解析] 因为 ,， 所以一次函数在区间 上的平均变化率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 9.（13分）巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,在当 地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感 受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从处到 处会感觉比较 轻松,而从处到 处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 解:从处到处高度的平均变化率为 , 从处到处高度的平均变化率为 , 由,知山路从处到处比从处到 处陡峭， 故从处到处会感觉比较轻松,从处到 处会感觉比较吃力. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 10.已知,,，则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 [解析] .作出对数函数 的图象如图. 设，，分别是轴上对应4,5,6的点，过，， 作轴的垂线， 与函数的图象分别交于， ，， 则,,. 过，作平行于 轴的直线分别与，交于， 函数的增长速度是随 的增大而变慢的， ，即， ，， , ,,.故 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.（多选题）对于函数 y1=x6,y2=2x,y3=ln x,下列说法正确的是(　 ) A.对任意的x>0,y1>y3 B.对任意的 x>0,y2>y3 C.一定存在x0 ,当 x>x0 时,总有 y2>y1>y3 D.y1=x6 与 y2=2x 的图象有2个交点 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 [解析] 作出函数y1=x6,y2=2x,y3=ln x的图象(横纵坐标轴单位长度不相等), 如图所示. 由图知,对任意的x>0,y1>y3,y2>y3,故A,B选项正确; 由于函数y2=2x呈爆炸式增长,当x增大到一定程度后y2=2x的 函数值将会超过y1=x6的函数值,并一直持续, 因此一定存在x0 ,当x>x0时,总有 y2>y1>y3,故C正确; 当x<0时,y1=x6与y2=2x 的图象有1个交点, 当x>0时y1=x6 与 y2=2x 的图象有2个交点, 则y1=x6与y2=2x 的图象共有3个交点,故D错误.故选ABC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 12. 某工厂8年来某产品总产量与时间 （年） 的函数关系如图，给出下列说法： ①前3年总产量的增长速度越来越快； ②前3年总产量的增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 其中说法正确的是______．（填序号） ①③ [解析] 由题图可知，前3年总产量的增长速度越来越快， 第3年后该产品停止生产.故填①③. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 13.已知函数，， ，则这三个函数在 区间 上的平均变化率最大的是_____. [解析] 因为， ， ，且 ， 所以， ， 所以在区间上， 的平均变化率最大. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 14.（15分）2023年杭州亚运会已经圆满结束，杭州凭借其先进的体 育基础设施和丰富的办赛经验，成为举办体育赛事的理想城市.为了 助力杭州的绿色发展，进一步做好垃圾分类处理，当地某企业引进 一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目.已知该企业日加工处 理厨余垃圾量 （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理 总成本（单位：元）与日加工处理厨余垃圾量 之间的函数关系可 近似表示为 ,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的 化工产品的售价为110元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 （1）该企业日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨厨 余垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理厨余垃圾处于亏损 状态还是盈利状态？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：由题意可知， 日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为, . 又， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以该企业日加工处理厨余垃圾量为80吨时， 日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低. 因为 ，所以此时该企业日加工处理厨余垃圾处于亏损状态. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 （2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴， 要求企业从以下两种方案中选择其中的一种. 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元； 方案二：根据日加工处理厨余垃圾量进行财政补贴，金额为 元. 如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选 择哪种补贴方案？为什么？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 解：若该企业采用方案一，设该企业每日获利 元， 由题可得 ， 因为,所以当 时,企业获得最大利润，最大利润为1550元. 若该企业采用方案二，设该企业每日获利 元， 由题可得 ， 因为,所以当 时，企业获得最大利润,最大利润为1800元. 因为 ，所以应选择方案二. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 $