4.4 幂函数-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.4 幂函数 1 探究点一 幂函数的概念 探究点二 幂函数的图象 探究点三 幂函数的性质 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 2 【学习目标】 1.掌握幂函数的概念、图象和性质; 2.熟悉,2,3,, 时的五类幂函数的图象、性质及其特点; 3.能利用幂函数的图象与性质解决综合问题. 3 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数________称为幂函数，其中 为常数. 注意：幂函数的系数为1. 课 前 预 习 4 知识点二 幂函数的图象与性质 1.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数, , ,, 的图象如图所示. 课 前 预 习 5 2.幂函数的性质 （1）所有的幂函数在区间________上都有定义,因此在第一象限内都 有图象，并且图象都通过点______. （2）如果,那么幂函数的图象通过原点,并且在区间 上 是________.当时，幂函数的图象在区间 上的增长 情况是__________；当时，幂函数的图象在区间 上的 增长情况是__________. 增函数 先快后慢 先慢后快 课 前 预 习 6 （3）如果,那么幂函数在区间 上是________,且在第一 象限内：当从右边趋向于原点时,图象在 轴右方且无限地逼近___ 轴；当无限增大时,图象在 轴上方且无限逼近___轴. 减函数 3.幂函数之间的关系 当时，若，则 ； 当时，若，则 . 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.当时，若函数的图象在函数 的图象的上方，则 与 的大小关系是______________________. 或 2.幂函数的图象能经过第四象限吗？为什么？ 解:幂函数的图象不能经过第四象限， 因为当时， （其中 ）. 课 前 预 习 8 探究点一 幂函数的概念 例1（1）已知幂函数的图象经过点，则 ( ) A.3 B. C.9 D. [解析] 设 ，因为函数的图象经过点 ， 所以，解得，所以 ，所以 ， 故选A. √ 课 中 探 究 9 （2）（多选题）［2026·哈尔滨高一期末］ 下列函数中是幂函数的 是( ) A. B. C. D. [解析] 根据幂函数的定义知B，C，D中的函数均是幂函数， A中的函数为指数函数，故选 . √ √ √ 课 中 探 究 10 （3）已知函数，则当 分别为何值时， 是：①正比例函数；②反比例函数；③二次函数；④幂函数？ 解：①若为正比例函数，则解得 . ②若为反比例函数，则解得 . ③若为二次函数，则解得 . ④若为幂函数，则，所以 . 课 中 探 究 11 变式（1）已知函数是幂函数，则 ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 [解析] 因为函数是幂函数，所以 ， 解得，所以，所以 .故选A. √ 课 中 探 究 12 （2）若点在幂函数 的图象上，则该幂函数的解析式为 _______. [解析] 将代入，得，解得 ， 所以该幂函数的解析式为 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 判断函数是幂函数的依据： （1）指数为常数;（2）系数为1. 课 中 探 究 14 探究点二 幂函数的图象 例2（1）当分别取，4，，这四个值时，幂函数 的部 分图象如图所示，则与曲线，，，对应的 依次为( ) A.4，，， B.，， ，4 C.，4，， D.4，，， √ 课 中 探 究 15 [解析] 当时，幂函数在 上单调递增， 当时，幂函数在 上单调递减，并且在直线 的右侧， 图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以对应的， 对应的，对应的， 对应的 .故选A. 课 中 探 究 16 （2）下列关于函数 与 的图象正确的 是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 17 [解析] 函数 是幂函数，函数 是一次函数. 在A中，直线对应的函数为，曲线对应的函数不为 ， 故A不满足题意； 在B中，直线对应的函数为，曲线对应的函数不为 ， 故B不满足题意； 课 中 探 究 18 在C中，直线对应的函数为 ，曲线对应的函数为， 故C满足题意； 在D中，直线对应的函数为 ，曲线对应的函数不为 ， 故D不满足题意.故选C. 课 中 探 究 19 变式（1）在同一直角坐标系中，函数,, 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 20 [解析] 函数,的单调性一定相反， 且 , 的图象均不过原点，故排除A，D； 在B，C选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由的图象可知 ，所以单调递减， 单调递增，故排除B.故选C. 课 中 探 究 （2）[2026·云南文山高一期末] 函数y=的大致图象为 (　 ) A. B. C. D. [解析] 函数y=是幂函数,定义域为R,又=,所以y=为偶函数, 其图象关于y轴对称,排除A,D; 由0<<1,得函数y=在(0,+∞)上单调递增,排除C.故选B. √ 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 解决幂函数的图象问题需把握两个原则: （1）依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：在<m></m>上，指 数越大，幂函数的图象越靠近<m></m>轴（简记为“指大图低”）；在 <m></m>上，指数越大，幂函数图象越远离<m></m>轴（简记为“指大图 高”）. （2）由图象确定幂指数<m></m> 与0，1的大小关系，需根据幂函数在第一 象限内的图象来判断. 课 中 探 究 23 探究点三 幂函数的性质 例3（1）函数y=的图象恒过定点 (　 ) A.(1,0) B.(2,1) C.(0,-1) D.(m+1,1) [解析] 令x-1=1,得x=2,此时y==1,∴y=的图象恒过定点(2,1). 故选B. √ 课 中 探 究 24 （2）（多选题）下列关于幂函数 的说法中正确的有 ( ) A.的定义域为 B.的值域为 C. 为偶函数 D.不等式的解集为 √ √ 课 中 探 究 25 [解析] 的定义域为 ，故A错误； 的值域为 ，故B正确； 因为，所以 为奇函数，故C错误； 由，得，解得，故D正确.故选 . 课 中 探 究 26 变式（1）下列函数中，在区间上是增函数且其图象关于 轴 对称的是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 27 [解析] 对于A，设，该函数的定义域为 ， 因为，所以函数 为偶函数， 函数在上为增函数，在 上为减函数， 故A不符合题意； ， 则函数 为非奇非偶函数，故B不符合题意； 课 中 探 究 28 对于C，设，该函数的定义域为 ， 因为，所以函数 为偶函数， 函数在上为减函数，在 上为增函数， 故C符合题意； 对于D，设，函数的定义域为 ， 则函数 为非奇非偶函数，故D不符合题意.故选C. 课 中 探 究 （2）[2026·山西晋中高一月考] 已知幂函数f(x)=(m∈Z)为 奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,则m= (　 ) A.1或4 B.0或4 C.1或2 D.0或2 [解析] ∵f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0, ∴-1<m<3,又m∈Z,∴m=0,1,2. 当m=0,2时,f(x)=x3是奇函数; 当m=1时,f(x)=x4是偶函数,不符合题意. 所以m=0或2.故选D. √ 课 中 探 究 30 ［素养小结］ （1）幂函数<m></m> 的单调性：如果<m></m>，那么幂函数在 <m></m>上为增函数;如果<m></m>，那么幂函数在<m></m>上为减函数. （2）利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题：比较大小的两 个实数必须在同一函数的同一单调区间内. 课 中 探 究 31 1.在函数，，， 中幂函数的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 只有和 是幂函数，故选C. √ 课 堂 评 价 32 2.已知幂函数的图象过点 ，则下列说法正确的是( ) A.是偶函数，其单调递增区间为 B.是偶函数，其单调递减区间为 C.是偶函数，其单调递增区间为 D.是奇函数，其单调递增区间为 [解析] 设 ，则，解得，所以 ， 其定义域为. 因为，所以 为偶函数， 显然其单调递增区间为 ，单调递减区间为. 故选C. √ 课 堂 评 价 33 3.函数 的大致图象是( ) A. B. C. D. [解析] ，由，得 ， 即函数的定义域为 ，且在定义域上单调递增，故B正确. √ 课 堂 评 价 34 4.（多选题）下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象过点，则 B.函数 表示幂函数 C.函数在 上单调递增 D.幂函数的图象都过点, √ √ 课 堂 评 价 35 [解析] 设 ，则，解得，所以 ， 故A正确； 是幂函数，故B正确； 因为 ，所以函数在上单调递减，故C错误； 幂函数 的图象不过点，故D错误.故选 . 课 堂 评 价 5. [2026·江苏常州高一期末] 已知幂函数f(x)=(3m2-2m)x-m满足f(2)>f(3), 则m=　　　　.  1 [解析] 因为函数f(x)=(3m2-2m)x-m是幂函数,所以3m2-2m=1,解得m=1或m=-. 当m=1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,则f(2)>f(3),符合题意; 当m=-时,f(x)=在(0,+∞)上为增函数,则f(2)<f(3),不符合题意.故m=1. 课 堂 评 价 37 课后习题 38 1.已知点在幂函数 的图象上，则 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 由题意得解得则 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 2.已知,若 ,则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在 上是增函数, ,所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 3.已知a,b∈R,则“a3>b3”是“ea-b>1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 构造函数f(x)=x3,由幂函数的性质得f(x)在R上单调递增. 若a3>b3,则a>b,即a-b>0,构造函数g(x)=ex, 由指数函数的性质得g(x)在R上单调递增,则ea-b>e0=1,故充分性成立; 若ea-b>1,则a-b>0,即a>b,此时满足a3>b3,故必要性成立. 综上,“a3>b3”是“ea-b>1”的充要条件.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 4. 已知幂函数 在上单调递增， 则 ( ) A. B.3 C. D.5 [解析] 因为幂函数在 上单调递增， 所以且，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(　 ) B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] ∵y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(3,1),∴1=loga3,解得a=3. 对于A,y=a-x=3-x=,∴y=在R上单调递减,故A错误; 对于B,y=xa=x3,其定义域为R,令f(x)=x3,则f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x), ∴y=x3是奇函数,且单调递增,故B正确; 对于C,y=(-x)a=(-x)3=-x3,当x=1时,y=-1,故C错误; 对于D,y=loga(-x)=log3(-x),当x=-3时,y=1,故D错误.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.已知函数且的图象过定点，点 在幂函 数的图象上，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 函数中，令，解得 ， 此时，所以定点. 设幂函数 ，则 ,解得,所以， 所以 ，所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 7.（多选题）[2026·杭州高一期末] 已知幂函数f(x)=xα,则下列说法正确 的有 (　 ) A.若α=,则f(x)的图象关于直线y=x对称 B.若α=2,则f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 C.若α=-1,则f(x)的定义域为{x|x≠0},且在(-∞,0)上单调递减 D.若α=3,则对任意x1,x2∈R,都有≥f √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 对于A,若α=,则f(x)==,易知f(x)的定义域为[0,+∞), f(x)的图象上存在点(4,2),因为f(2)=≠4,所以点(4,2)关于直线y=x对称的 点(2,4)不在f(x)的图象上,所以f(x)的图象不关于直线y=x对称,故A错误. 对于B,若α=2,则f(x)=x2,因为f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)是偶函数, 又α=2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B正确. 对于C,若α=-1,则f(x)=x-1=,易知f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又α=-1<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 对于D,若α=3,则f(x)=x3,所以-f=-= -== ==, 故只有当x1+x2≥0时,才有≥f,故D错误.故选BC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 8. 已知f(x)为幂函数,则函数g(x)=f(x)+1的图象经过的定点坐标为　　　.  (1,2) [解析] 因为幂函数的图象过定点(1,1),即f(1)=1, 所以g(1)=f(1)+1=2,即g(x)的图象经过定点(1,2). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 9.(13分) 已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称, 且在区间(0,+∞)上单调递增. (1)求m的值; 解：因为幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以解得m=1或m=2. 若m=1,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,符合题意; 若m=2,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,符合题意. 综上所述,m=1或2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 9.(13分) 已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称, 且在区间(0,+∞)上单调递增. (2)求满足不等式f(2a-1)<f(a+1)的实数a的取值范围. 解： 由f(2a-1)<f(a+1),可得(2a-1)2<(a+1)2,整理得3a(a-2)<0,解得0<a<2, 故实数a的取值范围为(0,2). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 10.已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 令，易知在 上单调递减， 又，所以. 令 ，易知在区间上单调递增， 又 ，所以. 综上， ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 ★11.（多选题）函数 的大致图象可能是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 由题意知，则， 当 时，，，， 当时， ，，， 所以 的大致图象不可能为C选项中的图象. 当时，的定义域为 ，此时A选项符合要求. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当时，的定义域为 ， 且，故函数 为奇函数， 此时B选项符合要求. 当时，的定义域为 ， 且，故函数 为偶函数， 此时D选项符合要求.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数 则不等式 的解集为 ______. [解析] 在同一直角坐标系中， 作出函数及 的图象， 如图所示， 由图可知不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 13.已知α∈,函数y=xα在(-∞,0)上单调递增,其图象不过 坐标原点,则α=　　　　.  -2 [解析] 当 α>0 时,函数y=xα的图象过坐标原点,不符合题意; 当α=0 时,y=x0=1(x≠0)在(-∞,0)上是常函数,不单调递增,不符合题意; 当α=-时,y=的定义域为(0,+∞),不符合题意; 当α=-时,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 因为α<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减, 因为y=为奇函数,所以y=在(-∞,0)上单调递减,不符合题意; 当α=-2时,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为α<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减, 因为y=为偶函数,所以y=在(-∞,0)上单调递增,符合题意. 综上可得,α=-2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14.（15分）已知幂函数在 上单调 递增，函数 . （1）求 的值； 解:依题意得，解得或 . 当时，在 上单调递减，与题设矛盾，舍去. 当时，在 上单调递增，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 14.（15分）已知幂函数在 上单调 递增，函数 . （2）当时，记，的值域分别为集合， ，设 ，，若是的必要条件，求实数 的取值范围. 解:由（1）得 ，当时，，即 . 当时，，即 . 是的必要条件，， ， 故实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 15. 已知幂函数在 上单调 递减，设，，，则,, 的 大小关系为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 令，解得或. 当 时，，函数在 上单调递减，满足要求； 当时，，函数在 上单调递增，不满足要求， 故，其定义域为 ， 且，故 为偶函数. ， ， ，，其中 . 由于，所以，即 . 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 16.（15分）已知关于的方程在 上有三个相 异实根，求实数 的取值范围. 解:易知 . 方程在 上有三个相异实根， 函数与 的图象在 上有三个不同交点. 如图，在同一直角坐标系中画出两函数的图象. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 由图可知，要使两函数的图象在 上有三个不同的交点， 则在上，函数与 的图象有两个不同的交点， 在上，函数与 的图象有一个交点. 由 整理得 ， 即 又易知 ， ， 故实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $