第4章 §4.6 函数的应用（二）（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数模型的实际应用，涵盖已知模型求解、建立模型及拟合函数解决问题。通过“如何选择函数模型”的导语设问，梳理一次、二次、指数等常见模型，搭建从审题建模到求解还原的学习支架，衔接函数性质与实际应用。 其亮点在于结合声强级计算、沙漠治理等真实情境案例，通过对比选择函数模型（如电动汽车耗电量模型筛选）和推导拟合函数，培养数学眼光、思维与语言。采用例题解析与跟踪训练结合，学生能提升问题转化能力，教师可获得系统教学案例与分层训练资源。

§4.6 函数的应用(二) 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 <<< 1.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点) 2.建立函数模型解决实际问题.(难点) 3.实际问题中的函数模型选择问题. 学习目标 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 导 语 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模——求解数学模型，得出数学模型. (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 问题 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)= (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)= (a，b，α为常数，a≠0) +b bax+c axα+b 知识梳理 一、应用已知函数模型解决实际问题 二、建立函数模型解决实际问题 课时对点练 三、建立拟合函数解决实际问题 随堂演练 内容索引 应用已知函数模型解决实际问题 一 　声强级LI(单位：dB)由公式LI=klg I+b给出，其中I为声强(单位：W/m2)，k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，此时声强级为120 dB；平时人交谈时的声强约为10-6 W/m2，此时声强级为60 dB. (1)求k，b的值； 例 1 由题意知 解得 解 8 (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90 dB至115 dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为10-2 W/m2，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 由(1)得LI=10lg I+120，将I=10-2代入， 得LI=10lg 10-2+120=100∈[90，115]， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 解 9 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算. 反 思 感 悟 10 　Logit模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logit模型：I(t)=，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2) A.60 B.62 C.66 D.69 跟踪训练 1 √ 11 ∵I(t*)==0.9K， ∴1+==， 则-0.24(t*-53)=ln=-ln 9≈-2.2， 解得t*≈62. 解析 12 二 建立函数模型解决实际问题 某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间. (1)求x的值； 例 2 由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)， 则a(1-x)10=a，即(1-x)10=， 解得x=1-. 解 14 (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？ 15 设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为a(1-x)n， 令a(1-x)n≤a，即(1-x)n≤， ≤≥，解得n≥15， 故至少还需治理15年. 解 16 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 反 思 感 悟 17 　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 跟踪训练 2 √ 18 设x年后研发资金开始超过200万元， 所以130(1+12%)x>200， 所以1.12x>，所以x>log1.12， 所以x>，所以x>3.8， 故2024年研发资金开始超过200万元. 解析 19 建立拟合函数解决实际问题 三 某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道进行测试，国道限速60 km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如表所示. 例 3 v 0 20 30 40 M 0 2 400 3 375 4 400 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①M(v)=v3+bv2+cv；②M(v)=1 000+a；③M(v)=300logav+b. 21 (1)当0≤v≤60时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； 22 对于③M(v)=300logav+b，当v=0时，它无意义，所以不符合题意， 对于②M(v)=1 000+a， 易知M(v)=1 000+a是减函数，由图表知，M随着v的增大而增大，所以不符合题意， 所以选①M(v)=v3+bv2+cv， 由表中数据可得 解 23 解得所以当0≤v≤60时， M(v)=v3-2v2+150v. 解 24 (2)现有一辆该型号汽车从A地驶到B地，前一段是40 km的国道，后一段是50 km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系是：N(v)=v2-60v+6 400(60<v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 25 国道路段长为40 km，所用时间为 h， 所耗电量为f(v)=·M(v) =· =v2-80v+6 000=(v-40)2+4 400， 因为0≤v≤60，所以当v=40时，f(v)min=4 400 Wh； 高速路段长为50 km，所用时间为 h， 解 26 所耗电量为g(v)=·N(v)=·(v2-60v+6 400)=50×≥50× =5 000， 当且仅当v=，即v=80时等号成立. 所以g(v)min=g(80)=5 000 Wh， 故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h，在高速路上的行驶速度为80 km/h时， 该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为4 400+5 000=9 400(Wh). 解 27 建立拟合函数与预测的基本步骤 反 思 感 悟 28 航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=+2(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天)的部分数据如下表所示： 跟踪训练 3 x(天) 5 10 17 26 Q(x)(百个) 4 5 6 7 已知第10天该商品的日销售收入为3 500元. 29 由题意，500·=3 500，∴k=15. 解 (1)求实数k的值； 30 (2)给出以下三种函数模型：①Q(x)=px+q，②Q(x)=a|x-18|+b；③Q(x)= m+n，请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，说明你选择的理由，并借助你选择的模型，预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N*)(元)在哪一天达到最低？ 31 ∵表格中Q(x)对应的数据匀速递增时，x对应的数据并未匀速变化，∴排除模型①. 又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象关于直线x=18对称)，而表格中的数据并未体现此规律(5≠7)， ∴排除模型②. 对于模型③，将(5，4)，(10，5)代入模型③，有解得 此时，Q(x)=+2，经验证，(17，6)，(26，7)均满足，∴选模型③. 解 32 f(x)=100Q(x)·P(x)=100(+2)·=100 ≥100×(19+4)=1 900+400. 当且仅当2=， 即x=16时，等号成立. ∴日销售收入在第16天达到最低. 解 33 1.知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题. (2)建立函数模型解决实际问题. (3)建立拟合函数解决实际问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)实际应用题易忘记定义域和结论. (2)对函数拟合效果的分析不能做出正确选择. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T=-12ln (T为时间，单位为min，w0为特殊环境温度，w1为该物质在特殊环境下的初始温度，w为该物质在特殊环境下冷却后的温度)，假设一开始该物质在特殊环境下的初始温度为100 ℃，特殊环境的温度为20 ℃，则经过12 min，该物质的温度最接近(参考数据：e≈2.72) A.48 ℃ B.50 ℃ C.52 ℃ D.54 ℃ √ 1 2 3 4 由该物质在特殊环境下的初始温度为100 ℃，特殊环境温度为20 ℃，经过的时间为12 min得12=-12ln，解得w≈49.4 ℃，故B项正确. 解析 1 2 3 4 2.有一组实验数据如表所示： t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数是 A.V=log2t B.V=lot C.V= D.V=2t-2 √ 1 2 3 4 根据表中数据，描出各点，如图所示， 结合选项，函数V=log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意； 函数V=lot随着t的增大，V不断减小，不符合题意； 函数V=的增长速度越来越快，符合题意； 函数V=2t-2的增长速度不变，不符合题意， 所以最接近的一个函数是V=. 解析 1 2 3 4 3.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为 A.125 B.100 C.75 D.50 √ 1 2 3 4 由已知，得a=a·，∴e-k=. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a， 则a=a·， ∴= =，∴=，即t1=75. 解析 1 2 3 4 4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是　　　　.  -1 设每月的产量增长率为x，1月份产量为a， 则a(1+x)11=ma， 所以1+x=，即x=-1. 解析 课时对点练 五 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C B B D BC ② 题号 8 11 12 13 14 答案 t=-ln D D AD 7 对一对 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为 1 000+1 000×8%=1 080(只)， 两年后这种鸟类的个数为1 080+1 080×8%≈1 166(只). (2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加， 则所求的函数关系式为y=1 000×1.08x，x∈N. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3， 因为lg 1.08>0，所以x≥， 所以x≥=， 因为lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以x≥ ≈≈14.3， 故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c， 可得 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得a=，b=-，c=. 所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由(1)可得，函数Q为图象开口向上，对称轴为 t=-=150的抛物线， 所以当t=150天时，芦荟种植成本最低为 Q=×1502-×150+=100(元/10 kg). 基础巩固 1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足 A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 今年产量为a，经过1年后产量为y=a(1+5%)，经过2年后产量为y= a(1+5%)2，依此类推，经过x年后产量为y=a(1+5%)x. 解析 √ 2.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律 A.y=mx2+n(m>0) B.y=mx+n(m>0) C.y=max+n(m>0，a>0，a≠1) D.y=mlogax+n(m>0，a>0，a≠1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 3.近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一，现有一台计算机平均每秒可进行1017次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要260次运算，则生成这个文案需要的时间约为(参考数据：lg 2≈0.3) A.1秒 B.10秒 C.20秒 D.50秒 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设生成这个文案需要的时间约为t秒， 则1017t=260，两边取对数得lg 1017+lg t=lg 260， 所以lg t=60lg 2-17≈1，解得t≈10. 解析 √ 4.生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位：心跳次数·min-1)与体重W(单位：kg)的次方成反比.若A，B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2 kg，脉搏率为210 次·min-1.若B的脉搏率是140 次·min-1，则B的体重为 A.6 kg B. kg C.8 kg D.9 kg 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意设f=(k≠0)， 当W=2时，f=210，则k=210×， 当f=140时，则==×， 所以W=. 解析 5.国内首个百万千瓦级海上风电项目—三峡阳江沙扒海上风电场实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F(x)=1-，其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1 m/s时，F≈0.221，则当风速为4 m/s时，F约为(参考数据：ln 0.779≈-0.25，e-4≈0.018) A.0.920 B.0.964 C.0.975 D.0.982 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为F(1)≈0.221， 所以≈0.779，≈-ln 0.779，2k≈4，得k≈2， 所以F(4)=1-≈1-e-4≈0.982. 解析 6.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A.6 B.9 C.8 D.7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则 ×≤，即≤，由nlg ≤-lg 20， 即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2)， 得n≥≈7.4. 解析 7.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 10 15 20 25 30 Q(x) 50 55 60 55 50 给出以下四个函数模型： ①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x-m|+b；③Q(x)=a·bx；④Q(x)=alogbx. 根据表中的数据，最适合用来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系的函数模型是　　　　.  ② 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由表格中的数据知，当时间x变化时， Q(x)先增后减， 函数模型①Q(x)=ax+b；③Q(x)=a·bx； ④Q(x)=alogbx都是单调函数， 所以选择模型②Q(x)=a|x-m|+b. 解析 8.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表 示时间t为　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t=-ln 因为N=N0e-λt，所以=e-λt，两边取以e为底的对数，所以t=-ln . 解析 9.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加. (1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意，得一年后这种鸟类的个数为 1 000+1 000×8%=1 080(只)， 两年后这种鸟类的个数为1 080+1 080×8%≈1 166(只). 解 (2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加， 则所求的函数关系式为y=1 000×1.08x，x∈N. 解 (3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥ lg 3，即xlg 1.08≥lg 3， 因为lg 1.08>0，所以x≥， 所以x≥=， 因为lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2， 所以x≥≈≈14.3， 故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上. 解 10.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a·bt，Q=alogbt； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t 50 110 250 Q 150 108 150 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c， 可得 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得a=，b=-，c=. 所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+. 解 (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(1)可得，函数Q为图象开口向上，对称轴为 t=-=150的抛物线， 所以当t=150天时，芦荟种植成本最低为 Q=×1502-×150+=100(元/10 kg). 解 11.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞计数为(4.0~10.0) ×109/L，可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位：109/L)与随用药量m(单位：mg)的变化规律，其中W0为初始白细胞计数对应值，K为参数.已知W0=20，用药量m=50时，在规定时间后测得白细胞计数W=14，要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到(参考数据：≈1.221) A.58 B.59 C.60 D.62 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 由已知W0=20，m=50，W(50)=14， 代入W(m)=-W0ln(Km)， 则14=-20ln(50K)，解得K=， 则W(m)=-20ln， 因为用药量m=50时，在规定时间后测得白细胞计数W=14，白细胞计数值偏高， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以令W(m)=-20ln≤10， 即ln≥-， 解得m≥50≈50×1.221=61.05. 所以要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到62. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)=p0e-kt(e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量).过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了，要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤　　　　　小时(参考数据：lg 2≈0.301 0)  A.40 B.38 C.44 D.42 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题设，得p0=p0e-k， ∴e-k=，所以p(t)=p0； 由p(t)=p0≤p0，得≤10-4，两边分别取以10为底的对数，并整理得t(1-3lg 2)≥4，∴t≥≈41.2， 因此，至少还需过滤42小时. 解析 13.(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t=且该食品在储藏温度为4 ℃时的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.该食品在储藏温度为6 ℃时的保鲜时间是8小时 B.当x∈[-6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增 大而逐渐减少 C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D.到了此日14时，甲所购买的食品已过保鲜时间 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题设，可得24k+6=16，解得k=-， ∴t= 令x=6，则t=23=8，故A正确； 当x∈[-6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，保鲜时间t随x的增大而减少，故B错误； 此日11时，室外温度为11 ℃，t==<2，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误； 由上分析知，这天的14时，甲所购买的食品已过保鲜时间，故D正确. 解析 14.光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为　　.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设至少需要x块玻璃板， 由题意知<，即<， 两边取对数lg<lg ， 即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2， 即x·(1-2lg 3)>lg 2，x>≈6.57， ∴x=7. 解析 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 <<< $