4.2.3 第1课时 对数函数的性质与图象-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图象 1 第1课时 对数函数的性质与图象 2 探究点一 对数函数的概念及其应用 探究点二 对数函数的图象 探究点三 对数函数的性质 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解对数函数的概念、图象及性质； 2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数； 3.初步掌握对数函数的图象和性质,会解与对数函数相关的定义 域、值域问题. 4 知识点一 对数函数的定义 一般地，函数___________称为对数函数，其中 是常数，_________ _____. 且 课 前 预 习 5 知识点二 对数函数且 的图象与性质 解析式 且 底数 图象 ___________________________________________ ___________________________________________ 课 前 预 习 6 性 质 定义域 值域 ___ 单调性 增函数 减函数 过定点 图象过定点______，即 ___ 函数值 特征 时， ______；时， ________ 时， _______； 时， ________ 对称性 与 的图象关于___轴对称 0 续表 课 前 预 习 7 【诊断分析】 （1）对数函数的图象一定在 轴的右侧吗？ 解:因为对数函数的自变量要大于0， 所以对数函数的图象一定在 轴右侧. 课 前 预 习 8 （2）函数且 的底数变化对图象位置有何影响？ 解:观察图象，总结变化规律： ①上下比较：在直线的右侧， 当时， 越大，图象越靠近轴， 当时， 越小，图象越靠近 轴. ②左右比较（比较图象与直线 的交点）： 交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 课 前 预 习 9 探究点一 对数函数的概念及其应用 例1 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由． ； 且 ； . 解:中对数式后减1， 不是对数函数. 且中底数是自变量，而非常数， 不是对数函数． ③为对数函数． 课 中 探 究 10 变式 已知f(x)=则f=(　 ) A.- B. C. D. √ [解析] 因为f==,所以f=f=log2=-.故选A. 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 判断一个函数是对数函数的方法： 课 中 探 究 12 探究点二 对数函数的图象 例2（1）函数，且 的图象恒过点 ________． [解析] 令，得，此时 ， 所以函数，且的图象恒过点 ． 课 中 探 究 13 （2）已知，，， 均是不为1的正数， 如图所示的曲线分别是对数函数 ，， ， 的图象，则，，， 与1的 大小关系为__________________． [解析] 过点作平行于 轴的直线， 则直线与四条曲线的交点的横坐标从左向右依次为，，，， 所以 . 课 中 探 究 14 变式（1）（多选题）已知函数，， 且 ，则下列式子可能成立的是( ) A.， B. C. D.， √ √ √ 课 中 探 究 15 [解析] 在同一平面直角坐标系内画出函数， 的图象，如图. 画与轴平行的直线，由①可得 ， ，故A中式子可能成立； 由②可得，故B中式子可能成立； 由③可得， ，故D中式子可能成立； 对于C，若， 则 , ， 即，故C中式子不可能成立.故选 . 课 中 探 究 16 （2）[2026·河南三门峡高一期末] 已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=设a,b,c是三个互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c), 则abc的取值范围为　　　　.  (81,144) 课 中 探 究 17 [解析] 作出f(x)的图象,如图. 不妨设a<b<c,因为f(x)在(0,3]上单调递减,在(3,9)上单调递增, 在[9,+∞)上单调递减,f(1)=1,f(3)=0,f(9)=1,f(16)=0,所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1), 所以a∈(1,3),b∈(3,9),c∈(9,16). 由f(a)=f(b),得1-log3a=log3b-1,则log3a+log3b=2,所以ab=9, 所以abc=9c∈(81,144),故abc的取值范围为(81,144). 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 在同一直角坐标系中作出不同对数函数的图象，则在第一象限按逆 时针方向，图象对应的函数的底数从大到小排列. 课 中 探 究 19 探究点三 对数函数的性质 角度一 与对数函数相关的定义域 例3（1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得解得且 .故选C. √ 课 中 探 究 20 （2）［2026·四川南充高一期末］函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题得解得且 .故选A. √ 课 中 探 究 21 变式 求下列函数的定义域： （1） ； 解:由题意得即解得 ， 故函数的定义域为 . （2） ； 解:由题意得解得且 ， 故函数的定义域为 . 课 中 探 究 22 变式 求下列函数的定义域： （3） . 解:由题意得即 故函数的定义域为 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 求与对数函数有关的定义域时应注意的两点： （1）要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式的分母不为零， 偶次根式被开方数（或式）大于或等于零等. （2）遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零 且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 注意：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示. 课 中 探 究 24 角度二 对数函数的值域与最值 例4（1）函数, 的值域是 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数， 单调递增, 所以，即, 所以函数 的值域为 ,故选B. √ 课 中 探 究 25 （2）若函数在区间 上的最大值与最 小值之和为1，则 __. [解析] 因为，所以在 上为减函数， 所以在上的最大值为 ， 最小值为. 由题意得，解得 . 课 中 探 究 26 变式（1）已知函数的值域是，则 的 定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 因为的值域是，所以，解得 ．故选A. √ 课 中 探 究 27 (2)[2025·黑龙江齐齐哈尔高一月考]若函数 的值域为，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 函数的值域为 ， 则函数的值域应包含 ， 则有，解得或， 所以 的取值范围是 .故选D. √ 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 对数函数的值域和最值主要是根据对数函数的单调性来求解的，必 要时注意对对数的底数进行分类讨论. 课 中 探 究 29 角度三 对数函数单调性的应用 例5 比较下列各组数的大小: （1）与 ; 解:方法一：因为对数函数在上是增函数， 而 ，所以 . 方法二：因为，，所以 . 课 中 探 究 30 例5 比较下列各组数的大小: （2）与 ; 解:， ， 因为对数函数在上是增函数，且 ， 所以，所以 ， 所以 （3）与 . 解:因为，所以 . 课 中 探 究 31 变式（1）［2026·湖北咸宁高一期中］设函数 ， 若，，，则，， 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 又在上单调递增，所以 .故选D. √ 课 中 探 究 32 （2）若,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以. 当 时，对数函数是增函数，可得，舍去; 当 时，对数函数是减函数，所以 .故选C. √ 课 中 探 究 33 ［素养小结］ 利用函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法如下： （1）同底数的两个对数值的大小比较，根据对数函数的单调性比较. （2）底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合 思想来解决，也可用换底公式化为同底，再进行比较. （3）底数不同且真数也不同的两个对数值的大小比较，常引入中间 量进行比较，通常取中间量<m></m>，0，1等. 课 中 探 究 34 拓展 已知，，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由已知可得，， ， 所以. 因为 ，，所以， 又， ，所以，即， 同理可得，即 .综上， ，故选C. √ 课 中 探 究 35 1.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，则解得且 ， 所以函数的定义域为 .故选C. √ 课 堂 评 价 36 2.已知函数且的图象经过点 ，则函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数的图象经过点，所以 ， 所以，所以所求函数为，显然 为奇函数，排除A，C； 又因为 为增函数，所以排除D.故选B. √ 课 堂 评 价 37 3.已知函数且 ，则该函数的图象恒过定点 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数的图象经过定点 , 所以函数且的图象经过定点 .故选C. √ 课 堂 评 价 38 4.已知函数（且, 为实数）， 则下列说法正确的是( ) A.函数的单调性只与有关，与 无关 B.函数的单调性只与有关，与 无关 C.函数的单调性与， 都有关 D.函数的单调性与， 都无关 √ 课 堂 评 价 39 [解析] 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递增. 所以当且时， 都单调递增， 所以函数的单调性与， 都无关.故选D. 课 堂 评 价 40 5. [2026·山西大同高一期末] 已知函数y=logax+a2-3a+2为对数函数, 则a=　　　　.  2 [解析] 因为函数y=logax+a2-3a+2为对数函数, 所以所以a=2. 课 堂 评 价 41 课后习题 42 1.下列函数是对数函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 根据对数函数的定义知，D中函数是对数函数.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 2.［2026·浙江绍兴高一期末］函数 的定义 域为( ) A. B. C. D. [解析] 由得 所以函数 的定义域为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 3.已知为上的增函数,且,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. [解析] 依题意有所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 4.“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 在上单调递增，由，得 ， 此时，充分性成立； 若，则 ，当时，无意义，必要性不成立. 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 5.［2026·广东深圳高一期末］已知函数, ，若 ，则下列结论不可能成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 在同一直角坐标系中画出与 的图象 如图所示. 当时， , 故 ，故A中结论可能成立； 当时，若 ， 则，故B中结论可能成立； 当时，若 ，则 ， 故D中结论可能成立.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 6.已知,，则 的值域是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 由解得， 所以 的定义域为. 令, ，则 ， 所以 ， 令，, 易知在 上单调递增，则当时，， 当时， ，所以的值域是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）下列四个函数的图象中过相同定点的函数有( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 对于函数， 令 ，可得，此时，故该函数的图象经过定点 ； 对于函数， 令，可得 ，故该函数的图象经过定点； 对于函数 ，令，可得， 此时，故该函数的图象经过定点 ； 对于函数，令 ，可得， 此时，故该函数的图象经过定点.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 8. 已知函数f(x)=loga(2x+1)(a>0且a≠1),若f(7)-f(2)=2,则a=　　　　.  [解析] 由f(7)-f(2)=2,可得loga15-loga5=loga3=2, 则a2=3,又a>0且a≠1,所以a=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 9.已知函数且在区间 上的最大值与最 小值的差为2，则 的值是_ _______. 或 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 当时，在 上单调递减， 故函数在上的最大值为，最小值为 ， 则，解得； 当 时，在上单调递增， 故函数在 上的最大值为，最小值为 ， 则，解得. 故 的值是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.（13分）已知函数 的图象无限接近直线 但又不与该直线相交. （1）求函数 的解析式，并画出图象； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：由题得 ，所以 ， 其图象如图所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 10.（13分）已知函数的图象无限接近直线 但又 不与该直线相交. （2）若且，求实数 的取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 解：由图知函数 为偶函数且在 上单调递减. 因为且 ， 所以，即 . 当时，，即 ； 当时，，即 . 综上所述，实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 11.已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为 , , ，且 ， 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 12.（多选题）已知函数 的图象经过点 ，则下列说法中正确的有( ) A.函数 为增函数 B.函数 为偶函数 C.若，则 D.若,则 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 由题知,得,故. 对于A,函数 为增函数，故A正确; 对于B, 不为偶函数，故B错误； 对于C,当时, 成立，故C正确； 对于D,的图象往上凸, 若，则 成立，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 13.已知函数f(x)=ln(tx2+4x+2),若对任意实数m,总存在实数x0, 使得f(x0)=m,则实数t的取值范围为　　　　.  [解析] 因为对任意实数m,总存在实数x0,使得f(x0)=m, 所以函数f(x)=ln (tx2+4x+2)的值域为R. 设g(x)=tx2+4x+2,则(0,+∞)是函数g(x)的值域的子集. 当t=0时,g(x)=4x+2,此时g(x)的值域为R,符合题意; 当t≠0时,解得0<t≤2. 综上,实数t的取值范围是[0,2]. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 14.（15分）已知函数，其中 且 . （1）若，求 的值； 解：， ，且 且,即 且， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 14.（15分）已知函数，其中 且 . （2）若，求不等式 的解集. 解：若， 则 的定义域为 . 由 ，得 解得 ，故所求不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 15. 已知log3a==3c,则a,b,c的大小关系不可能为 (　 ) A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 设log3a==3c=m,m>0,则a,b,c分别为y=log3x,y=,y=3x的图象 与y=m的图象的交点的横坐标.当m>1时,如图①所示,此时b<c<a; 当0<m<1,且直线y=m位于y=log3x和y=的图象的交点的上方时, 如图②所示,此时c<b<a; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 当0<m<1,且直线y=m位于y=log3x和y=的图象的交点的下方时, 如图③所示,此时c<a<b. 所以a,b,c的大小关系不可能为b<a<c.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 16.（15分）［2026·河北石家庄二中高一月考］ 已知函数 ，且 . （1）若点在函数的图象上，求实数 的值； 解：依题意得，即，则， 又 ，且，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 16.（15分）［2026·河北石家庄二中高一月考］ 已知函数 ，且 . （2）已知，函数，，若 的最大 值为8，求实数 的值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 解：， ，令，则 . 函数 的图象开口向上， 对称轴为直线 ， 因为 ，且 ， 所以函数在 上的最大值为， 由题知，可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 $