4.4 幂函数（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数 4.4幂函数 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 通过实例了解幂函数的概念，识别幂函数的解析式形式；掌握 5 个常见幂函数 y=x,y=,y=, 的图像与基本性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）；能利用幂函数单调性比较幂值大小。 重点：幂函数的概念；五个常见幂函数的图像与性质。 难点：幂函数与指数函数辨析；根据指数 判断幂函数在第一象限的增减规律。 我们已经知道，在关系式 N= 中，当底数 a 为大于0且不等于1的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 ）。那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？ 温故 在关系式 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造的函数为 y=，其中的 N 即为因变量 y，a 即为自变量 x。 请看下面几个问题，写出函数解析式： 正方形边长为 x，面积 y=________； 正方体棱长为 x，体积 y=________； 正方形面积为 x，边长 y=________； 匀速运动，路程为 1，速度 y 与时间 x 的关系 y=________； y=x。 知新 提问：观察这几个解析式，它们有什么共同结构？自变量的位置在哪里？和指数函数 y=（底数常数，指数自变量）有什么不一样？ 这类底数是自变量 x，指数是常数的函数，叫做幂函数。今天我们学习《幂函数》。 目标一：幂函数的概念 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，函数 y= 称为幂函数，其中 α 为常数。 注意 (1)幂函数的定义域是使幂函数有意义的 x 的集合； (2)确定一个幂函数，只需求出 α 即可。 幂函数的特征 的系数为1； (2) 的底数是自变量 x，指数 α 为常数； (3)项数只有一项。符合以上三个特征的函数才是幂函数，如 ，y=，y= 等都不是幂函数。 6 辨析比较 幂函数与指数函数的区别 知识讲解 互动探究 新课引入 式子 名称       常数 指数函数 为底数， 且 指数 幂值 幂函数 为指数， 底数 幂值 特别提醒 ①不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数且可正可负，而指数函数恰好相反，底数为常数且是不为1的正数，指数为自变量。 ②幂函数的定义域就是使幂函数有意义的 x 的取值范围。 ③0的0次幂没有意义。 7 下列函数，是幂函数的为_______。 ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ 。 对点体验 解 由幂函数的定义及三个限制条件可知，函数 中 的系数为3，不是幂函数；函数 不是幂函数形式；函数 中 的系数是-1，不是幂函数；函数 是幂函数；函数 是幂函数；函数 是指数函数，不是幂函数。因此是幂函数的为④⑤。 幂函数 过点 ，则 。 A. B. 3 C. D. 2 对点体验 解 因为 是幂函数，所以 。 因为函数图像过点 ，所以 ，解得 。所以 。 答 A 点评 根据幂函数解析式的结构特征得到 𝑘 的值，将点的坐标代入，求出 𝛼 的解。 目标二：幂函数的图象 知识讲解 互动探究 新课引入 判断 -4,-3,-2,-1,-,0,,1,2,3,4 这些数中，哪些在函数 的定义域内，求出对应的函数值，并填写下表（只需要填在定义域内的数及对应的函数值），由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试并说明理由。 0 1 4 9 16 0 1 2 由于 ，由此不难知道，函数 的性质有： (1) 定义域是 ； (2) 值域是 ； (3) 奇偶性是 ； (4) 单调性是 。 11 知识讲解 互动探究 新课引入 根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示。 [此处包含两个坐标系图象，左图为离散点，右图为连续曲线] 由于 ，由此不难知道，函数 的性质有： (1) 定义域是 ； (2) 值域是 ； (3) 奇偶性是 ； (4) 单调性是 。 12 知识讲解 互动探究 新课引入 分别求出幂函数 在自变量取 -4,-2,-1,0,1,2,4 时所对应的函数值（填写下表），并由此猜测幂函数 y=x^3 的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由。 由此得到函数 的性质： (1) 定义域是 ； (2) 值域是 ； (3) 奇偶性是 ； (4) 单调性是 ； -4 -2 -1 0 1 2 4 -64 -8 -1 0 1 8 64 13 知识讲解 互动探究 新课引入 如图所示中已经作出了函数 y=x, 的图象，在其中作出函数 y= 图象。 14 知识讲解 互动探究 新课引入 对于幂函数，只讨论 α=1,2,3,,-1 时的情形。 当 α=1,2,3,,-1 时，我们得到五个幂函数： y=x,y=,,。 在同一平面直角坐标系内作出上述五个幂函数的图像，如图 幂函数的图象 15 特征 所有的幂函数在区间 上都有定义。 幂函数的图像必过点 ，且一定会出现在第一象限内，不会出现在第四象限内。 当 时，幂函数的图像同时又过点 ，且幂函数在 上为增函数；当 时，幂函数在 上为减函数。 在第一象限内，直线 右侧部分的图像，由下向上幂函数的幂指数越来越大。 当 时， 的图像以 轴为渐近线，在第一象限内，当 从 趋向 时，图像在 轴右方无限地逼近 轴正半轴；当 从 趋于 时，图像在 轴上方无限地逼近 轴正半轴。 在第一象限内，幂函数 的特征 已知幂函数 的图像与 轴、 轴都无公共点，且关于 轴对称，求 的值，并画出它的图像。 对点体验 解 由已知，得 ，。 又 ，。 当 或 时， 为奇函数，其图像不关于 轴对称，不符合题意。 当 或 时，有 ，符合题意，其图像如图 ①所示。 当 时，，符合题意，其图像如图② 已知函数 ，， 的图像如图 所示，则 的大小关系为( )。 B. C. D. 对点体验 解 由幂函数的图像特征知，，，。由幂函数的性质知，当 时，幂指数越大的幂函数的函数值就越大，则 。综上可知 。 目标三：幂函数的性质 性质 知识讲解 互动探究 新课引入 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 常数1 偶 增 奇 增，减 偶 增 奇 减，减 奇 增，减 偶 增 非奇非偶 减 非奇非偶 增 奇 减，增 偶 20 (1) 函数 的定义域是_______，值域是_______； (2) 函数 的定义域是_______，值域是_______； (3) 函数 的定义域是_______，值域是_______； (4) 函数 的定义域是_______，值域是_______。 对点体验 解 (1) 函数 的定义域是 ，值域是 。 (2) 函数 的定义域是 ，值域是 。 (3) 函数 的定义域是 ，值域是 。 (4) 函数 的定义域是 ，值域是 。 求幂函数 的定义域，并讨论其奇偶性。 对点体验 答 与 中必定有一个为偶数， 是正偶数， 幂函数 的定义域为 。由于定义域不关于原点对称，因此 既不是奇函数也不是偶函数。 比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) ； (4) 。 对点体验 答 (1) 因为幂函数 在 上为增函数，且 ，所以 。 (2) 因为幂函数 在 上为增函数，指数函数 在 上为减函数，所以 ，即 。 (3) 因为幂函数 在 上为增函数，指数函数 在 上为增函数，所以 。 (4) 中间值法：因为 ，所以 。 若 ，则实数 的取值范围是( )。 A. B. C. D. 对点体验 解 因为函数 的定义域为 ，且在定义域内为增函数。所以不等式等价于 解得 即 。故选D。 答 D 目标四：幂函数的性质与图象应用 综合考查图象与性质 例1 讨论函数 的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性。 典例分析 牛刀小试 解： 因为 ，所以不难看出函数的定义域是实数集 。 记 ，则 ， 所以函数 是偶函数。因此，函数的图象关于 轴对称。 通过列表描点，可以先作出 在 时的函数图象，再根据对称性，可作出它在 时的图象，如图所示。 由图象可以看出，函数 在区间 (-∞,0] 上单调递减，在区间 [0,+∞) 上单调递增。 综合考查图象与性质 例2 已知幂函数 的图像如图 4-4-6 所示，则( )。 A. 均为奇数，且 B. 为偶数， 为奇数，且 C. 为奇数， 为偶数，且 D. 为奇数， 为偶数，且 典例分析 牛刀小试 解 因为幂函数 为偶函数，所以 为偶数，且由图像可知 。 又因为 互质，所以 为奇数。故选D。 图象和性质综合应用 例3 已知点 在幂函数 的图像上。 (1)求 的解析式； (2)若函数 ，是否存在实数 ，使得 的最小值为5？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 典例分析 牛刀小试 答 (1)设幂函数 。因为点 在幂函数 的图像上，所以 ，解得 ，所以 。 (2)函数 ，，可知二次函数 的图像开口向上，对称轴是直线 。 当 ，即 时， 在 上单调递增，最小值为 ， 图象和性质综合应用 例3 已知点 在幂函数 的图像上。 (1)求 的解析式； (2)若函数 ，是否存在实数 ，使得 的最小值为5？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 典例分析 牛刀小试 解得 ，满足题意； 当 ，即 时， 在 上单调递减，最小值为 ，解得 ，不满足题意； 当 ，即 时， 在 上先减后增，最小值为 ，化简得 ，方程无解，不满足题意。 综上，存在实数 ，使得 的最小值为5。 图象和性质综合应用 例4 已知幂函数 的图像关于 轴对称，且在 上是减函数，则满足不等式 的实数 的取值范围为_______。 典例分析 牛刀小试 错解 函数在 上单调递减，，解得 。。又函数图像关于 轴对称， 是偶数。 又 为奇数， 为偶数，。 又 在 上均为减函数，，即 。故实数 的取值范围为 。 图象和性质综合应用 例4 已知幂函数 的图像关于 轴对称，且在 上是减函数，则满足不等式 的实数 的取值范围为_______。 典例分析 牛刀小试 解析 函数在 上单调递减，，解得 。。又函数图像关于 轴对称， 是偶数。 又 为奇数， 为偶数，。 又 在 上均为减函数，由 ，得 或 或 ， 解得 或 。 满分策略 由 与 的大小关系时，如果 f(x) 的单调区间不止一个，那么需要对 的范围进行讨论，这时可借助函数 y=f(x) 的图像，直观地进行分析， 目标五：针对训练 举一反三 1.下列函数中，不是幂函数的是() A. B. C. D. 解析： 幂函数的通式为 （ 为常数），则 ，， 均符合幂函数的定义，而 不符合幂函数的定义。故选 A。 举一反三 2.下列比较大小正确的是() B. C. D. 解析： 因为 ，。 又 在 上单调递减，，所以 ， 所以 。故选 C。 举一反三 3.（多选）下列说法正确的是( ) A.所有幂函数的图象均过点 B.若幂函数的图象经过点 ，则解析式为 C.幂函数一定具有奇偶性 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 解析： 对于A项：比如 ，图象不过点 ，故A错误； 对于B项：设幂函数为 ，幂函数的图象经过点 ，则 ，解得 ，所以 ，故B正确； 对于C项：比如 ，其定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故C错误； 对于D项：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确。 故选BD。 举一反三 4.幂函数 ，，， 在第一象限的图象如图所示，则下列不等式关系成立的是() A. B. C. D. 解析： 由图可知 ，，， 所以 ，所以 ， 又 ，，所以 。 故选C 举一反三 5.已知幂函数 在 上单调递减，若 ，则 的取值范围为 解析： 幂函数 在 上单调递减，则 解得 。不等式 化为 ，显然函数 在 上单调递增， 因此 ，解得 ，所以 的取值范围为 。 目标六：小结 学海拾贝 定义：形如 y=（α 为常数）的函数叫作幂函数，x 是自变量，α 是常数；注意区分幂函数和指数函数。 五个核心幂函数：y=x,y=,y=,，熟记定义域、奇偶性、图像、单调区间。 第一象限通用规律： 所有幂函数在 都有定义，图像都过定点 ； ：在 单调递增，过 、； ：在 单调递减，只过 ，不过原点。 学海拾贝 思想方法：研究函数的通用路径——定义 → 画图 → 观察图像 → 归纳性质 → 性质应用；数形结合、特殊到一般。 用途：利用幂函数单调性，直接比较同指数幂的大小。 易错提醒：幂函数系数必须为 1，形如 y= 不是幂函数！ 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $