4.2.3 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图象 1 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用 2 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性 探究点二 与对数函数有关的复合函数的值域或最值 探究点三 解与对数函数有关的不等式 探究点四 对数函数的综合应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.会进行函数性质与图象的结合； 2.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性的求解方法； 3.会解决对数函数的综合性问题. 4 知识点 型函数性质的研究 1.定义域:由解得的取值范围,即为函数 的定义域. 2.值域:在函数的定义域中确定 的值域,再由 的单调性确定函数的值域. 3.单调性:在定义域内考虑与 的单调性,根据_______ _____法则判定,或运用单调性定义判定. 同增 异减 4.奇偶性:根据奇函数、偶函数的定义判定. 5.最值:在的条件下,确定的值域,再根据 确定函数 的单调性,最后确定最值. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.函数 的定义域是___________________,值域是___, 是____（填“奇”或“偶”）函数,单调递增区间是________. 偶 2.与同为 上的增函数，且图象都过点 ，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？ 解:可以通过描点定位，也可令，对应 的值即为底数.一般地， 对于底数的对数函数，在区间 内， 底数越大图象越靠近轴；对于底数的对数函数， 在区间 内，底数越小图象越靠近 轴. 课 前 预 习 6 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性 例1 (1)(多选题)已知函数f(x)=ln(x2-4x+5),则　　 (　 ) A.f(x)在(-∞,2)上单调递增 B.f(x)在(2,+∞)上单调递减 C.f(x)的最小值为0 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 √ √ 课 中 探 究 7 [解析] 令u=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1.因为u=x2-4x+5在(-∞,2)上单调递减, 在(2,+∞)上单调递增,且y=ln u在定义域上单调递增, 所以f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 则f(x)的最小值为f(2)=ln 1=0. 又u=x2-4x+5的图象关于直线x=2对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称. 故选CD. 课 中 探 究 (2)[2025·天津南开中学高一月考]已知函数 在上单调递增，则实数 的取值范围为_________. [解析] 因为在定义域 上单调递增， 所以在上单调递增， 且当 时，，所以解得， 所以实数 的取值范围为 . 课 中 探 究 9 变式 [2026·安徽蚌埠高一期末] 已知函数f(x)=log2(3+mx)+lo(5-mx) 在区间[1,3]上单调递减,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.(-1,0) C.(-∞,0) D. [解析] f(x)=log2(3+mx)+lo(5-mx)=log2(3+mx)-log2(5-mx)=log2. 设t==-1-.因为y=log2x在定义域上单调递增, 所以t=-1-在区间[1,3]上单调递减且恒为正数,则 解得-1<m<0,故实数m的取值范围为(-1,0).故选B. √ 课 中 探 究 10 ［素养小结］ （1）求形如<m></m>的函数的单调区间，一定要树立定义域优 先的意识，即由<m></m>先求定义域. （2）与形如<m></m>的函数的单调性有关的两种问题及思路： ①证明单调性，利用函数单调性的定义求证；②求单调区间，借助 函数的性质研究函数<m></m>和<m></m>在定义域上的单调性，从 而求出<m></m>的单调区间. 课 中 探 究 11 探究点二 与对数函数有关的复合函数的值域或最值 例2（1）函数 的最大值为___. 0 [解析] 令. 当 时，,当时，, 函数的最大值为 . 课 中 探 究 12 （2）已知函数 . ①若的定义域为，求实数 的取值范围； 解:若的定义域为， 则关于的不等式 的解集为 . 当时，，这与矛盾，所以 . 当时，由题意得解得 ， 即实数的取值范围为 . 课 中 探 究 13 （2）已知函数 . ②若的值域为，求实数 的取值范围. 解:若的值域为，则 能取遍一切正数， 所以或所以 ， 即实数的取值范围为 . 课 中 探 究 14 变式 已知函数，若函数在区间 上有最小值，则实数 的值可能为 ( ) A. B. C.0 D.1 √ 课 中 探 究 15 作出 的大致图象如图所示. 因为在区间上有最小值， 所以 或解得或 .故选C. 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 求与对数函数有关的函数的值域或最值时要注意:①利用对数函数的 单调性;②若是与二次函数复合的函数,要考虑二次函数的最值情况. 课 中 探 究 17 探究点三 解与对数函数有关的不等式 例3 已知函数 . （1）求 的定义域； 解:由解得 ， 所以的定义域为 . 课 中 探 究 18 例3 已知函数 . （2）求关于的不等式 的解集. 解:, ， 不等式可化为 ， 因为是增函数，所以 解得 . 故不等式的解集为 . 课 中 探 究 19 变式 已知函数且 . （1）讨论函数 的定义域； 解:由,得 . 当时，;当时， . 故当时，的定义域是 ; 当时，的定义域是 . 课 中 探 究 20 变式 已知函数且 . （2）当时，解关于的不等式 ； 解:当时，任取，,且 , 则, . ,，即 ， 故当时，在 上是增函数. ，,, . 又,，故不等式的解集为 . 课 中 探 究 21 变式 已知函数且 . （3）当时，不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围. 解:当时， 在上是增函数， , 对恒成立, . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 解与对数函数有关的不等式的一般思路： （1）把不等式两边均化为<m></m>的形式； （2）利用单调性把不等式转化为真数的大小关系，得到新的不等式， 要注意底数<m></m>和1的关系； （3）在真数大于零的前提下解这个新的不等式； （4）得出不等式的解集. 课 中 探 究 23 探究点四 对数函数的综合应用 例4 ［2025·江苏南通启东中学高一期中］已知函数 ，函数 . （1）试判断函数 的单调性，并证明你的结论； 课 中 探 究 24 解: ， 在其定义域 上单调递增. 证明如下：任取，则 ， ，，， ， ，， 在 上单调递增，， 即, 函数 在 上单调递增. 课 中 探 究 25 例4 ［2025·江苏南通启东中学高一期中］已知函数 ，函数 . （2）若不等式对恒成立，求实数 的取值范围． 课 中 探 究 26 解:由（1）知,当时，的最小值为 ， 不等式对 恒成立， ， ， ， 解得 ， 实数的取值范围为 . 课 中 探 究 27 变式 已知函数， . （1）求 的值. 解: ， . 课 中 探 究 28 变式 已知函数， . （2）从下列问题中选一个作答. ①,，定义,求, 的 解析式及 的最小值； ②,，定义,求, 的 解析式及 的最大值. 课 中 探 究 29 解:函数在定义域 上单调递增， 在上单调递减，且 ， 所以当时，，当时， . 选择①. , 函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 所以函数的最小值为 . 课 中 探 究 30 选择②. , 函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减， 所以函数的最大值为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”的原则，同时注 意数形结合思想和分类讨论思想在解决此类问题中的应用. 课 中 探 究 32 1.已知，，则函数 的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 因为，所以 的图象经过第一、四象限，经过点， 且是增函数. 的图象可以看成是把的图象向左平移 个单位得到的， 故函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 故选D. √ 课 堂 评 价 33 2.已知，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知，则解得 ， 则不等式的解集为 .故选D. √ 课 堂 评 价 34 3.［2025·福建厦门双十中学高一期中］函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得， 解得 或. 易知在上单调递减，在 上单调递增， 因为 在定义域上单调递增， 所以的单调递减区间为 .故选B. √ 课 堂 评 价 35 4. [2026·四川宜宾高一期末] 若函数f(x)=ln(x2-1)在(a,+∞)上单调递增, 则a的取值范围为　　　　　　.  [1,+∞) [解析] ∵x2-1>0,∴x<-1或x>1,则函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 令u=x2-1,∵y=ln u在(0,+∞)上单调递增, 当x∈(-∞,-1)时,函数u=x2-1单调递减, 当x∈(1,+∞)时,函数u=x2-1单调递增, ∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴函数f(x)=ln(x2-1)的单调递增区间为(1,+∞),∴(a,+∞)⊆(1,+∞), ∴a≥1,故a的取值范围为[1,+∞). 课 堂 评 价 36 5.若函数有最小值，则 的取值范围是______. [解析] 令且. ①当 时，在上单调递增， 要使 有最小值，必须满足， ，解得 ，； ②当时， 没有最大值， 从而不能使得函数 有最小值，不符合题意. 综上所述，的取值范围是 . 课 堂 评 价 37 课后习题 38 1.若，则函数 的图象( ) A.不经过第一象限，但过点 B.不经过第二象限，但过点 C.不经过第三象限，但过点 D.不经过第四象限，但过点 [解析] 令，可得，那么函数值 ， 即函数的图象过定点 ， 函数 是减函数， 可得其图象过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 2.已知函数的值域是，则 的定义域为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为的值域是，所以，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 3.［2026·天津红桥区高一期末］函数 的定义域 为( ) A. B. C. D. [解析] 由 得 ， 所以函数 的定义域为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 4.已知函数在上单调递增，则 的取 值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在上单调递增， 在上单调递增， 所以 在上单调递增， 且，则，即 ，且. 综上，实数的取值范围为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 5.已知函数则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 当时,不等式即为 ,可得; 当时,不等式即为,即 ,解得或(舍), 所以. 综上所述，不等式 的解集为 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 6.已知函数,若,,则 等于 ( ) A.1 B. C.0 D.2 [解析] ,且 , , , , , 即,则 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 7.（多选题）已知函数在 上是减函数，则 ( ) A.在 上单调递增且无最大值 B. 在定义域内是偶函数 C.的图象关于直线 对称 D. 的值可以为2022 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由得，故函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以B错误； 设则在 上为减函数， 在上为增函数，且的图象关于直线对称， 所以 的图象关于直线对称，所以C正确； 因为 在上是减函数，所以 ，所以D正确； 由上述分析知在 上单调递增且无最大值， 所以A正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 8.已知函数则___，函数 的单调递减区间是__________. [解析] 由题知，所以 . 当时，在上单调递增， 在 上单调递减，； 当时，在 上单调递减，且 故函数的单调递减区间是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9.已知，，若，则 ____. [解析] 因为，所以 ， 则，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 10.（13分）已知函数 . （1）若，求 的单调区间； 解:因为，所以，解得 ， 则 . 令，得，则函数的定义域为 . 令， ， 易知在上单调递增，在 上单调递减， 又在 上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 10.（13分）已知函数 . （2）若的最小值为0，求 的值. 解:若的最小值为0， 则 有最小值，且最小值为1， 所以解得 ， 故的值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 ★11.[2026·安徽六安二中高一期末]已知函数 ，若对于定义域内任意的 ，总存在，使得， 则满足条件的实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 由题知，当或时，函数无意义，所以 . 因为对于定义域内任意的，总存在，使得 ， 所以函数在定义域内无最小值. 令 ， 则函数在定义域内无最小值或， 因为 ，所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以，解得， 则实数 的取值范围是 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 ［点睛］ ①“对于定义域内任意的，总存在 ，使得” 的充要条件是“函数 在定义域内无最小值”；②若 在定义域内无最小值，则函数 在定义域内无最小值或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 12.（多选题）［2026· 重庆西南大学附中高一期末］ 已知函数 ，则下列说法正确的是( ) A.函数的图象关于点 对称 B. C.函数 在定义域上单调递增 D.若实数，满足，则 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] ， 故，即的图象关于点 对称， 故，故A，B正确； 当 时，单调递减， 而 单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于点 对称，所以在上单调递减，故C错误； 由题得 ， 又在上单调递减，所以，故 ，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 13.当时，函数的图象恒在 轴下 方，则实数 的取值范围是_ ______. [解析] 根据题意知对任意 恒成立. 当时，对任意, ，不满足题意； 当时，可得对任意 恒成立， 即,, 结合单调性可知，只需 ,可得，即的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 14.（15分） [2026·陕西安康高一期末] 已知函数f(x)=loga(16+x)+ loga(16-x)(a>0且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; 解： f(x)为偶函数.理由如下: 要使函数f(x)=loga(16+x)+loga(16-x)有意义, 则解得-16<x<16,所以函数f(x)的定义域为(-16,16), 又f(-x)=loga(16-x)+loga[16-(-x)]=loga(16+x)+loga(16-x)=f(x), 所以f(x)为偶函数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 14.（15分） [2026·陕西安康高一期末] 已知函数f(x)=loga(16+x)+ loga(16-x)(a>0且a≠1). (2)求f(x)的值域; 解： f(x)=loga(16+x)+loga(16-x)=loga(256-x2). 当a>1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上为增函数, 又0<256-x2≤256,所以f(x)=loga(256-x2)≤loga256, 所以函数f(x)的值域为(-∞,loga256]. 当0<a<1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上为减函数, 所以f(x)=loga(256-x2)≥loga256,所以函数f(x)的值域为[loga256,+∞). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 14.（15分） [2026·陕西安康高一期末] 已知函数f(x)=loga(16+x)+ loga(16-x)(a>0且a≠1). (3)当a=3时,如果f(3m)<f(m+2),求m的取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 解： 当a=3时,f(x)=log3(256-x2),x∈(-16,16),令t=256-x2,则y=log3t. 因为函数t=256-x2在(-16,0)上单调递增,在(0,16)上单调递减, 函数y=log3t在(0,256]上单调递增, 所以函数f(x)在(-16,0)上单调递增,在(0,16)上单调递减. 因为f(3m)<f(m+2),且f(x)为偶函数, 所以f(|3m|)<f(|m+2|),所以解得1<m<或-<m<-, 所以m的取值范围为∪. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15.已知函数，且.若存在 ， 使得成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 在上单调递减，,解得 . 当时，在定义域上单调递减， 在 上单调递增，, ,可得 . 综上所述，实数的取值范围是 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.（15分）设区间是函数 定义域内的一个子集，若存在 ，使得成立，则称是 的一个“不动点”，也称 在区间上存在不动点.例如： 的“不动点”满足 ，即 的“不动点”是1.设函数 ， . （1）若，求函数 的“不动点”； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 解：当时， ， 由题意，令，则 ， 则（负值舍去），所以 ， 所以函数 的“不动点”为1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 （2）若函数不存在不动点，求实数 的取值范围. 解：由题得在 上无解， 即在 上无解， 16.（15分）设区间是函数 定义域内的一个子集，若存在 ，使得成立，则称是 的一个“不动点”，也称 在区间上存在不动点.例如： 的“不动点”满足 ，即 的“不动点”是1.设函数 ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 令， ，则， 即在 上无解，即在 上无解. 设，，易知在 上单调递增， 故 ，所以或，解得或 . 又在 上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 . 综上，实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 $