4.1.1 实数指数幂及其运算-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.1 指数与指数函数 1 4.1.1 实数指数幂及其运算 2 探究点一 根式的概念与性质 探究点二 根式与分数指数幂的互化 探究点三 指数幂的运算 探究点四 条件求值 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根 式运算； 2.掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的运算性质. 4 知识点一 有理指数幂 1.根式 （1）次方根：一般地,给定大于1的正整数和实数 ,如果存在实数 ,使得________,则称为 的_________. 次方根 （2）根式：当有意义的时候,____称为根式,称为________, 称 为__________. 一般地,根式具有以下性质: 根指数 被开方数 ① ___. ②当为奇数时,___;当为偶数时, ____. 课 前 预 习 5 2.分数指数幂 正分数指数幂 ； ______ 负分数指数幂 _ ___ 3.分数指数幂（有理数指数幂）的运算法则 ______,_____,______. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.我们已经知道,若,则,那么等于什么? 呢? 呢? 解:，， . 2.我们知道,那么 成立吗? 解:成立. ， ，所以 . 课 前 预 习 7 3.任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式吗? 解:能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂 的形式,即 ，即任何有意义的根式都能化为有理数指数幂 的形式. 课 前 预 习 8 知识点二 实数指数幂 无理指数幂（， 是无理数）是一个确定的______，有理指 数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当， 为任意实 数时，实数指数幂都有意义，对任意实数和 ，类似有理指数幂 的运算法则仍然成立. 实数 课 前 预 习 9 探究点一 根式的概念与性质 例1（1）已知函数 ，则 ( ) A. B. C.3 D. [解析] ，所以 ， 所以 ，故选C. （2）计算下列各式的值： ____； ____. [解析] . √ 课 中 探 究 10 （3）若有意义，则实数 的取值范围是________. [解析] 要使有意义，则，即. 故实数 的取值范围是 . 课 中 探 究 11 变式（1）(多选题)下列结论正确的是 ( ) A.=-3 B.=x C.对于a∈R,=1恒成立 D.(a-b)2·(b-a)4=(a-b)6 √ √ 课 中 探 究 12 [解析] 对于A,=3,故A错误; 对于B,=|x|,故B错误; 对于C,因为a2+a+1=+≠0,所以对于a∈R,(a2+a+1)0=1恒成立, 故C正确; 对于D,(a-b)2·(b-a)4=(a-b)2·(a-b)4=(a-b)6,故D正确.故选CD. 课 中 探 究 13 （2）若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 所以 .故选B. √ 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 进行根式的计算时应先考虑根指数的形态，再考虑被开方数应符合 的范围，然后进行有效的变形再化简、计算. 课 中 探 究 15 探究点二 根式与分数指数幂的互化 例2（1）（多选题）下列运算中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 中 探 究 16 [解析] 对于A，因为，所以，所以 ， 故A错误； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确.故选 . 课 中 探 究 17 （2）根式 的分数指数幂的形式为_____. [解析] . 课 中 探 究 18 变式（1）（多选题）下列各式正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误.故选 . √ √ 课 中 探 究 19 （2）已知， ，若，则 ___. 2 [解析] 因为，，所以 ， 所以，，所以 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 根式与分数指数幂互化的规律及技巧： （1）规律：根指数 分数指数幂的分母. 被开方数（式）的指数 分数指数幂的分子. （2）技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形 式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简. 课 中 探 究 21 探究点三 指数幂的运算 例3 化简求值: （1） ; 解: . （2） . 解: . 课 中 探 究 22 变式(1)[2026·长沙高一期中]计算: ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 课 中 探 究 23 （2）已知，，且，则 _ ___________. [解析] 由，可得 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 实数指数幂运算的基本原则和常规方法: （1）基本原则:式子里既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一 化为分数指数幂的形式,再利用运算法则化简. （2）常规方法:①化负指数幂为正指数幂; ②化根式为分数指数幂; ③化小数为分数. 课 中 探 究 25 探究点四 条件求值 例4（1）已知，，则___， ____. 8 72 [解析] 因为，，所以 . 因为， 所以 . 课 中 探 究 26 （2）已知,,且,则 _____. [解析] , 因为, , 所以, 又 ,所以,所以 . 课 中 探 究 27 变式(1)(多选题)规定，之间的一种运算，记作 ，若， 则 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.若，，则 √ √ √ 课 中 探 究 28 [解析] 对于A，令，，则， ，所以， 即，所以，即 ，故A错误； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C，令，，， 则，， ，所以，即， 所以 ，即，故C正确； 对于D，令，则 且，所以，则 ， 所以， 当且仅当，即 时取等号，故D正确.故选 . 课 中 探 究 29 （2）[2026·河南洛阳高一月考] 已知b>0,16a=b2=64,则2a+b的值是 ( ) A.3 B.8 C.11 D.14 [解析] 由16a=64,得42a=64=43,即2a=3,因为b>0,b2=64,所以b=8, 所以2a+b=11.故选C. √ 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 解决此类问题时,先将所求的式子化简,再将已知条件代入.在化简过程 中，要注意平方差公式及完全平方公式的灵活应用. 课 中 探 究 31 拓展 已知,,则 ____. [解析] 由,得,由,得 , 所以,所以 . 课 中 探 究 32 1.［2025·江苏宿迁文昌高级中学高一月考］化简 的结果是 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得 .故选C. √ 课 堂 评 价 33 2.下列各式正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误.故选C. √ 课 堂 评 价 34 3.已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为， ， 所以 .故选D. √ 课 堂 评 价 35 4. (多选题)下列说法正确的是 ( ) A.的运算结果是±3 B.16的4次方根是2 C.当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义 D.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义 [解析] 对于A,=3,故A错误; 对于B,16的4次方根为±2,故B错误; 对于C,D,根据指数幂的运算法则可知C,D正确.故选CD. √ √ 课 堂 评 价 36 5. [2026·天津河西区高一期末] 计算:(-8=　　.  4 [解析] ===4. 课 堂 评 价 37 课后习题 38 1.［2025·江苏徐州中学高一月考］已知， 且 ， 则下列三个等式正确的个数为( ) ；； . A.0 B.1 C.2 D.3 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 对于①， ，故①错误； 对于②，因为，且， 所以当为奇数时，，当 为偶数时， ， 故②正确； 对于③， ，故③错误.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若为正整数，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 3.中 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] ,要使该式有意义, 需,即;要使有意义，需,即 . 综上，的取值范围是 ,故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 4.已知，，则 ( ) A. B. C.1 D. [解析] 由，得，而， 则 ，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.［2026·广东茂名高一期末］若，则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 6.（多选题）［2026·四川南充高级中学高一月考］ 已知 ，且 ，则下列结论可能正确的是( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 因为， ， 所以，所以， 又，所以或 .故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 7.（多选题）已知，，是正整数，且 ，则下列各式中 正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，，是正整数，且 ， ，故A正确； 对于B，显然 ，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，当 为偶数时，，当为奇数时，， 综上， ，故D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 8.设a>0,用有理数指数幂的形式表示·= 　　　. [解析] ·=·==. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9.方程2-x+2=43x的解集为  　  　. [解析] ∵2-x+2=43x==26x,∴-x+2=6x,解得x=, 故方程2-x+2=43x的解集为{} . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 10.（13分）（1）已知2m=6,2n=3, 求的值; 解：由题得22m-3n===,所以==. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 10.（13分）(2)已知-=1,a为正实数,求(-)(a+a-1-5)的值. 解：因为a+a-1=+2=3, 所以-=-=(-)[++·]=1×(3+1)=4, 所以(-)(a+a-1-5)=4×(-2)=-8. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 ★11.若代数式 有意义，则 ( ) A.2 B.3 C. D. [解析] 若有意义，则解得 ， 所以, ,所以 .故选B. √ ［技巧］ 在进行根式的化简时，要注意根指数的奇偶及被开方数的正负. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 12.根式 化为分数指数幂的形式为( ) A. B. C. D. [解析] ，故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 13.已知a2x=m(m>0且m≠1),则=                       .(用m表示)  　 [解析] ==a2x+1+a-2x=m+1+=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 14.（13分）[2026·长沙高一月考] 化简求值: (1)已知yx=+1,求的值; 解: 因为y2x-y-2x=(yx-y-x)(yx+y-x),所以=yx-y-x, 又yx=+1,所以=(+1)-=+1-=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 14.（13分）[2026·长沙高一月考] 化简求值: (2)已知5m+5n=7,5m+n=6,求的值. 解: 因为52m+52n=-2·5m5n=-2·5m+n=49-12=37, 5-m+5-n=+===, 所以===. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 ★15.若，,则 ( ) A.0 B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 由，得 , 又，所以 ， 所以 . 故选B. [提示]立方和公式： ， 立方差公式： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）对于正整数,,和非零实数,,, ，若 ，，求,, 的值． 解：因为,所以 ,同理可得, ， 所以 ， 又 ，所以 ， 又,,均为正整数，且, ，所以,, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 $