4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

4.2.3　 对数函数的性质与图象 对数函数的概念、性质与图象[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.类比指数函数来学习对数函数，会求与对数函数有关的定义域问题. 2.初步掌握对数函数的性质和图象，类比指数函数研究对数函数的性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.对数函数的定义 一般地，函数________称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2.对数函数的性质与图象   a>1 0<a<1 图象 y=logax 性 质 定义域 定义域为_________，图象在y轴的右边 值域 ___ 过定点 过定点_______，即x=1时，y=0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，_____ 当0<x<1时，_____， 当x>1时，_____ 单调性 ________ _______ 对称性 y=logax与y=lox的图象关于x轴对称 (0，+∞) R (1，0) y>0 y>0 y<0 增函数 减函数 续表 |微|点|助|解| (1)注意点：讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)图象的特点：函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y=logax(a>0，且a≠1)的图象与y=lox(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称. (3)底数对图象的影响：比较图象与y=1的交点，此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a，1).交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y=1由左向右看，底数a增大(如图). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y=2log3x是对数函数. (　　) (2)函数y=log2x-1是对数函数. (　　) (3)y=log4是对数函数. (　　) × × × 2.函数y=log2(x-2)的定义域是 (　　) A.(0，+∞) B.(1，+∞) C.(2，+∞) D.[4，+∞) √ 解析：由题意知x-2>0，解得x>2. 3.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是_______.  解析：令2-x=1，即x=1，得y=2loga1+3=3，故点P的坐标为(1，3). (1，3) 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　对数函数的概念 [例1]　(1)下列函数是对数函数的是 (　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logex 解析：A，B不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数. √ (2)若函数f(x)=(a2+a-5)logax是以a为底数的对数函数，则f等于(　　) A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38 解析：因为函数f(x) 为对数函数， 所以函数f(x)系数为1，即a2+a-5=1， 即a=2或-3. 因为对数函数底数大于0，所以a=2，f(x)=log2x，所以f=-3. √ 判断一个函数是对数函数的方法 |思|维|建|模| 针对训练 1.设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，若f(2)=，则f=(　　) A.2 B.-2 C.- D. √ 2.已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f=_____.  -5 解析：设对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8，3)，∴3=loga8，∴a3=8， 即a=2.∴f(x)=log2x.∴f=log2=log22-5=-5. 题型(二)　对数函数的图象及应用 [例2]　(1)函数y=|lg(x+1)|的图象是 (　　) √ 解析：由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象左移一个单位长度而得到，函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足. (2)已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n的值是_____.  解析：因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，故3-m =1，且n=5，则m=2，n=5.所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1. 1 变式拓展 若例2(1)中的函数y=|lg(x+1)|变为y=f(x)=|log3x|，且f(a)>f(2)，则a的取值范围为_______________.  ∪(2，+∞) 解析：作出函数f(x)的图象，如图所示.由于f(2)=f，故结合图象可知，当f(a)>f(2)时，a的取值范围为∪(2，+∞). |思|维|建|模| 　对数函数的底数a决定了图象的位置及变化趋势，在同一坐标系中画出多个对数函数图象时， (1)上下比较：在直线x=1的右侧.a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴. (2)左右比较：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 针对训练 3.设a与b均为实数，a>0且a≠1，已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示，则a+2b的值为 (　　) A.6 　　　B.8 C.10 　　　D.12 √ 解析：令f(x)=y=loga(x+b)，由题图可知，f(0)=logab=2， f(-3)=loga(-3+b)=0，即解得 故a+2b=2+4×2=10，故选C. 4.如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取 ，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A. B. C. D. √ 解析：法一：过点(0，1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为(a1，1)，(a2，1)，(a3，1)，(a4，1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底数值依次由大到小，故选A. 法二：先排C1，C2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，所以C1，C2对应的a值分别为.然后考虑C3，C4的底都小于1，当x>1时，底数越小，图象越靠近x轴，所以C3，C4对应的a值分别为. 综上，可得C1，C2，C3，C4的a值依次为. 题型(三)　与对数函数有关的定义域 [例3]　求下列函数的定义域. (1)f(x)=lg(x-2)+； 解：要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3. ∴函数的定义域为(2，3)∪(3，+∞). (2)f(x)=log(x+1)(16-4x). 解：要使函数有意义，需满足 解得-1<x<0或0<x<4. ∴函数的定义域为(-1，0)∪(0，4). |思|维|建|模| 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 针对训练 5.求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x)； 解：由 得-3<x<3. 故函数的定义域是{x|-3<x<3}. (2)y=log2(16-4x)； 解：由16-4x>0，得4x<16=42， 由指数函数的单调性得x<2. 故函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. (3)y=loga[(x+3)(x-3)]. 解：由(x+3)(x-3)>0， 解得x<-3或x>3. 故函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)下列函数是对数函数的是 (　　) A.y=loga(2x) 　　 B.y=log(2a-1)x C.y=log2x+1 　　 D.y=lg x √ √ 解析：选项A、C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=1+loga(x-1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点 (　　) A.(1，1) B.(1，0) C.(2，1) D.(2，0) √ 解析：令x-1=1，得x=2，此时y=1，故函数y=1+loga(x-1)的图象一定经过点(2，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数y=ln(1-x)的定义域为(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1] √ 解析：要使函数有意义，需满足解得0≤x<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象必不过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：因为f(x)=loga(x+2)(0<a<1)，所以其图象如图所示，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析： 由已知，得a-lg x≥0的解集为(0，10]，由a-lg x≥0， 得lg x≤a，又当0<x≤10时，lg x≤1，所以a=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.函数y=ax与y=-logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是 (　　) √ 解析：函数y=-logax恒过定点(1，0)，排除B；当a>1时，y=ax是增函数，y=-logax是减函数，排除C；当0<a<1时，y=ax为减函数，y=-logax为增函数，排除D，故A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，h(x)=log3x，直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是 (　　) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示.由图可知，x2<x3<x1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)关于函数f(x)=|log2x|，下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的值域是[0，+∞) C.对任意m>0，f(m)<f(m2) D.若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b>2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可得f(x)=|log2x|=作出y=f(x)的图象， 如图所示，所以A错误，B正确. 当m=1时，f(m)=f(m2)=0，所以C错误. 若f(a)=f(b)，且a≠b， 则log2a=-log2b，可得ab=1， 则a+b>2=2，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若函数f(x)=mlog2(kx+n)是对数函数，则m=____，k=____，n=_____.  解析：f(x)=mlog2(kx+n)是对数函数，应有m=1，k=1，n=0. 1　 1　 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=4x+log2x，则f=___.  解析：函数f(x)=4x+log2x，所以f=+log2=2-1=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是__________.  解析：由对数函数的单调性知，a+1>1，则a>0. (0，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知f(x)=|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小. 解：先作出函数y=lg x的图象，再将图象位于x轴下方 的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得到f(x)= |lg x|的图象(如图).由图象可知，f(x)在(0，1)内单调递 减，在(1，+∞)上单调递增.由>a>b>1，得f>f(a)>f(b).因为f== |-lg c|=|lg c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知f(x)=log2(x2-2ax+a+2). (1)若f(1)=2，求a的值；(3分) 解：f(1)=log2(3-a)=2，∴3-a=22=4，解得a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围.(7分) 解：∵f(x)的定义域为R， ∴x2-2ax+a+2>0对∀x∈R恒成立， ∴Δ=(-2a)2-4(a+2)<0，即a2-a-2<0，解得-1<a<2，故a的取值范围为(-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象 如图所示. (1)求f(x)的解析式与定义域；(4分) 解：将点A(2，1)，B(5，2)的坐标代入f(x)， 得得 解得a=2，b=-1， 则f(x)=log3(2x-1)，定义域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)函数f(x)的图象怎样由函数y=log3(2x)的图象得到?(4分) 解：f(x)=log3(2x-1)=log32， ∴f(x)的图象由y=log3(2x)的图象向右平移个单位长度得到. (3)求函数f(x)在[1，4]上的最大值和最小值.(2分) 解：易知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴f(x)max=f(4)=log37，f(x)min=f(1)=log31=0. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $