4.2.1 对数运算-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.2 对数与对数函数 1 4.2.1 对数运算 2 探究点一 对数的概念 探究点二 对数的简单运算 探究点三 利用对数的性质求值 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.能够在具体的数学问题情境中,得出对数的概念； 2.由指数运算与对数运算的关系,得出对数运算的性质； 3.能够利用对数运算的性质进行对数运算. 4 知识点一 对数及相关概念 1.对数的概念：在表达式且,中，当 与确定之后，只有唯一的能满足这个式子，此时，幂指数 称为 以为底的______，记作__________,其中称为对数的______， 称为对数的______. 对数 底数 真数 2.常用对数：以____为底的对数称为常用对数,即 是常用对数, 通常简写为_____. 10 3.自然对数：在科学技术中，常使用以无理数 为底 的对数，以__为底的对数称为__________,自然对数 通常简写 为_____. 自然对数 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）是与 的乘积.( ) × （2）可化为 .( ) × （3）对数运算的实质是求幂指数.( ) √ 课 前 预 习 6 2.（1）如何准确理解指数式与对数式的关系？ 解:指数式和对数式的关系如图所示. 课 前 预 习 7 （2）在对数概念中,为什么规定且 呢? 解:①若，则取某些数值时，不存在， 因此规定 不能小于0. ②若，则当时，不存在， 当时，则 有无数个值，与函数定义不符， 因此规定 . ③若，则当时，不存在， 当时，则 有无数个值，与函数定义不符，因此规定 . 课 前 预 习 8 知识点二 对数的性质 1.__________没有对数. 负数和零 2.当且 时, （1） ___; （2） ___; （3） ___; （4） 的充要条件是________; （5） ___. 0 1 课 前 预 习 9 探究点一 对数的概念 例1 (1)对数式log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,5) B.(-3,5) C.(-3,-2)∪(-2,5) D.(-3,+∞) [解析] 由题得解得则a的取值范围为(-3,-2)∪(-2,5). 故选C. √ 课 中 探 究 10 （2）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ① ； 解: . ② ； 解: . ③ ； 解: . ④ ； 解: . 课 中 探 究 11 （2）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ⑤ . 解: . 课 中 探 究 12 变式 将下列指数式与对数式互化： ① ； 解: . ② ； 解: . ③ ； 解: . ④ ； 解: . 课 中 探 究 13 （2）将下列指数式与对数式互化： ⑤ ； 解: . ⑥ . 解: . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ （1）要注意对数中的底数和真数与指数中的底数和幂指数的对应关系. （2）在对数中，对底数和真数的范围要求是求解自变量取值范围的 关键. 课 中 探 究 15 探究点二 对数的简单运算 例2（1）已知函数且，若 ，则 _____. [解析] 由题知，则 . 课 中 探 究 16 （2）［2026·石家庄精英中学高一期末］已知 , 且，则 的值为____. 54 [解析] 因为,且 ， 所以,，则 . 课 中 探 究 17 变式 （1）已知，则的取值范围是________________. [解析] 因为，所以 解得且 ，则的取值范围是 . 课 中 探 究 18 （2）已知,, ，则 ( ) A. B. C.2 D.3 [解析] 设， 则 , , ，， 整理得 ， 又,，，，即 .故选D. √ 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 进行有关对数的运算时,关键是要充分理解对数的含义,并能结合指数 和对数之间的互化进行求解. 课 中 探 究 20 探究点三 利用对数的性质求值 例3 求下列各式中 的值． （1） ； 解:设，则， ，即， . （2） ； 解:，， . 课 中 探 究 21 例3 求下列各式中 的值． （3） . 解:， ， ， . 课 中 探 究 22 变式 (1)已知 ，且 ， 则( ) A. B. C. D. [解析] ， ， ，, ,,, ,,, , , .故选C. √ 课 中 探 究 23 （2）求下列各式的值: ① ; 解:因为,,所以原式 . ② ; 解:原式 . ③ ; 解:原式 . ④ . 解:原式 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法： （1）求多重对数式的值，应从内到外求，如求<m></m>的值，先 求<m></m>的值，再求<m></m>的值； （2）已知多重对数式的值，求变量的值，应从外到内求，逐步脱去 “<m></m>”后再求解. 2.注意对数恒等式<m></m>的应用. 课 中 探 究 25 1.使式子有意义的 的取值范围是( ) A. B. C.且 D. [解析] 若式子有意义，则 解得且 .故选C. √ 课 堂 评 价 26 2.［2026·福建厦门高一期末］已知，则 ( ) A.2 B. C.3 D.4 [解析] 因为，所以，且 ， 解得 .故选B. √ 课 堂 评 价 27 3.（多选题）下列说法中正确的是( ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以 为底的对数叫作自然对数 [解析] A,C,D中说法正确,B中说法不正确, 只有且 时,才能化为对数式.故选 . √ √ √ 课 堂 评 价 28 4.若，则 _ ___. [解析] ，， ， . 课 堂 评 价 29 5.若关于实数的方程有解，则实数 的 取值范围为________________. [解析] 若方程 有解， 则即即 解得或 . 课 堂 评 价 30 课后习题 31 1.若且 ，则有( ) A. B. C. D. [解析] 由且，得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 2. [2025·北京大兴区高一期末] 方程log2x2=1的解集为 (　 ) A.{1} B.{-1,1} C.{} D.{-,} [解析] 由x2>0,解得x<0或x>0.由log2x2=1,得log2x2=log22,则x2=2, 解得x=±,所以方程log2x2=1的解集为{-,}.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 3.已知,且,则 等于( ) A.3 B. C.9 D. [解析] 由已知得, , 所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 根据指数式与对数式互化可知，等价于 ， 故A中互化正确； 等价于 ，故B中互化正确； 等价于，故C中互化错误； 等价于 ，故D中互化正确.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 5.“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，可得， 由，可得 ， 故“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 6.已知,,定义运算： 则 ( ) A. B. C. D.3 [解析] 由题知,所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 7.（多选题）下列说法正确的是( ) A. B. C.若，则 D.若，则 [解析] ，故A正确； ，故B正确； 若，则，故C错误； 若，则 ，故D错误.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 8. [2025·江西宜春高一期中] 计算:+-2-1+log31+log24-log2= 　　　　.  4 [解析] (0.25+-2-1+log31+log24-log2=+1-+0+2-(-1)=4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 9. 若集合,,, ,,则 __. [解析] 因为集合,,,,, 所以 (若其他元素为0，不能保证的真数大于0)， 即 ， 由集合中元素的互异性知，所以，则， 又 ，所以,，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 10.（13分）求下列各式中 的值. （1） ； 解: . （2） ； 解:因为，且 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 （3） ； 解:因为，所以 . （4） ； 解:由，得，即,所以 . 10.（13分）求下列各式中 的值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.（13分）求下列各式中 的值. （5） . 解:因为 ， 所以，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 11. 设a,b∈R,则“a4=b4”是“log322a=log34b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 若log322a=log34b,则log34a=log34b,可得a=b,所以a4=b4,必要性成立; 若b=-a,则a4=b4,此时log34a≠log34b,充分性不成立. 所以“a4=b4”是“log322a=log34b”的必要不充分条件.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 对应的对数式为,故A中互化正确; 对应的对数式应为,故B中互化不正确; 对应的指数式为,故C中互化正确; 对应的指数式为 ,故D中互化正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 13.若是定义在上的奇函数，当 时， ，则 ____． [解析] 由题意得， . 是定义在上的奇函数， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（13分）（1）若，，求 的值. 解:,， . ，， . 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.(13分)(2)已知二次函数的最大值为3， 求 的值. 解:由题知 . 有最大值3，，且 ， 整理得，解得或 . 又，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.已知实数,满足,且且，则 ( ) A. B.2 C.4 D.8 [解析] ，, , ,可得,又，，， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 ★16.（15分）［2025·四川达州高一期末］ 已知 , ，求实数 的取值范围. ［点拨］ 本题中还可做以下变换： ，也可得到 .做变换时可将一次函数变换为指数位置为对数函数的幂形式 或真数位置为指数函数的对数形式. 解:令，函数,都是增函数， 则函数 是增函数，由，得 ， 即，因此，， 当时， .故实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 $