4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图象 1 第2课时 指数函数的性质与图象的应用 2 探究点一 指数型函数的定义域和值域 探究点二 简单的指数不等式的解法 探究点三 指数型函数的单调性 探究点四 指数函数的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域； 2.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断； 3.掌握指数函数在现实生活中的应用; 4.掌握指数函数的综合性问题. 4 知识点一 与指数函数有关的复合函数 函数且的定义域、值域可转化为函数 进 行研究，其中______.若的定义域为，则 的定义域 为___.函数的值域要根据的值域及函数 的单调性 研究. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 函数 的定义域是___，值域是________. 课 前 预 习 6 知识点二 指数函数且 的单调性的应用 1. 的取值与单调性 当时,指数函数在上单调递减，若,则 ___ ; 当时,指数函数在上单调递增，若,则___ . 2.单调性的应用——解指数不等式 对形如 的不等式的讨论： 当时， _____________； 当时， ____________. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 （1）不等式 的解集是__________. （2）若且，则实数 的取值范围是__________. 课 前 预 习 8 探究点一 指数型函数的定义域和值域 例1 求下列函数的定义域和值域： （1） ； 解:要使函数有意义，则,得,解得 , 故该函数的定义域为 . 当时，,则,则 , 故该函数的值域为 . 课 中 探 究 9 例1 求下列函数的定义域和值域： （2） ； 解:要使函数有意义，则,得,即 , 故该函数的定义域为. 当时，,故该函数的值域为 . 课 中 探 究 10 例1 求下列函数的定义域和值域： （3） ； 解: , 则该函数的定义域为 . 设,则,则 , 故该函数的值域为 . 课 中 探 究 11 例1 求下列函数的定义域和值域： （4） . 解:要使函数有意义,则,解得, 所以函数 的定义域为. 因为,所以,则函数 的值域为且 . 课 中 探 究 12 变式（1）若函数的定义域为，则实数 的 取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得对任意 恒成立， 即对任意恒成立， 因为在 上单调递增，所以， 即对任意 恒成立， 则，解得， 所以实数 的取值范围为 .故选B. √ 课 中 探 究 13 （2）已知函数且在区间 上的 最大值是14，则 的值为( ) A.3 B. C. D.3或 √ 课 中 探 究 14 [解析] 令，则 . 当时，由，得， 因为函数 在上单调递增， 所以 ，解得舍去). 当时，由，得 ， 因为函数在 上单调递增， 所以，解得. 综上， 或 .故选D. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 函数<m></m>的定义域与值域的求法： （1）形如<m></m>的函数的定义域就是<m></m>的定义域. （2）形如<m></m>的值域，应先求出<m></m>的值域，再由函数<m></m> 的单调性求出<m></m>的值域.若<m></m>的取值范围不确定，则需对<m></m>进行 分类讨论. 课 中 探 究 16 拓展 ［2026·湖北武汉高一期末］ 高斯是德国著名的数学家，近代 数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函 数”为：设，用表示不超过的最大整数，则 称为高 斯函数.例如：，.已知函数 ，则函 数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] ，因为，所以 ， 所以，所以，所以 ， 所以的值域为 .故选C. √ 课 中 探 究 17 探究点二 简单的指数不等式的解法 例2（1）不等式 的解集为________________. [解析] 因为，所以, 因为在 上是增函数，所以，解得 . 故原不等式的解集为 . 课 中 探 究 18 （2）已知且，求 的取值范围. 解:①当时，因为，所以 ， 解得 当时，因为 ，所以， 解得. 综上所述，当时， 的取值范围是； 当时，的取值范围是 . 课 中 探 究 19 变式（1）已知，则 的取值范围为________． [解析] 原不等式等价于, 因为指数函数在 上单调递增，所以,解得, 所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 20 （2）已知，则 的取值范围是 ________. [解析] ， 在 上是增函数， 又 , ，解得. 故的取值范围是 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 简单指数型不等式的解法： （1）指数型不等式<m></m>且<m></m>的解法： 当<m></m>时，可化为<m></m>； 当<m></m>时，可化为<m></m>. （2）当不等式的形式不是同底指数式的形式时，要先进行变形将不 等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：<m> </m>且<m></m>，<m></m>且<m></m>等. 课 中 探 究 22 拓展 若不等式对恒成立，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 对 恒成立， 对 恒成立， 对 恒成立， 即对恒成立， 对恒成立, 当时，取得最小值， ，解得 .故选A. √ 课 中 探 究 23 探究点三 指数型函数的单调性 例3（1）指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-2,-1)∪(1,2) C.(1,2) D.(2,+∞) [解析] 因为指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,所以0<a-1<1, 解得1<a<2,则实数a的取值范围为(1,2).故选C. √ 课 中 探 究 24 （2）函数 的单调递增区间为( ) A. B. C. D. [解析] 令， 易知在 上单调递减，在上单调递增， 又在 上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知， 函数 的单调递增区间为 .故选B. √ 课 中 探 究 25 （3）函数 的单调递增区间是__________. [解析] 设，， 则在 上单调递减，在上单调递增. 令，得， 所以当 时，，即 ， 所以， 所以 的单调递增区间是 . 课 中 探 究 26 变式 (1)[2026·长沙高一月考] 函数f(x)=πx,若f(x2+2)<f(3),则x的取值范 围为 ( ) A.(-2,2) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(1,2) [解析] 由题得f(x)=πx在定义域R上单调递增,若f(x2+2)<f(3),则x2+2<3, 解得-1<x<1,所以x的取值范围为(-1,1).故选C. √ 课 中 探 究 27 (2)[2026·石家庄高一期末] 已知a>0且a≠1,若函数f(x)= 的值域为R,则a的取值范围为 ( ) A.[2,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1)∪(1,2] D.(1,2] [解析] 因为函数y=x+a在(-∞,2)上单调递增,所以要使函数f(x)的值域为R, 则函数y=ax在[2,+∞)上单调递增,即a>1,且2+a≥a2,则1<a≤2.故选D. √ 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论： （1）求解步骤：①求定义域，依据题意明确研究范围；②拆分，把原函数 拆分为几个基本函数；③定性质，分层逐一求单调性；④下结论，根据复合 函数的单调性法则，即“同增异减”，得出原函数的单调性. （2）一般结论：形如<m></m>且<m></m>的函数的单调性， 令<m></m>，<m></m>，若两个函数<m></m>与<m></m>的单调性相同， 则函数<m></m>在<m></m>上是增函数；若两者的单调性相异（即一增一减）， 则函数<m></m>在<m></m>上是减函数. 课 中 探 究 29 探究点四 指数函数的实际应用 例4 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳 含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车 库内的一氧化碳浓度为为浓度单位，一个 表示百万 分之一)，再过4分钟又测得车库内的一氧化碳浓度为 .由检验 知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间 （分钟）存在函数 关系， 为常数). （1）求， 的值； 课 中 探 究 30 解:由题知函数,为常数)的图象经过点, , 所以解得 课 中 探 究 31 例4 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量 达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车库内的 一氧化碳浓度为为浓度单位，一个 表示百万分之一)， 再过4分钟又测得车库内的一氧化碳浓度为 . 由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间 （分钟）存在函数 关系， 为常数). （2）若空气中一氧化碳浓度不高于 为正常，问至少排气多少分钟， 这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 解:由（1）得,令,解得 . 故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 课 中 探 究 32 变式 （多选题）如图，某池塘里浮萍的面积（单位： ）与时间 （单位：月）的关系为且 ，则下列说法正确的 是( ) A.浮萍每月的增长率为2 B.第6个月时，浮萍的面积为 C.浮萍每月增加的面积都相等 D.若浮萍面积长到,, 所经过的时间 分别是,,，则 √ √ 课 中 探 究 33 [解析] 由题图可知，函数 的图象经过点， 则，得，所以 ， 因为 不是常数， 所以浮萍每个月的面积是上个月的2倍， 则每个月的增长率为 ，故A错误，C错误； 当时， ，故B正确； 若浮萍面积长到,,所经过的时间分别是,, ， 则，， ， 则 ， 由指数函数的单调性知，故D正确.故选 . 课 中 探 究 34 ［素养小结］ 解决指数函数的应用问题的步骤： （1）审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提 取信息； （2）建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式； （3）解模：运用数学知识解决问题； （4）回归：还原为实际问题，归纳得出结论. 课 中 探 究 35 1.函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，则解得且 .故选D. √ 课 堂 评 价 36 2.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. [解析] 设，其定义域为 , 因为， 所以 为偶函数，排除A，C； 由指数函数性质可知 ，排除B.故选D. √ 课 堂 评 价 37 3.已知函数且,的值域是 ， 则实数 的值为( ) A.3 B. C.3或 D.或 √ 课 堂 评 价 38 [解析] 当时，函数在 上单调递减， 值域是,所以即 解得 ； 当时，函数在 上单调递增， 值域是,所以即 解得 . 综上所述，或 .故选C. 课 堂 评 价 39 4.若函数在区间上单调递增，则实数 的取值 范围为________. [解析] 因为函数在 上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知，函数在区间 上单调递减. 因为函数的图象的对称轴为直线 ， 且函数的图象开口向下，所以，解得. 故实数 的取值范围为 . 课 堂 评 价 40 5.已知,当时， 恒成立，则 实数 的取值范围是________. [解析] 由题知， 即 恒成立, 因为，当且仅当，即 时，等号成立, 所以，即.故实数的取值范围是 . 课 堂 评 价 41 课后习题 42 1.若函数的定义域为，则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 令，解得， 故函数 的定义域为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 2.使不等式成立的 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 原不等式即，可得，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 3. [2026·杭州高一期末] 函数f(x)=2ax-1-1(a>0且a≠1)的图象过定点(　 ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(0,1) D.(2,2a-1) [解析] 令x-1=0得x=1,则f(1)=2a1-1-1=1,所以函数f(x)=2ax-1-1的图象过 定点(1,1).故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 4.函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 令，则 ， 则，所以的值域为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 5.若关于的方程有两个不等实根，则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知， 的图象与直线 有两个不同的交点， 函数 的图象如图所示， 由图知 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 6.已知函数,若存在非零实数 ,使得 成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意得， ， 即. 因为，所以 ，所以， 又因为，显然，所以 . 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 ★7.（多选题）若不等式对一切的 恒成立， 则实数 的值可能是( ) A. B. C. D. [解析] 令,则是关于 的一次函数， 因为恒成立，所以在 上单调递增. 要使对一切的恒成立，则 ， 即，可得 . 因为函数在上单调递增，所以 ， 因为函数在上单调递增，所以.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 ［点睛］ 本题指定为自变量，构造了关于 的函数，相比较于将 视为自变量，降低了计算量. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 8.已知函数 若，则实数 的取值 范围是________. [解析] 因为和 在定义域内都为增函数， 且，所以在上单调递增， 又 ，所以，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 9.设函数则满足的 的取值范围 是________. [解析] 的图象如图所示， 由图可知解得. 故 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 10.（13分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树 造林.假设一片森林原来的面积为 亩，计划每年种植一些树苗，且森 林面积的年增长率相同，当面积是原来的3倍时，所用时间是10年. （1）求森林面积的年增长率； 解：设森林面积的年增长率为，根据题意可得 ， 即，则 ，故 . 故森林面积的年增长率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 10.（13分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树 造林.假设一片森林原来的面积为 亩，计划每年种植一些树苗，且森 林面积的年增长率相同，当面积是原来的3倍时，所用时间是10年. （2）到今年为止，森林面积为原来的 倍，则该地已经植树造林多 少年？ 解：设该地已经植树造林年，根据题意可得 ， 即，则，解得 . 故该地已经植树造林5年. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 11.已知函数，其图象无限接近直线 但又不与 该直线相交，则 的解集为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 因为函数的图象无限接近直线 但又不 与该直线相交，所以，所以 ， 则可化为， 因为 是定义域上的增函数，所以, 解得或,所以 的解集为 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 12. [2026·成都高一月考] 函数f(x)=4x-2x+2+5在区间[0,2]上的最小值为(　 ) A.5 B.4 C.2 D.1 √ [解析] f(x)=4x-2x+2+5=22x-4×2x+5,令t=2x,当0≤x≤2时,1≤t≤4, 原函数可化为g(t)=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以g(t)的最小值为g(2)=1, 所以f(x)的最小值为1.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 13.已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+2x+b,若对任意的x1∈[1,2],总存在 x2∈[-1,b](b>-1),使得f(x1)=g(x2)成立,则实数b的取值范围是　　　　.  [1,3]. [解析] 当x∈[1,2]时,2x∈[2,4],可知f(x)在[1,2]上的取值范围为[2,4]. 因为g(x)=x2+2x+b=(x+1)2-1+b在[-1,b]上是增函数,且g(-1)=-1+b, g(b)=b2+3b,所以g(x)在[-1,b]上的取值范围为[-1+b,b2+3b]. 因为对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[-1,b],使得f(x1)=g(x2)成立, 所以解得1≤b≤3,所以实数b的取值范围是[1,3]. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 14.（15分）[2026·贵州毕节高一期末] 已知函数f(x)=是奇函数. (1)求m的值; 解: 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0恒成立, 所以+=0,即+=0,即(1-3x)=0. 因为对任意x∈R,上式恒成立,所以-=0, 所以(m·3x+1)-(m+3x)=0,即(m-1)·3x=m-1. 因为(m-1)·3x=m-1对任意x∈R恒成立,所以m=1. 当m=1时,f(x)=,其定义域是R,又f(-x)===-f(x), 所以函数f(x)是奇函数.综上,m=1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14.（15分）[2026·贵州毕节高一期末] 已知函数f(x)=是奇函数. (2)用定义证明函数f(x)在R上是增函数; 证明:由(1)知f(x)=,其定义域为R.设x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==. 因为x1<x2,且y=3x在R上单调递增,所以0<<,即-<0. 又(+1)(+1)>0,所以<0, 即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在R上是增函数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 14.（15分）[2026·贵州毕节高一期末] 已知函数f(x)=是奇函数. (3)若对任意的x∈R,不等式f(2x)+f(x2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围. 解:由f(2x)+f(x2-k)>0,得f(x2-k)>-f(2x)=f(-2x), 则x2-k>-2x,所以k<x2+2x=(x+1)2-1. 因为(x+1)2-1≥-1恒成立,所以k<-1, 所以实数k的取值范围是(-∞,-1). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 15. (多选题)已知正数x,y,z满足x3=y4=z5,则x,y,z的大小关系可能是(　 ) A.x<z<y B.x<y<z C.y<x<z D.z<y<x √ √ [解析] 设x3=y4=z5=k(k>0),则x=,y=,z=. 当k>1时,指数函数y=kx单调递增,因为>>,所以>>,即x>y>z; 当k=1时,x=y=z=1;当0<k<1时,指数函数y=kx单调递减, 因为>>,所以<<,即x<y<z.故选BD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.（15分）“函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形”的 充要条件是“函数 为奇函数”，可以将其推广为：“函数 的图象关于点 成中心对称图形”的充要条件是“函数 为关于的奇函数”.给定函数 . （1）求 的图象的对称中心； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 解：设的图象的对称中心为 ， 则 的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为 ， 所以 恒成立， 即 恒成立， 所以解得 所以的图象的对称中心为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 16.（15分）“函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形”的 充要条件是“函数 为奇函数”，可以将其推广为：“函数 的图象关于点 成中心对称图形”的充要条件是“函数 为关于的奇函数”.给定函数 . （2）已知函数，若对任意的 ，总存在 ，使得，求实数 的取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 解：函数在区间上单调递减， 则 在区间上的取值范围为 ， 由题意可知对任意的 恒成立. 函数的图象开口向下，对称轴为直线 . 当，即时，在 上单调递减， 则，解得 ，不符合题意； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 当，即时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 则，解得 ； 当，即时，在 上单调递增， 则，解得 ，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $