4.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

　 4.1.2　指数函数的性质与图象 第2课时　指数函数的图象与性质 第四章　4.1　指数与指数函数 合作探究 1 随堂演练 2 课时测评 3 内容索引 1．(多选)下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是 A．y＝－　　　　　　　 B．y＝|x| C．y＝2x D．y＝x3 自主检测 √ √ y＝－ 是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C、D项显然正确． 因为y＝0.9x是减函数，且0.5>0.2，所以0.90.2>0.90.5.故选D. 2．下列判断正确的是 A．1.51.5>1.52 B．0.52<0.53 C．e2< e D．0.90.2>0.90.5 √ 3．已知y1＝ ，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为 √ 4．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是___________． (1，＋∞) 因为指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，所以2a－1＞1，所以a＞1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 返回 5．已知函数f(x)＝4＋ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． (1，5) 令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(1，5). 合作探究 返回 例1 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小．由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴．故选B. (2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3-3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax-3－2必过定点(3，－1). √ 题型一　指数函数的图象问题 　 (1)如图所示是下列指数函数的图象： ①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx. 则a，b，c，d与1的大小关系是 A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c (2)当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax-3－2必过定点________．　 [思路点拨]　(1)先由a>1，0<a<1，两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点． (3，－1) 规律方法 指数函数的图象随底数变化的规律 1．无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． 2．指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．　　 由1>n>m>0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n>m可知应选C. 对点练1．(1)已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是 √ 因为a>1，且－1<b<0，故其图象如下图所示． √ (2)若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 例2 题型二　利用指数的单调性比较大小 　比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (3)1.70.3，0.93.1. [思路点拨]　当底数相同时，利用指数函数的单调性比较大小．当底数不同时，一般找中间量比较大小． 解：(1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x，当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值． 因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数． 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)同(1)题，因为0<0.8<1，所以指数函数y＝0.8x是减函数． (3)由指数函数的性质知1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1. 规律方法 1．由例题可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 2．比较幂值大小的三种类型及处理方法 对点练2．比较下列各组值的大小： (1)1.8-0.1与1.8-0.2； 解：由于1.8>1，所以指数函数y＝1.8x在R上为增函数，所以1.8-0.1>1.8-0.2. (2)1.90.3与0.73.1； 解：因为1.90.3>1，0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1. (3)a1.3与a2.5(a>0，且a≠1). 解：当a>1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3<a2.5， 当0<a<1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3>a2.5. 故当0<a<1时，a1.3>a2.5，当a>1时，a1.3<a2.5. 题型三　解简单的指数不等式 　(1)不等式3x-2>1的解集为___________； (2)若ax+1> (a>0，且a≠1)，求x的取值范围． [思路点拨]　首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围． 解析：(1)3x-2>1⇒3x-2>30⇒x－2>0⇒x>2，所以解集为(2，＋∞). (2)因为ax+1> ，所以当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3. 当0<a<1时，y＝ax为减函数，可得x＋1<3x－5，所以x>3. 综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)， 当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞). 例3 (2，＋∞) 规律方法 解指数不等式应注意的问题 1．形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； 2．形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．　　 所以原不等式等价于3 ≤3. 因为y＝3x是R上的增函数，所以2－x2≤1. 所以x2≥1，即x≥1或x≤－1. 所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1-x，求x的取值范围． 解：因为a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1， 所以y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数． 题型四　指数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝a－ (x∈R). (1)用定义证明：不论a为何实数， f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． [思路点拨]　(1)用定义法证明函数的单调性需4步：①取值；②作差变形；③定号；④结论． (2)先由f(x)为奇函数求a，再由单调性求最小值． 例4 (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； 解：证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 因为x1<x2. 所以2x1－2x2<0， 又(1＋2x1)(1＋2x2)>0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 解：因为f(x)在x∈R上为奇函数， 所以f(0)＝0， 由(1)知，f(x)为增函数， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1). 规律方法 1．求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的含义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数； 2．若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．　　 对点练4．已知函数f(x)＝a3-ax(a>0且a≠1). (1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围； 解：当a＝2时，f(x)＝23-2x<4＝22， (2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求实数a的取值范围． 解：y＝3－ax在定义域内单调递减， 当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3-a>1＝a0，得1<a<3. 当0<a<1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立． 综上：实数a的取值范围为(1，3). 返回 随堂演练 返回 1．函数y＝2|x|的图象是 √ 2．函数f(x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 A．(－1，2)　　　　　　 B．(1，2) C．(－1，1) D．(0，2) 因为y＝ax的图象恒过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝2.故f(x)＝3－ax+1的图象恒过定点(－1，2).故选A. √ 3．已知a＝20.2，b＝0.33，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为 A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 因为y＝0.3x在R上是减函数，3>0.2>0，所以0.33<0.30.2<0.30＝1，又20.2>20＝1，所以b<c<a.故选C. √ 返回 课时测评 返回 因为函数y＝2x是增函数，所以B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，故A∩B＝{x|2<x<3}．故选AD. 1．(多选)已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B的子集为 A．∅　　　　　　　　 B．{x|0<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|2<x<3} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．设f(x)＝ ，x∈R，那么f(x)是 A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两点在函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)图象上，那么下列关系式一定成立的是 A．(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＞0 B．(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＜0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的单调性由a确定，而a 与1的大小关系不确定，所以其单调性不确定，故A、 B错误；不妨设a＞1，作出图形，如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．设x>0，且1<bx<ax，则 A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 因为1<bx，所以b0<bx，又x>0，所以b>1. 所以a>b，即1<b<a.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．函数y＝ 的单调增区间是___________． 令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.当x≤2时，t随x增大而减小，则y增大，即y＝ 的单调增区间为(－∞，2]. (－∞，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则实数a的取值范围是________． (0，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)比较下列各题中两个值的大小： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)0.20.3与0.30.2.(5分) 解：因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.　 又根据指数函数y＝0.2x的性质可得 0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)， 所以B＝(－∞，a). 因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a≤－2， 即实数a的取值范围为(－∞，－2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由指数函数的性质知：在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数，观察四个图象只有D符合．故选D . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与 时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是 A．蓝藻面积每个月的增长率为100% B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2 D．若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别 是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由图可知，函数y＝at图象经过(1，2)，即a1＝2，则a＝2， 所以y＝2t，所以2t+1－2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面 积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，故A正确， B错误； 当t＝6时，y＝26＝64＞60，故C正确； 若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t1＝2，2t2＝3，2t3＝6，2t1＋t2＝2t1·2t2＝2×3＝6，则t1＋t2＝t3，故D正确． 故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求a的值；(4分) 又a>0，所以a＝1. 解：依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(6分) 由x1>0，x2>0，x1<x2， 得x1＋x2>0，3x2－3x1>0， 则3x1＋x2>1，1－3x1＋x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2). 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 解：证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1－3x2＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 14．(5分)(新角度)已知函数f(x)＝ax+2－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx－n的图象上，其中实数m，n满足mn＞0，则 的最小值为_______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(3分) 解：由图①知，f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) 解：由图②知，f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．(8分) 故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 方法一　y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 方法二　y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，故选A. (2)0.8－，0.8－； 因为－>－，所以0.8－<0.8－. 对点练3．(1)解不等式≤3； 解：＝(3-1)＝3， 所以x>1－x，解得x>. 所以x的取值范围为. 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. 即a－＝0，解得a＝. 所以f(x)＝－， 因为f(1)＝－＝， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 由3－2x<2，得x>. 故x的取值范围为. y＝2|x|＝故选B. 4．若()2a+1<()8-2a，则实数a的取值范围是__________． (，＋∞) 因为函数y＝()x在R上为减函数，且()2a+1<()8-2a，所以2a＋1>8－2a，即4a>7，所以a>. 因为f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)为偶函数．又当x>0时，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．故选D. 3．若<，则实数a的取值范围是 A．(1，＋∞) B． C．(－∞，1) D． 函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>3－2a，所以a>.故选B. C．f＜ D．f＞ 则f是曲线上横坐标为的点C的纵坐标，是线段AB的中点D的纵坐标． 根据图形可得f＜， 同理：当0＜a＜1时，结果相同．故f＜.故选C. 因为bx<ax，所以>1，又x>0，所以>1， 6．三个数，，中，最大的是_______，最小的是_______． 因为函数y＝在R上是减函数，所以>，又在y轴右侧函数y＝ 的图象始终在函数y＝的图象的下方，所以>，即>>. f(x)＝a－x＝，因为f(－2)>f(－3)，所以>，即a2>a3.所以a<1，即0<a<1. (1)与；(2分) 解：因为0<<1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减， 又－1.8>－2.5，所以<. (2)与；(3分) 解：在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得>. 10．(10分)函数f(x)＝ 的定义域为集合A，关于x的不等式> 2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围． 解：由≥0，解得x≤－2或x>1， >2－a－x⇔>⇔2x<a＋x⇔x<a， 11．(5分)函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是 因为f(x)＝＝(0＜a＜1)， 13．(10分)设a>0，f(x)＝＋是定义在R上的偶函数． 即＋＝＋a·3x， 所以(a－)(－3x)＝0对一切x∈R恒成立．由此可得a－＝0，即a2＝1. －＝(3x2－3x1)(－1)＝(3x2－3x1)·. ＋ 函数f(x)＝ax+2－3，令x＋2＝0，得x＝－2，此时f(－2)＝1－3＝－2，所以函数f(x)的图象恒过定点A(－2，－2)，又因为点A在一次函数y＝mx－n的图象上，所以－2＝－2m－n，即2m＋n＝2，又因为实数m，n满足mn＞0，所以m＞0，n＞0，所以＋＝×(2m＋n)＝≥＝4，当且仅当＝即n＝2m时，等号成立，即m＝，n＝1时，＋取得最小值4. 所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. 解：由(1)知f(x)＝()x－3，则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. $