4.1.2 第2课时 指数函数性质与图象的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

指数函数性质与图象的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步熟练掌握指数函数的性质与图象，会求指数型函数的定义域和值域. 2.能利用指数函数的性质与图象解不等式.　 3.掌握指数型函数单调区间的求法及单调性的判断. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　指数型函数的定义域、值域 题型(二)　指数型函数的单调性 题型(三)　解指数不等式 4 题型(四)　指数函数性质的综合问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　指数型函数的定义域、值域 01 [例1]　求下列函数的定义域和值域： (1)y=； 解：由已知得x应满足x-1≠0，∴x≠1. ∴定义域为(-∞，1)∪(1，+∞). ∵≠0，∴≠1. ∴y=的值域为(0，1)∪(1，+∞). (2)y=； 解：定义域为R. ∵|x|≥0， ∴y==≥=1. ∴此函数的值域为[1，+∞). (3)y=. 解：由题意知1-≥0， ∴≤1=. ∴x≥0.故定义域为[0，+∞). ∵x≥0，∴≤1. ∵>0，∴0<≤1. ∴0≤1-<1.∴0≤y<1. ∴此函数的值域为[0，1). |思|维|建|模| 函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法： 函数y=的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法： ①换元，令t=f(x)； ②求t=f(x)的定义域x∈D； ③求t=f(x)的值域t∈M； ④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域. 针对训练 1.求下列函数的定义域和值域： (1)y=； 解：要使函数式有意义，则1-3x≥0，即3x≤1=30.因为函数y=3x在R上是增函数， 所以x≤0.故函数y=的定义域为(-∞，0].因为x≤0，所以0<3x≤1. 所以0≤1-3x<1.所以∈[0，1).即函数y=的值域为[0，1). (2)y=. 解：定义域为R.因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4， 所以≤=16. 又>0，所以函数y=的值域为(0，16]. 题型(二)　指数型函数的单调性 02 解：令u=x2-2x，则原函数变为y=. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，又y=在(-∞，+∞)上单调递减， [例2]　判断f(x)=的单调性，并求其值域. ∴f(x)=在(-∞，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，∴y=，u∈[-1，+∞). ∴0<≤=3.∴原函数的值域为(0，3]. 变式拓展 解：设t=-x2-x，则原函数变为y=3t. 当x∈时，t=-x2-x单调递增，y=3t单调递增， 因此f(x)=在上单调递增；当x∈时， 1.把本例的函数改为“f(x)=”，求其单调区间. t=-x2-x单调递减，y=3t单调递增，因此f(x)=在上单调递减.因此函数f(x)=的单调递增区间为，单调递减区间为. 2.本例若变为函数f(x)=在区间(-1，1)上单调递减，求实数m的取值范围. 解：由复合函数的同增异减性质可得，y=2x2+mx-3在(-1，1)上严格单调递增， 即-≤-1，解得m≥4. 所以m的取值范围是[4，+∞). |思|维|建|模| (1)指数型函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y=au，u=f(x)的复合而成的. (2)求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=f(u)，u=φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f(φ(x))的单调性. 针对训练 2.设函数f(x)=在(1，2)上(　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 √ 解析：令u=-x2+2x，∵y=在R上是减函数，u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞，1)上是增函数，在[1，+∞)上是减函数，∴f(x)=在(-∞，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数，∴函数f(x)=在(-1，2)上先减后增. 3.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则m的取值范围是_________.  (-∞，4] 解析：令t=|2x-m|，则t=|2x-m|在区间上单调递增，在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2，+∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(-∞，4]. 题型(三)　解指数不等式 03 [例3]　(1)解不等式≤2； 解：∵2=， ∴原不等式可以转化为≤. ∵y=在R上是减函数，∴3x-1≥-1.∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)已知<ax+6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围. 解：①当0<a<1时，函数f(x)=ax在R上是减函数， ∴x2-3x+1>x+6.∴x2-4x-5>0. 解得x<-1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)=ax在R上是增函数， ∴x2-3x+1<x+6.∴x2-4x-5<0. 解得-1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x<-1或x>5}；当a>1时，x的取值范围是{x|-1<x<5}. |思|维|建|模| (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需要进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 针对训练 4.求满足下列条件的x的取值范围： (1)3x-1>9x； 解：∵3x-1>9x，∴3x-1>32x. 又y=3x在定义域R上是增函数， ∴x-1>2x，∴x<-1. 即x的取值范围是(-∞，-1). (2)0.2x<25； 解：∵0<0.2<1， ∴指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数. 又25=0.2-2， ∴0.2x<25. 即0.2x<0.2-2， ∴x>-2. 即x的取值范围是(-2，+∞). (3)a-5x>ax+7(a>0，且a≠1). 解：当a>1时，∵a-5x>ax+7， ∴-5x>x+7， 解得x<-； 当0<a<1时，∵a-5x>ax+7， ∴-5x<x+7，解得x>-. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是； 当0<a<1时，x的取值范围是. 题型(四)　指数函数性质的综合问题 04 [例4]　已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4，定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)确定y=g(x)的解析式； 解：设g(x)=ax(a>0且a≠1)，由g(2)=a2=4，得a=2，故g(x)=2x. (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 解：由(1)知f(x)=， 且在R上是奇函数，则f(0)==0， 易得n=1， 所以f(x)=，由f(-1)==-f(1)=，得2(m+1)=4+m，解得m=2， 所以f(x)==-，在(-∞，+∞)上为减函数，经验证f(x)满足奇函数， 所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2)，所以t2-2t>k-2t2， 即3t2-2t-k>0恒成立，故Δ=4+12k<0，即k<-，即实数k的取值范围为. |思|维|建|模| 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 针对训练 5.已知函数f(x)=. (1)若f(x)为奇函数，求a的值； 解：由f(x)==1+， 所以f(-x)=1+=1+， 因为f(x)为定义域上的奇函数， 所以f(x)+f(-x)=0， 即1++1+=0， 化简得+=-1， 则a·32x-a2·3x+a-a2·3x+3x-a-a·32x+a2·3x=0，得a2=1， 所以a=-1或a=1. (2)当a<0时，函数f(x)在[m，n]上的值域为，求a的取值范围. 解：当a<0时，f(x)==1+， 所以y=f(x)是R上的增函数. 因为函数f(x)在[m，n]上的值域为， 所以f(m)==-，f(n)==-，即m，n是方程=-的两个根，则得a=.设t=1-3x<0，则a===t+-3，t<0.根据对勾函数性质可得y=t+-3在(-，0)上单调递减，在(-∞，-)上单调递增，其中y=t+-3在(-∞，0)上的值域为(-∞，-2-3]，当t=-时取最大值.综上可得a<-2-3，所以a的取值范围为(-∞，-2-3). 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若<，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(1，+∞) C.(-∞，1) D. √ 15 解析：因为函数y=在R上为减函数，所以2a+1>8-2a，所以a>. 故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若f(x)=，x∈R，那么f(x)是(　　) A.奇函数且在(0，+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0，+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0，+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0，+∞)上是减函数 √ 15 解析：由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)=是减函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) √ 15 解析：由题意得y=x(x-a)在区间(0，1)单调递减，所以x=≥1，解得a≥2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若函数f(x)=(a>0且a≠1)，满足f(1)=，则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞，2] B.[2，+∞) C.[-2，+∞) D.(-∞，-2] √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由f(1)=，得a2=，解得a=或a=-(舍去)，即f(x)=. 由于y=|2x-4|在(-∞，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞，2]上单调递增，在[2，+∞)上单调递减. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=的值域为(　　) A. B. C. D.[2，+∞) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：令t=-x2+2x，则t=-(x-1)2+1≤1.因为y=在R上单调递减，所以y≥.故函数f(x)=的值域为.故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)=3-|x|，则使得f(2a)<f(a-1)成立的正实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(0，1) D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知f(x)的定义域为R，且f(-x)=3-|-x|=3-|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，f(x)=，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(x)>0，所以不等式f(2a)<f(a-1)成立，需|2a|>|a-1|，解得a<-1或a>.又a>0，所以a>，即正实数a的取值范围是. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知f(x)=是定义域为R的减函数，则a的取值范围是(　　) A. B. C.(1，+∞) D. 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意，得故即a∈. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)函数y=的定义域是_________.  15 解析：由题意得-8≥0，即≥8=23， ∴x-1≥3.解得x≥4. [4，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数，则a=_____.  15 解析：设g(x)=a·2x-2-x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)=0，解得a=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若对于任意的实数x，不等式a+3x+9x>0恒成立，则实数a的取值范围是_________.  15 解析：要使原不等式恒成立，即a>-3x-9x恒成立. 因为-9x-3x=-+，其中3x∈(0，+∞)，所以-9x-3x∈(-∞，0).因此a≥0. [0，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若函数f(x)=πx-π-x+2 025x，则不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集为__________.  15 解析：由题可知f(x)的定义域为R，因为f(-x)=π-x-πx-2 025x=-(πx-π-x +2 025x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x)，因为y=πx，y=-π-x，y=2 025x在R上均为增函数，所以f(x)在R上为增函数，所以x+1≥4-2x，解得x≥1，故该不等式的解集为[1，+∞). [1，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)设函数f(x)=，a是不为零的常数. (1)若f(3)=，求使f(x)≥4的x的取值范围；(4分) 15 解：由f(3)=得a=3.则不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22，解得x≥4. 故x的取值范围是[4，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当x∈[-1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值.(6分) 15 解：当a>0时，f(x)=2ax-10是增函数， 则22a-10=16，所以a=7. 当a<0时，f(x)=2ax-10是减函数， 则2-a-10=16，所以a=-14. 综上，a=-14或a=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1-6中x∈[0，3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值；(6分) 15 解：由已知，得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).令t=2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8. 令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8). 当t∈[1，2]时，h(t)是减函数；当t∈(2，8]时，h(t)是增函数. 所以f(x)min=h(2)=-10，f(x)max=h(8)=26. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立，求a的取值范围.(4分) 15 解：因为f(x)-a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立， 所以a≤f(x)min恒成立. 由(1)知f(x)min=-10，所以a≤-10. 故a的取值范围为(-∞，-10]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)若函数f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0且a≠1)是指数函数. (1)求k，b的值；(3分) 15 解：∵f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0且a≠1)是指数函数， ∴k+3=1且3-b=0， 解得k=-2，b=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求解不等式f(2x-7)>f(4x-3).(7分) 15 解：由(1)得f(x)=ax(a>0且a≠1). 因为f(2x-7)>f(4x-3)， 所以a2x-7>a4x-3. ①当a>1时，f(x)=ax单调递增， 则不等式等价于2x-7>4x-3，解得x<-2； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 ②当0<a<1时，f(x)=ax单调递减，则不等式等价于2x-7<4x-3，解得x>-2. 综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|x<-2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x>-2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知函数f(x)=·x3. (1)求f(x)的定义域；(3分) 解：由题意得2x-1≠0，即x≠0， ∴f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)讨论f(x)的奇偶性；(7分) 解：由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称. 令g(x)=+=，φ(x)=x3， 则f(x)=g(x)·φ(x). ∵g(-x)===-g(x)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x)， ∴f(-x)=g(-x)·φ(-x) =[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x). ∴f(x)=·x3为偶函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：证明：当x>0时，2x>1，∴2x-1>0， ∴+>0.∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称， 知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，恒有f(x)>0. (3)证明：f(x)>0.(5分) 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $