4.1.1 实数指数幂及其运算（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 4.1指数与指数函数 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解n次方根、n次根式的定义与性质，区分奇数次根式与偶数次根式的差异，能准确化简简单根式。 掌握整数指数幂、分数指数幂的概念，熟练实现根式与分数指数幂的双向互化，明晰指数幂从整数、有理数到实数的拓展过程。 熟记实数指数幂的五大运算性质，能够运用运算法则进行实数指数幂的化简、求值与运算，规范解题步骤，规避常见运算错误。 重点：根式与分数指数幂的互化、实数指数幂的运算性质及应用。 难点：偶数次根式的化简、实数指数幂运算的灵活运用，突破“底数为负、指数为分数”的易错问题。 同学们，初中我们已经学习过整数指数幂，也掌握了同底数幂相乘、幂的乘方等基本运算，这里的指数都是正整数。同时我们还学习了平方根、立方根，比如4的平方根是±2，8的立方根是2。 温故知新 现在老师提出两个新问题：第一，16的四次方根是多少？-27的五次方根存在吗？第二，我们能否把根式、、写成指数幂的形式？指数能不能是分数、小数甚至无理数？ 生活中，细胞分裂、复利增长等问题中，指数往往不局限于整数，这就需要我们把指数幂的范围从整数拓展到实数。今天我们就从零次、负整数指数幂回顾入手，学习根式与分数指数幂，掌握实数指数幂及其运算的完整知识体系，为后续指数函数的学习打好基础。 目标一：整数指数幂 正整数指数幂的推广 知识讲解 互动探究 新课引入 在初中,我们研究了正整数指数幂:一个数 的 次幂等于 个 的连乘积,即 。一般地, 中的 称为底数, 称为指数。 正整数指数幂的运算法则有4条: (1) ; (2) (); (3) ; (4) 为了保证这些法则可以从定义直接推出,我们限定 𝒎,𝒏 都是正整数,且法则(2)中限定 𝒎>𝒏。 为了取消 𝒎>𝒏 的限制,我们定义了零指数幂和负整数指数幂: =𝟏 (𝒂≠𝟎); (𝒏∈𝒂≠𝟎)。 在引入了负整数指数幂后,法则(2)可归入法则(1)。同时,指数的范围也从正整数扩展到了整数。 5 非正整数指数幂的运算法则 知识讲解 互动探究 新课引入 由于零指数幂和负整数指数幂都要求底数不等于零,因而,对于整数指数幂而言,也要求底数不等于零,主要是为了对性质的合理推广。 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立。如: , , (), , (), (), ()。 6 试一试 下列各式错误的是________。（填序号） ① ; ② (); ③ ; ④ ; ⑤ ()。 解 ①②④⑤中等式通过运算，都成立。对于③，，显然错误。 试一试 化简下列各式： (1) ; (2) 。 答 (1) 。 (2) 。 点评 利用整数指数幂的运算法则求解。 目标二： 根式 根式的定义和性质 知识讲解 互动探究 新课引入 根式的定义:当 有意义的时候, 称为根式, 称为根指数, 称为被开方数。 n 次方根的定义: 一般地, 给定大于 1 的正整数 n 和实数 a, 如果存在实数 x, 使得 =a, 则 x 称为 a 的 n 次方根。 序号 n次方根性质 ① 的任意正整数次方根均为 ，记为 。 ② 正数的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为的次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当且为偶数时，在实数范围内没有意义。 ③ 任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为。而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数。 10 根式的定义和性质 知识讲解 互动探究 新课引入 开方与乘方: 求 a 的 n 次方根的运算称为开方运算。开方运算与乘方运算是互逆的运算。两种运算不能相混, 如求 3 的四次方, 结果是 3^4=81, 而求 3 的四次方根, 结果是 ±∜3。 根式的性质 ① 。 ② 根式的符号 根式 的符号由根指数 的奇偶性及被开方数 的符号共同确定: ① 当 为偶数时, 为非负实数。 ② 当 为奇数时, 的符号与 的符号一致, 时, ; 时, ; 时, 。 11 根式的定义和性质 知识讲解 互动探究 新课引入 与 的区别 ① 是实数 的 𝑛 次方根, 是一个恒有意义的式子, 不受 𝑛 的奇偶性限制, 但这个式子的值受 𝑛 的奇偶性限制。其算法是对 𝑎 先乘方, 再开方(都是 𝑛 次), 结果不一定等于 𝑎, 当 𝑛 为奇数时, 𝑎; 当 𝑛 为偶数时, =|𝑎|= ② 是实数 𝑎 的 𝑛 次方根的 𝑛 次幂, 其中实数 𝑎 的取值由 𝑛 的奇偶性决定。其算法是对 𝑎 先开方, 后乘方(都是 𝑛 次), 结果恒等于 𝑎。 12 对点体验 (多选)下列结论正确的是( )。 A. B. 16 的 4 次方根是 C. D. 解 , 故 A 不正确; 由 次方根的性质知, B 正确; , 故 C 不正确; 因为 , 所以 , 故 D 正确。 答 BD 对点体验 化简: (1) ; (2) ( 且 )。 答 (1) 。 (2) 当 是奇数时, 原式 。 当 是偶数时, 因为 , 所以 。 所以原式 。 所以 点评 对于(1), 先乘方再开方; 对于(2), 由于根指数与被开方数都用字母表示, 需讨论 n 的奇偶性。 对点体验 若 ，则实数 的取值范围是( )。 A. B. C. D. D 【解析】 左边 ，所以 ，即 ，所以 。故选 D。 化简 () 的结果是________。 目标三： 分数指数幂 分数指数幂的意义 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。 (2)正分数指数幂可定义为: ① ; ② , 且 )。 (3)负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可定义为 , 且 )。 (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 17 对点体验 下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是________。(填序号) ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ 。 ① × , 故①错误 ② × 当 时, , 故②错误 ③ √ , 故③正确 ④ × , 故④错误 ⑤ √ , 故⑤正确 用分数指数幂可表示为________。 解 方法一(由内向外化): 用分数指数幂可表示为________。 方法二(由外向内化): 。 分数指数幂与整数指数幂的区别与联系 分数指数幂 , 且 )和整数指数幂 都是有理数指数幂,都可以利用有理数指数幂的运算法则进行计算,这是它们相同的部分。但整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,而分数指数幂 不可理解为 个 相乘,它是根式的另一种写法,规定: , 且 ), , 且 )。在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式不同而已。 目标四： 实数指数幂 有理指数幂 知识讲解 互动探究 新课引入 现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂）. 一般情况下，当 与 都是有理数时，有运算法则： , , . 例如， , , , , . 23 对点体验 求证：如果 𝑎>𝑏>0，𝑛 是大于 1 的自然数，那么 证明： 假设 ，即 或 ， 根据不等式的性质与根式的性质，得 或 . 这与 矛盾，因此假设不成立，从而 . 利用此例的结论，可以证明： （1）如果 ， 是正有理数，那么 ; （2）如果 ， 是正有理数，那么 ，; （3）如果 ，，且 与 均为有理数，那么 . 无理指数幂 知识讲解 互动探究 新课引入 有理指数幂还可以推广到无理指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想. 应该怎样理解 这个数呢？ 根据前面的知识，猜测 与 的相对大小，以及 与 的相对大小. 不难猜出，. 就像在计算圆的面积时，我们常常取 为 3.14 一样，在精度要求不高的前提下，我们可以认为 . 因为 是一个无理数（即无限不循环小数），我们写不出它的精确的小数形式，但是因为 ，所以 . 同样 , , , . 25 无理指数幂 知识讲解 互动探究 新课引入 也就是说，两个序列 ; 中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近 ，从而两个序列 ; 中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是 . 26 无理指数幂 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，当 a>0 且 t 是无理数时， 都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值. 因此，当 a>0，t 为任意实数时，可以认为实数指数幂 都有意义. 可以证明，对任意实数 s 和 t，类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立. 27 对点体验 化简下列各式： (1) ; (2) . 解： (1) 原式 . (2) 原式 . 对点体验 计算下列各式的值： (1) ; (2) .. 解： (1) . (2) . 目标五： 典型例题 化简与求值 例1 计算下列各式： ； ； ； 。 典例分析 牛刀小试 解 负化正、大化小、根式化为分数指数幂、小数化分数是简化运算的常用方法。 答 (1) 原式 。 原式 。 原式 。 化简与求值 例1 计算下列各式： ； ； ； 。 典例分析 牛刀小试 解 负化正、大化小、根式化为分数指数幂、小数化分数是简化运算的常用方法。 (4)原式 。 点评 (1) 在进行指数幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化成分数，将根式化为分数指数幂，再将底数（较大的整数分解质因数）化成指数幂的形式，最后利用实数指数幂的运算法则进行化简。 化简与求值 例2 化简： (1) ；(2) 。 典例分析 牛刀小试 答 (1) 原式 。 原式 。   化简指数幂的几个常用技巧如下： ① ；② ； ③ 1 的代换，如 等； ④ 乘法公式的常见变形，如 等。 化简与求值的常用方法与技巧 (1)在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算。 (2)对于根式的计算结果，并不要求统一表示形式，但一般用分数指数幂的形式来表示。若有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简的形式。 (3)在幂的四则混合运算中，运用乘法公式进行化简，能起到化繁为简的作用。要注意的是： ①要把幂作为一个整体（一个字母、一个数）来看待； ②要注意幂指数间的倍数关系，如 1×2=×3=⋯，-1=×2=×3=⋯； ③为了突出运用公式的“层次”，可根据需要引入辅助元（如设 等）。 (4)常用的变换方法： ①小数化分数，根式化为分数指数幂。 ②如果指数是负数，则对调底数的分子和分母，并将负指数变为正指数。 ③把分数指数幂、负指数幂看作一个整体，借助有理式中的乘法及因式分解的公式进行变形。 有附加条件的求值问题 例3 (1)已知 , 且 , 求 的值; (2)已知 , 求 的值。 。 典例分析 牛刀小试 答 (1) , 。 , 。 , 。   引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式等就有了新的形式，被赋予了新的活力。运用这些公式的变形，可快速巧妙求解。 条件等式求值的原则和方法技巧 (1)原则:对于条件等式的求值问题,可以把所要求的式子先进行变形,找出与条件等式的联系,然后求值;也可以先对条件加以变形,使它与所要求的式子的联系更加明显,从整体上把握代数式的结构特点,然后求值。 (2)方法技巧:乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想。 某些例题中,要注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用。因为平方差公式一般在使用中一目了然,而立方和、立方差公式却不易被觉察到。 如 ; ; 幂的综合计算问题 例4 已知 ，且 ，求证：。 。 典例分析 牛刀小试 答 令 ，则 ，，。因为 ，所以 ，即 ，所以 。 对于指数幂等式的证明，常常是将指数幂化为同底，利用指数幂相等的规律进行证明。解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，从而使问题迅速得到解决。 方法技巧 (1)解决有关幂的综合问题时，首先，要善于观察、分析，并对它进行适当的变形，以创造运用公式和幂的有关性质的条件，然后再进行化简、求值；其次，要注意方程思想、整体思想、化归与转化、换元等数学方法的运用。 目标六： 针对训练 举一反三 1.已知 ，则 () A. B. C. D. 解析： .故选 B. 2.（多选）以下运算结果等于 2 的是() A. B. C. D. 解析： 对于 A, ，不符合题意； 对于 B, ，符合题意； 对于 C, ，符合题意； 对于 D, ，符合题意.故选 BCD. 举一反三 3.（多选）下列表达式不正确的是() A. B. C. D. 解析： 由指数幂运算法则知 A，B 正确； 对 C，，故 C 错误； 对 D，，故 D 错误.故选 CD. 举一反三 4.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A. B. C. D. 解析： 对 A，当 时，，故 A 错误； 对 B，，故 B 正确； 对 C，，故 C 错误； 对 D，，故 D 正确.故选 BD. 举一反三 5.已知 ，，，化简 . 解析： ，，. ，， 当 是奇数时，原式 ； 当 是偶数时，原式 . 举一反三 6.正实数 满足：，若 ，，求 的值. 解析： 最小次幂换元，设 ，， 则条件化为 ，所以 ，， 所以原式 .   目标七、：小结 学海拾贝 本节课我们完成了指数幂的完整拓展，梳理核心知识、方法与易错点，总结如下： 一套概念体系： 指数幂完成三级拓展——正整数指数幂→整数指数幂（零指数、负整数指数）→有理数指数幂（分数指数）→实数指数幂。明确n次方根与根式的定义，牢记奇次根式、偶次根式的取值规律：奇次根式唯一存在，偶次根式非负、成对出现。 学海拾贝 3. 四大运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加： 幂的乘方，底数不变，指数相乘： 积的乘方，等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘： 同底数幂相除，底数不变，指数相减： 学海拾贝 4. 易错重点提醒： 一是偶次根式化简结果非负，避免符号错误；二是分数指数幂底数必须非负，负数不能随意开偶次方；三是实数指数幂运算优先统一形式，优先化根式为分数指数幂再计算，简化运算过程。 5. 后续铺垫： 本节课的实数指数幂运算，是下一节指数函数的基础，熟练掌握化简、求值技巧，才能更好地研究指数函数的图像与性质。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $