专题06 平面向量（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题06 平面向量 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）在四边形中，，设．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，过作，又，∴四边形是平行四边形． ，又．， 又，则．故选B． 二、填空题 2．（2026·浙江预赛）设为平面上的单位向量，且．若，则 的最小值为_____． 【答案】 【详解】因为． 设为原点，令，则，是以为邻边的平行四边形另一个顶点，，其中在上，且． 又为线段上的动点，记为． 所以的最小值即为动点到定点距离之和最小值， 由对称性得点即为与交点，距离之和最小值为． 3．（2026·苏州预赛）已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】因为是中点，所以，由， 代入得：， 又，，因此，， 代入得：， 因为在上，由三点共线的向量性质可得：， 令，则 ，即求的最小值，令， 将代入得： 这是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值： ， 故的最小值为. 4．（2026·新疆预赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】设，， 则. 令，原式 法一：令，则， 求导得：，得（舍负） 易知在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，最大值为. 法二：原式 当且仅当时，最大值为. 5．（2026·贵州预赛）设点是三边的垂直平分线的交点，且，点满足，则的最小值是_____________________． 【答案】 【详解】由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故， 因为， 所以， ，且， 故， 已知，可得， 则， 将代入目标式： ， 当时，为最小值． 6．（2025·广东预赛）已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】 【详解】不妨设的外接圆半径，则是平行四边形，因其四边的平方和等于对角线平方和，即，得，于是 因为或，故． 7．（2025·广西预赛）已知的外心为，且，则__________． 【答案】 【详解】不妨设的外接圆半径为1．由得，，故． 同理可得． ． ， ． ． 8．（2025·广东预赛）平面上有三个同心圆，半径分别为．任取三个点，满足点在圆上（），则的最大值为_____． 【答案】42 【详解】将圆心视为复平面的原点，三个点记为，则，所求为的最大值．但注意恒等式 故，当时等号成立．取，等号成立． 9．（2025·江苏预赛）在中，，点为内心．设，若，则_____． 【答案】 【详解】由勾股定理的逆定理知以为直角．内切圆半径为，故内切圆与的切点满足模长均为1，于是在正方形中易见 故． 10．（2025·吉林预赛）已知为三内角，向量．如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值是_____ 【答案】 【详解】 ， ， 等号成立仅当．令，因， 所以，是椭圆上的动点．故点， 设，则 当时，． 即． 11．（2025·浙江预赛）设非零向量满足，则夹角的最小值为_____． 【答案】 【详解】解法1：当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形． 将不等式两边同时除以，得， 因此题设不等式等价为，其中为单位向量． 记夹角为，那么， 即，从而，得． 解法2：将已知条件两边平方得， 令，变形得， 所以（以下略）． 12．（2024·贵州预赛）已知的外心为，，若有最大值，则参数_____． 【答案】 【详解】依题意，，且 则， 所以且． 13．（2024·福建预赛）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【详解】如图，点在以为圆心，1为半径的圆上，且由极化恒等式， 所以的最大值为5． 14．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，，，， 于是，． 由向量与向量垂直，得到． ， 当，时，取到最小值． 15．（2024·内蒙古预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：的外接圆半径， 则点在优弧（不包括端点）上， 可知当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值， 取的中点，连接，则， 可得， 所以线段的最大值为． 16．（2024·上海预赛）已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】 如图，不妨设，则四点共圆． 由于，于是． 综上可知的最大值为． 17．（2024·重庆预赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由条件知： ， 由余弦定理，得， 即，解得， 故最大角为角，由余弦定理得． 三、解答题 18．（2026·江苏预赛）已知向量，．记集合，求集合中非零向量的模的最小值及所对应的向量． 【详解】记，． 作整数基变换，． 由于， 该变换为可逆整数变换，故． 任取非零向量，则 ． 若，则；若，则因而有， 从而，且等号仅在时成立． 因此，T中非零向量模的最小值为，对应的向量为和． 19．（2026·四川预赛）给定正整数.设，，，是平面单位向量，满足：对，均有.求的最小值. 【详解】解：由条件知，，，，分布在一个跨度为的扇形内.由于将，，，同时旋转一个角度，整体旋转不改变向量和的模长，即的值不变，故可旋转扇形使其两条边界分别与轴正半轴重合，所有单位向量辐角满足，不妨设，，，都在第一象限或者轴和轴的正半轴，且逆时针分布. 下面先证一个引理： 引理：已知，，定义上的函数， 则. 证明：由辅助角公式可知，这里， ，.从而， 所以在上先增后减， 最小值在边界或取到，所以 引理证毕. 回到原题：设，其中，，，，. 于是， ， 对任意的正整数，有 . 将上式右边记为，由引理可知，. 即取最小值时，对任意的正整数，都有. 不妨设个向量沿轴，，个向量沿轴，，则向量和， 则，当时，可取等号. 当时，， 当时，或， 此时，， 因此，的最小值为：. 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）平面向量满足，且，则_______． 【答案】4 【详解】由，且可知．从而． 2．（2026·全国联赛B卷）设平面向量满足，则_____． 【答案】 【详解】两式相加、相减，得， 因此． 3．（2025·全国联赛A卷）平面中的3个单位向量满足（其中表示不超过实数的最大整数），则的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】由及，可知． 若，则，此时为偶数，不可能为1，矛盾． 若，则，此时（相应的例子存在，例如与的夹角为锐角时，由知）． 若，不妨设． 记． 当或时，，当时，，均不合要求． 当时，，满足要求，此时 ， 综上，的取值范围是． 4．（2025·全国联赛B卷）平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 【答案】． 【详解】由条件知，结合三角不等式知 ． 当时，取到最大值2． 当时，取到最小值． 因此的最大值与最小值之和为． 5．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由，不妨设，其中，并设，则由得，由得． 所以． 取，此时取到最小值． 6．（2023·全国联赛B卷）平面上五点满足，则的值为_____． 【答案】3 【详解】记．由条件知，于是 7．（2022·全国联赛A1卷）若满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】由条件知，于是 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）在四边形中，，设．若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·浙江预赛）设为平面上的单位向量，且．若，则 的最小值为_____． 3．（2026·苏州预赛）已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 4．（2026·新疆预赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________. 5．（2026·贵州预赛）设点是三边的垂直平分线的交点，且，点满足，则的最小值是_____________________． 6．（2025·广东预赛）已知三角形的外心满足，则_____． 7．（2025·广西预赛）已知的外心为，且，则__________． 8．（2025·广东预赛）平面上有三个同心圆，半径分别为．任取三个点，满足点在圆上（），则的最大值为_____． 9．（2025·江苏预赛）在中，，点为内心．设，若，则_____． 10．（2025·吉林预赛）已知为三内角，向量．如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值是_____ 11．（2025·浙江预赛）设非零向量满足，则夹角的最小值为_____． 12．（2024·贵州预赛）已知的外心为，，若有最大值，则参数_____． 13．（2024·福建预赛）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 14．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 15．（2024·内蒙古预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 ． 16．（2024·上海预赛）已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 ． 17．（2024·重庆预赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 ． 三、解答题 18．（2026·江苏预赛）已知向量，．记集合，求集合中非零向量的模的最小值及所对应的向量． 19．（2026·四川预赛）给定正整数.设，，，是平面单位向量，满足：对，均有.求的最小值. 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）平面向量满足，且，则_______． 2．（2026·全国联赛B卷）设平面向量满足，则_____． 3．（2025·全国联赛A卷）平面中的3个单位向量满足（其中表示不超过实数的最大整数），则的取值范围是_____． 4．（2025·全国联赛B卷）平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 5．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量满足，则的最小值为_____． 6．（2023·全国联赛B卷）平面上五点满足，则的值为_____． 7．（2022·全国联赛A1卷）若满足，则的值为_____． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $