专题04 三角函数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题04 三角函数 一、填空题 1．（2026·江西预赛）已知函数有零点，则的最小值为________. 【答案】2 【详解】的最小值，等价于点到动直线的距离平方的最小值， 点到动直线的距离平方记为， 则，令， 有，故所求的最小值为2， 且当，即，，，时可取到. 代入原函数得，有零点，满足条件. 所以的最小值为2. 2．（2026·江西预赛）若，则________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 从而. 3．（2026·江苏预赛）已知为实数，函数，．若为奇函数，则的值为________． 【答案】 【详解】令，由，得 ． 因为为奇函数，故余弦项和常数项的系数均为零：，． 因而，，所以． 4．（2026·苏州预赛）已知，则________． 【答案】 【详解】∵ ， ∴ ，， ∴ ，． ∴ 5．（2026·山东预赛）函数的值域为______________. 【答案】 【详解】法一：设，则， 由辅助角公式得， 所以. 解得. 法二：函数， 函数值等价于点到单位圆上一点连线的斜率， 如图所示： 设直线方程为：，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 故. 6．（2026·重庆预赛）已知函数的图象与直线在区间上恰有3个交点，从左往右依次为，，，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】令，设，． 在轴上，解依次为，，，，… 由于恰有 个交点，这三个解必须在范围内，则第四个解必须在范围外， 因此. 由题可知，即， 所以，解得． 于是，故． 将代入，得， 所以，因此． 7．（2026·新疆预赛）__________. 【答案】 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 8．（2025·江西预赛）函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____． 【答案】33 【详解】题设条件等价于存在整数使得 所以得．又，所以．又注意到符合题设条件，故所求最大值为33． 9．（2025·广东预赛）已知正实数满足对任意的实数均有，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】即对任意实数成立． 令，条件即对恒成立． 因开口向上，对称轴，故要么且，要么且． 若为前一种情况，则且+，于是，得，故． 若为后一种情况，则，又由柯西不等式， 故，得． 综上，，当且即且时，，符合要求，且此时2 10．（2025·贵州预赛）计算：_____． 【答案】 【详解】因为，所以有． 11．（2025·江苏预赛）_____． 【答案】 【详解】原式 ． 12．（2025·新疆预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，令，则，解得． 13．（2025·北京预赛）若存在实数使得不等式成立，则正实数的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】记，即题目相当于要求存在使得．注意到，无论与1的大小关系如何，，故题目相当于要求，即． 14．（2024·广东预赛）若为锐角且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 设 ，等号成立时． 所以的最大值为． 15．（2024·江苏预赛）设，则函数的最大值为_____． 【答案】 【详解】， 则在区间上单调递减， 所以函数的最大值为． 16．（2024·江苏预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】，由于， 则，依题意，． 于是，所以的取值范围为． 17．（2024·贵州预赛）_____．(用数字作答) 【答案】0 【详解】 注意到，所以． 18．（2024·北京预赛）已知函数，且为奇函数． 若方程在上有四个不同的实数解 ，则的平方值为 ． 【答案】 【详解】 ， 为奇函数的图像关于点对称， 所以，所以， ， ， 方程，即方程在上有四个不同的实数解， 则或，即或， 当，即时， 则，， ， 当，即时， ， ， ， 所以，的平方值为． 19．（2024·吉林预赛）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的值为_____． 【答案】或． 【详解】所以， ， 所以， 所以关于直线对称． 又， 因为关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 所以的图象在上有奇数个不同的交点， 因为关于直线对称， 所以时，的图象在上有奇数个不同的交点， 因为区间是半开半闭区间， 所以时，的图象在上有奇数个不同的交点， 综上的值为或． 20．（2024·江西预赛）的值为_____． 【答案】 【详解】 而， 所以． 21．（2024·浙江预赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】 【详解】令，， 当时，原函数变形为， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 故或， 所以或， 当时，． 综上可得，， 所以函数的最大、最小值分别为，其积为． 22．（2024·新疆预赛）已知，则在上所有根的和为_____． 【答案】60 【解析】因为，所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称，在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 23．（2024·新疆预赛）计算：_____． 【答案】 【解析】原式 ，．① 又 将代入所以①式得原式． 二、解答题 24．（2025·吉林预赛）已知为一实数，，证明：对于所有的自然数， 的值为正数． 【详解】令，利用， 得 如果等号成立，则有，但因，故．于是得． 又因，所以． 一、填空题 1．（2025·全国联赛B卷）若，则的值为_____． 【答案】0． 【详解】，故． 2．（2023·全国联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为_____． 【答案】 【详解】将代入方程，整理得，解得 上述解亦可写成，其中对应最小的20个正实数解，它们的和为． 3．（2022·全国联赛B1卷）设，若，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故 解得． 二、解答题 4．（2025·全国联赛A卷）设为实数，，为正整数，且． 证明：． 【详解】不等式两边乘以，化简为 事实上，我们证明 ① 记．存在整数，使得，记 则．易知 ② ③ 由于，由②知，故． 若，则，故由②、③知 ， 即． 若，则对，利用的上凸性易知，故 这就证明了①，从而原不等式得证． 5．（2023·全国联赛B卷）将方程的所有正实数解从小到大依次记为．求的值． 【详解】由于，原方程等价于．所以 其中所有正实数解为或，故 从而 6．（2022·全国联赛B卷）若为实数，，函数在闭区间上的最大值与最小值之差为1，求的取值范围． 【详解】根据正弦函数的图像特征，若，则(a，b)内存在的一个最值点与一个零点，取充分小的正数，使得区间，此时异号，故存在，使得与异号，则，矛盾． 若，则在上的最大值点与最小值点必为一个长度小于的单调区间的两个端点与，而，矛盾． 另一方面，令，则在上的最大值为1，最小值为0，符合要求．此时可取遍中的值． 又令，则在上的最大值为，最小值为，符合要求．当时，，当时(并且当在中连续变化时，的值连续变化)，从而可取遍中的值． 综上，的取值范围是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数 一、填空题 1．（2026·江西预赛）已知函数有零点，则的最小值为________. 2．（2026·江西预赛）若，则________. 3．（2026·江苏预赛）已知为实数，函数，．若为奇函数，则的值为________． 4．（2026·苏州预赛）已知，则________． 5．（2026·山东预赛）函数的值域为______________. 6．（2026·重庆预赛）已知函数的图象与直线在区间上恰有3个交点，从左往右依次为，，，且，则的取值范围为________． 7．（2026·新疆预赛）__________. 8．（2025·江西预赛）函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____． 9．（2025·广东预赛）已知正实数满足对任意的实数均有，则的最大值为_____． 10．（2025·贵州预赛）计算：_____． 11．（2025·江苏预赛）_____． 12．（2025·新疆预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围为 ． 13．（2025·北京预赛）若存在实数使得不等式成立，则正实数的取值范围是_____． 14．（2024·广东预赛）若为锐角且，则的最大值为_____． 15．（2024·江苏预赛）设，则函数的最大值为_____． 16．（2024·江苏预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和两个零点，则的取值范围为_____． 17．（2024·贵州预赛）_____．(用数字作答) 18．（2024·北京预赛）已知函数，且为奇函数． 若方程在上有四个不同的实数解 ，则的平方值为 ． 19．（2024·吉林预赛）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的值为_____． 20．（2024·江西预赛）的值为_____． 21．（2024·浙江预赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 22．（2024·新疆预赛）已知，则在上所有根的和为_____． 23．（2024·新疆预赛）计算：_____． 二、解答题 24．（2025·吉林预赛）已知为一实数，，证明：对于所有的自然数， 的值为正数． 一、填空题 1．（2025·全国联赛B卷）若，则的值为_____． 2．（2023·全国联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为_____． 3．（2022·全国联赛B1卷）设，若，则的值为_____． 二、解答题 4．（2025·全国联赛A卷）设为实数，，为正整数，且． 证明：． 5．（2023·全国联赛B卷）将方程的所有正实数解从小到大依次记为．求的值． 6．（2022·全国联赛B卷）若为实数，，函数在闭区间上的最大值与最小值之差为1，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $