专题05 解三角形（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题05 解三角形 一、单选题 1．（2026·吉林预赛）在中，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即 所以，由正弦定理边角互化得,故， 又， 所以， 所以，． 又，． 所以，时，有最大值． 二、填空题 2．（2026·福建预赛）在中，内角所对的边分别为，若，且成等比数列，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为为的三边，所以． 又成等比数列，且，所以，且． 所以，或，则，解得， 所以的取值范围为． 3．（2026·湖北预赛）在中，，作交于点，若，则______． 【答案】 【详解】  如图，作于点，设，， 因为，所以，所以，. 因为，所以. 由于，所以，，解得. 又因为，所以. 由勾股定理得，解得. 所以. 4．（2026·湖北预赛）在中，，分别在，上，和交于点，直线分别与，交于点，，若，，则______． 【答案】 【详解】由题可知是完全四边形，对角线被另外两条对角线、截得点、， 满足调和分割关系： 已知，，因此， 设，则，代入调和公式得：， 计算得，整理得，解得，即. 5．（2026·苏州预赛）在中，已知，的面积为，则的大小为_____. 【答案】 【详解】因为，则，所以为钝角， 又的面积为，则，又， 所以，则. 6．（2026·江苏预赛）在锐角中，，，若其面积为3，则________． 【答案】3 【详解】记，，，三角形面积为．由面积公式及锐角条件， ． 由余弦定理，，． 所以，， 故． 7．（2026·山东预赛）若三角形边长均大于1且满足，则该三角形的形状为______________. 【答案】直角三角形 【详解】由题意可知， 由换底公式可得：， 即，即，即， 所以，由勾股定理的逆定理可得：三边长为的三角形为直角三角形. 8．（2026·贵州预赛）在中，若，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】在中，，则， 通分化简可得， 由正弦和角公式可得，所以， 由正弦定理代入可得，即， 又由余弦定理， 代入可得， 所以，当且仅当时取等号， 则，所以， 即，所以，则的最大值为. 9．（2025·重庆预赛）在中，的最小值为_____． 【答案】3 【详解】由余弦定理及均值不等式，，所以．于是由 正弦定理，原式．令，则．又当时，原式．故原式的最小值为3． 10．（2025·福建预赛）在中，，，若为线段的中点，为线段的靠近点的三等分点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 【详解】如图，设． 因为，为线段的中点，为线段的靠近点的三等分点， 所以在与中，由余弦定理得，，故． 另一方面，由，在中由余弦定理可得， ，整理得， 配方得． 设，则． 所以 ． 其中为锐角，． 所以当，即时，取最大值． 所以的最大值为． 注：此时． 11．（2025·广东预赛）已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】 【详解】不妨设的外接圆半径，则是平行四边形，因其四边的平方和等于对角线平方和，即，得，于是 因为或，故． 12．（2025·广东预赛）设是一个正方形，点在正方形内，满足，且．若，则的长度为_____． 【答案】． 【详解】连后导角可知，其相似比为，由1知． 13．（2025·广西预赛）已知的外心为，且，则_______． 【答案】 【详解】不妨设的外接圆半径为1．由得，，故． 同理可得． ． ， ， ． 14．（2025·江苏预赛）已知的面积为2，，则的范围为_____． 【答案】． 【详解】三角形面积恒为2，且恒定，故以为底的三角形的高恒为2，故若在平面直角坐标系中考虑令，而，其中为任意实数，则当时，当时 其中，故．当时的相当于的情况下的，因此范围为．综上，所求范围为． 15．（2025·北京预赛）在中，．已知，则的外接圆半径为_____． 【答案】 【详解】条件即， 两边同时约掉，并注意2， 可得． 于是，得，即． 16．（2024·江苏预赛）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 【答案】 【详解】如图，设， 则． 于是，从而． 所以该圆的直径长为． 17．（2024·贵州预赛）在中，角所对的边分别是，若，且，则周长的取值的集合为_____． 【答案】 【详解】 如图，在的条件下，满足三角形两边之和大于第三边的情况为， 其中， 又显然直线与圆弧相切，于是 所以周长的取值的集合为． 18．（2024·四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理和已知条件得，则， 所以， 因为，即， 则，即，结合，解得， 设，则， 有 ， 令，解得， 当，，此时在单调递增； 当，，此时在单调递减； 所以 ， 所以面积的最大值为． 19．（2024·吉林预赛）在中，平分交于平分交于，且，则的度数为_____． 【答案】或． 【详解】设三边的长为． 因为，所以， 得． 又平分，所以，得，即． 同理． 由余弦定理得，即． 又，所以． 从而． 即， 得或， 所以或． 所以或． 当时，． 当时，． 故的度数为或． 20．（2024·广东预赛）设均为非零实数，满足．在中，若，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】不妨设，则 ， 于是， 从而． 所以 ， 其中． 设， ， 则在上单调递增，在上单调递减， 即． 综上，的最大值为． 三、解答题 21．（2026·广东预赛）设是一个凸四边形，延长，交于点．已知，，．求． 【详解】    以中点为原点，方向为轴正方形，为单位长度建立平面直角坐标系， 则，，，且， 由双曲线的第二定义可知点 都在以为焦点的双曲线上， 设的直线方程为，代入双曲线方程可得， 因此两点的横坐标是方程的两个根， ， 所以， 再由知， 所以，两边平方并去分母整理得， 解得或（舍）， 而当时，以为根的一元二次方程的二次项系数与常数项符号相反，故一正一负，符合题意，因此 22．（2026·甘肃预赛）若的内角的对边分别为的面积记为且， （1）若，求； （2）求的取值范围． 【详解】（1）由， 则， 则 由三角形内角和，可得： 代入化简：由诱导公式得：， 所以，由，所以：． （2） 综上得的取值范围： 由正弦定理： 已知 可得边长表达式：， 由二倍角公式， 代入化简：， 因 由，得因此 的取值范围为． 23．（2026·重庆预赛）已知的内角，，满足，求的值． 【详解】由，得． 化简：． 所以． 由于，故括号内为正，因此，即． 于是，原条件变为． 有，所以． 因为右边为正，所以． 设，则，即，． 分解：． 因为．所以，解得． 于是． 又由，得，因此． 因为．所以． 24．（2025·江苏预赛）设为的三个内角，求的最大值． 【详解】原式= 只须证明．不妨设为最小角，则，故左式为 综上得证． 25．（2025·新疆预赛）设的三个内角所对应的边分别为． （1）若且，求角； （2）若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 【详解】（1） ， 当，即 当，即，矛盾，舍 综上所述： （2），由正弦定理得，即或（舍）， 由中线长定理得， ，， ， 当且仅当即时，面积取到最大值为6． 26．（2024·贵州预赛）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)试用尺规作图画出下图中的费马点；(保留作图痕迹并写出简单的证明过程) (2)已知的内角所对的边分别为且，点为的费马点，求； (3)点为的费马点，，求实数的最小值． 【详解】(1)如图，以为边，向外作正三角形和，连接和交于点，则即为的费马点． 证明：将绕点逆时针旋转至，则为正三角形， 结合，知四点共线， 同理三点共线． 所以为与的交点． (2)， 则 或，矛盾． 如图， 又， 代入式得． 所以． (3)由(2)知，设， 则 代入，得． 所以实数的最小值为． 27．（2024·新疆预赛）设均为非零实数，且满足． （1）求的值； （2）在中，若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）令，则， 同时除以，得． 所以，即． 故． （2）由（1）得，因为，所以，从而， 则． 所以 因为，所以． 令， 令，得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值． 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）在中，已知，则__________． 【答案】 【详解】由及条件，可知 ． 2．（2026·全国联赛B卷）在中，已知，则_____． 【答案】 【详解】三角形至少有两个锐角，而三角的正切值同号，故均为正． 设，其中． 由，有， 故，解得， 因为锐角，故． 3．（2022·全国联赛B卷）若的三个内角满足，则的值为_____． 【答案】2 【详解】由知． 假如，则，此时，矛盾． 从而只能是，进而有．所以 这等价于．进而． 二、解答题 4．（2024·全国联赛A卷）在中，已知，求的值． 【答案】 【详解】由条件知． 假如，则，但，矛盾． 所以只可能．此时． 注意到，故，所以，结合条件得 又，化简得，解得． 5．（2024·全国联赛B卷）在中，已知，求的值． 【答案】 【解析】， 若，则， 于是，矛盾： 因此，则， 于是， 两边平方得，解得(舍去)． 综上，． 6．（2022·全国联赛A卷）若的内角满足，求的值． 【答案】 【详解】由知，但有意义，故不为直角，从而只能是，进而有． 所以，从而 上式等价于，于是 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解三角形 一、单选题 1．（2026·吉林预赛）在中，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·福建预赛）在中，内角所对的边分别为，若，且成等比数列，则的取值范围为_____． 3．（2026·湖北预赛）在中，，作交于点，若，则______． 4．（2026·湖北预赛）在中，，分别在，上，和交于点，直线分别与，交于点，，若，，则______． 5．（2026·苏州预赛）在中，已知，的面积为，则的大小为_____. 6．（2026·江苏预赛）在锐角中，，，若其面积为3，则________． 7．（2026·山东预赛）若三角形边长均大于1且满足，则该三角形的形状为______________. 8．（2026·贵州预赛）在中，若，则的最大值为_____. 9．（2025·重庆预赛）在中，的最小值为_____． 10．（2025·福建预赛）在中，，，若为线段的中点，为线段的靠近点的三等分点，则线段长度的最大值为_____． 11．（2025·广东预赛）已知三角形的外心满足，则_____． 12．（2025·广东预赛）设是一个正方形，点在正方形内，满足，且．若，则的长度为_____． 13．（2025·广西预赛）已知的外心为，且，则_______． 14．（2025·江苏预赛）已知的面积为2，，则的范围为_____． 15．（2025·北京预赛）在中，．已知，则的外接圆半径为_____． 16．（2024·江苏预赛）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 17．（2024·贵州预赛）在中，角所对的边分别是，若，且，则周长的取值的集合为_____． 18．（2024·四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ． 19．（2024·吉林预赛）在中，平分交于平分交于，且，则的度数为_____． 20．（2024·广东预赛）设均为非零实数，满足．在中，若，则的最大值为_____． 三、解答题 21．（2026·广东预赛）设是一个凸四边形，延长，交于点．已知，，．求． 22．（2026·甘肃预赛）若的内角的对边分别为的面积记为且， （1）若，求； （2）求的取值范围． 、 23．（2026·重庆预赛）已知的内角，，满足，求的值． 24．（2025·江苏预赛）设为的三个内角，求的最大值． 25．（2025·新疆预赛）设的三个内角所对应的边分别为． （1）若且，求角； （2）若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 26．（2024·贵州预赛）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)试用尺规作图画出下图中的费马点；(保留作图痕迹并写出简单的证明过程) (2)已知的内角所对的边分别为且，点为的费马点，求； (3)点为的费马点，，求实数的最小值． 27．（2024·新疆预赛）设均为非零实数，且满足． （1）求的值； （2）在中，若，求的最小值． 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）在中，已知，则__________． 2．（2026·全国联赛B卷）在中，已知，则_____． 3．（2022·全国联赛B卷）若的三个内角满足，则的值为_____． 二、解答题 4．（2024·全国联赛A卷）在中，已知，求的值． 5．（2024·全国联赛B卷）在中，已知，求的值． 6．（2022·全国联赛A卷）若的内角满足，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $