专题07 复数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题07 复数 一、填空题 1．（2026·浙江预赛）设关于的一元二次方程的两个根为，且，，则的最大值为_____． 2．（2026·江西预赛）已知复数满足，则的最大值为________. 3．（2026·湖北预赛）设，，其中为虚数单位，．设所有能表示为形式的数之和为复数，则______． 4．（2026·四川预赛）已知复数满足，则的最小值为__________． 5．（2026·苏州预赛）设为虚数单位，复数，若，则的值为______. 6．（2026·江苏预赛）已知复数满足．则________． 7．（2026·新疆预赛）设复数满足，使得关于的方程有实数根，则这样的复数的和为__________. 8．（2026·北京预赛）设复数满足，则的最大值为_____． 9．（2026·广西预赛）一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是_________. 10．（2026·上海预赛）复数满足，且，则_________． 11．（2026·广东预赛）四个互不相等的复数的实部和虚部都是非负整数，且，则______． 12．（2026·贵州预赛）已知，且．则_____________________． 13．（2026·内蒙古预赛）满足且的复数有_____个． 14．（2025·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 15．（2025·山东预赛）已知为复数，则满足方程的全部根为_____． 16．（2025·重庆预赛）若实数使得关于的方程有模为3的虚根，则的取值范围为_____． 17．（2025·福建预赛）若是关于的方程的两个虚数根，且，则实数的值为_____． 18．（2025·广西预赛）已知虚数使得和都是实数，则__________． 19．（2025·江苏预赛）设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为_____． 20．（2025·新疆预赛）已知复数，其中，则的取值范围为 ． 21．（2025·北京预赛）关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值是________． 22．（2025·吉林预赛）若复数满足，则的最小值为________． 23．（2024·广东预赛）已知复数，满足，则的最大值为_____． 24．（2024·江苏预赛）设，已知虚数满足，且，则实数的值为_____． 25．（2024·贵州预赛）已知复数满足：，，， 则_____． 26．（2024·北京预赛）设复数满足，令，则的最大值是 ． 27．（2024·福建预赛）已知为方程的三个不同的复数根，则_____． 28．（2024·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 29．（2024·浙江预赛）已知复数满足，则 ． 30．（2024·内蒙古预赛）已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为 ． 31．（2024·新疆预赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若 ，则的取值范围是_____． 32．（2024·上海预赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 ． 33．（2024·重庆预赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 ． 二、解答题 34．（2026·重庆预赛） （1）求证：对任意复数，，，有． （2）若复数满足，求的最大值． 35．（2025·贵州预赛）复数满足求的 最大值． 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）若复数满足，则__________． 2．（2025·全国联赛A卷）若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 3．（2025·全国联赛B卷）设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为_____． 4．（2024·全国联赛B卷）复数（为虚数单位），则的模为_____． 5．（2023·全国联赛A卷）设复数（为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为_____． 6．（2022·全国联赛A卷）若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 7．（2022·全国联赛A1卷）设复数（为自然对数的底数，为虚数单位），则的模为_____． 8．（2022·全国联赛A2卷）设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是_____． 9．（2022·全国联赛B卷）已知复数满足，且，则的值为_____． 10．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合（为虚数单位）．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 二、解答题 11．（2026·全国联赛B卷）若复数满足，求． 12．（2024·全国联赛A卷）设复数满足，求的最小可能值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复数 一、填空题 1．（2026·浙江预赛）设关于的一元二次方程的两个根为，且，，则的最大值为_____． 【答案】3 【详解】由韦达定理知，所以 ， 由得，因此落在以为圆心，2为半径的圆周上， 因此得的最大值为3． 2．（2026·江西预赛）已知复数满足，则的最大值为________. 【答案】 【详解】设，在复平面上对应的点坐标为，满足，即， 设，所以， 在中，由斯特瓦尔特定理并代入化简得， 故有 ， 当，，即，时可以取等. 3．（2026·湖北预赛）设，，其中为虚数单位，．设所有能表示为形式的数之和为复数，则______． 【答案】 【详解】设，，，共有种组合. 固定任意一个下标，剩下个各自都能取或，一共有组搭配. 在这全部组搭配里，有两种选择： ①当时，这部分所有式子中，第项的值恒为，一共出现次，累加和为. ②当时，这部分所有式子中，第项的值恒为，一共出现次，累加和为. 把两种情况的累加和相加，得到第项在全部复数总和里加起来的全部总量 . 则全体和. 等比数列求和.代入化简. 由复数模性质，，. 所以. 4．（2026·四川预赛）已知复数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】设，由得，即， 令，则， ， 故，当时取等号，最小值为． 5．（2026·苏州预赛）设为虚数单位，复数，若，则的值为______. 【答案】0或1 【详解】复数，则， 由， 有，则，，解得或. 6．（2026·江苏预赛）已知复数满足．则________． 【答案】 【详解】由题意，两边同乘z，得． 因而． 7．（2026·新疆预赛）设复数满足，使得关于的方程有实数根，则这样的复数的和为__________. 【答案】 【详解】设. 将原方程改为，分离实部与虚部后等价于 ①， ② 若，则，但当时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故满足条件. 若，则由②知， 代入①解得，进而，相应有. 综上，满足条件的所有复数之和为. 8．（2026·北京预赛）设复数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】设，令，由欧拉公式可得， ， 设，则， 在内唯一临界点为，比较得到，， 且由，则，所以最大值为. 9．（2026·广西预赛）一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是_________. 【答案】 【详解】设第一行另两个小格内填的复数为，，则每行、每列及对角线三个格内的复数和都等于， 于是正中间那一格为，右下方那一格为， 于是含的对角线三个小格内的复数和为，得， 解得，经检验，满足题设要求. 10．（2026·上海预赛）复数满足，且，则_________． 【答案】 【详解】因为由，可得，又， 所以，又 所以，所以． 11．（2026·广东预赛）四个互不相等的复数的实部和虚部都是非负整数，且，则______． 【答案】 【详解】由题可知，的模长的平方都是正整数， 由于且1013是素数，又，则四个模长只能为，，，，因此，最多有两个复数的模为1， 所以中有两个模长为1，剩余两个模长分别为和， 满足题目条件且模长为1的复数仅有1和，模长为的复数仅有，模长为的复数仅有和，因此， 或， 无论哪种情况，均有． 12．（2026·贵州预赛）已知，且．则_____________________． 【答案】 【详解】由， 得， 即， 所以，，从而. 13．（2026·内蒙古预赛）满足且的复数有_____个． 【答案】0 【详解】由得，又由方程得，两边取模得． 设，则 解得，即． 代回原方程：，得，矛盾．故无解，个数为0． 14．（2025·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】由题，所以． 15．（2025·山东预赛）已知为复数，则满足方程的全部根为_____． 【答案】 【详解】由二项式定理展开可知：， 从而，故原方程等价于， 即，进而可知， 因此，， 从而，． 16．（2025·重庆预赛）若实数使得关于的方程有模为3的虚根，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】法一：设方程有模为3的虚根，其中满足． 代入有，从而有且． 注意，所以． 注意，所以． 另一方面，对每一个，可找到一个，使得，且使方程有模为3的虚根． 故的取值范围为． 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为，其中满足． 由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为． 再由韦达定理知． 下同法一． 17．（2025·福建预赛）若是关于的方程的两个虚数根，且，则实数的值为_____． 【答案】1 【详解】方程化为． 依题意，方程两虚数根为． 于是，解得． 所以． 18．（2025·广西预赛）已知虚数使得和都是实数，则_____▲_____． 【答案】 【详解】． 由为实数，为虚数可知． 于是．故． 因此，或者． 19．（2025·江苏预赛）设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为_____． 【答案】6． 【详解】对应的复平面上的点为，分别对应定点，，则，表明在以为直径的圆（即单位圆）上，而是指动点到所对应的定点的距离．设原点与的连线交圆于定点（在之间），则，当时等号成立． 20．（2025·新疆预赛）已知复数，其中，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，由，可得． ．设对应对应，则， 所求即为的取值范围． ， ，即． 的取值范围为． 21．（2025·北京预赛）关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值是_____． 【答案】7 【详解】记这个虚根为，则，故． 于是，得，进而要求．因此，此时，从而，故，表明或须是6的倍数．由知显然．若，则，矛盾．若，取即可． 22．（2025·吉林预赛）若复数满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由复数减法的几何意义可知最小值为． 23．（2024·广东预赛）已知复数，满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 由于，则．设， 于是 从而 所以的最大值为． 24．（2024·江苏预赛）设，已知虚数满足，且，则实数的值为_____． 【答案】 【详解】设，则 ，于是． 所以． 25．（2024·贵州预赛）已知复数满足：，则_____． 【答案】4048 【详解】 则． 于是， 所以． 26．（2024·北京预赛）设复数满足，令，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， ， 复数在复平面上所对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 是以为圆心，为半径的圆上的点到两点间的距离， 到的距离为， 所以，的最大值为． 27．（2024·福建预赛）已知为方程的三个不同的复数根，则_____． 【答案】0 【详解】. 于是． 所以． 或者三次方程为，所以由韦达定理得． 28．（2024·江西预赛）设复数满足，则的值为_____． 【答案】2 【详解】设，则 ． 所以． 29．（2024·浙江预赛）已知复数满足，则 ． 【答案】 【详解】设R）， 由，得，所以， 由，得，所以， ，解得或， 所以． 30．（2024·内蒙古预赛）已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为关于的方程的三个复数根分别为，，， 可得，且， 由①②可得， 因为，可得，即 同理可得，， 各式相乘得 ． 31．（2024·新疆预赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若 ，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】因为，所以． 因为，所以， 从而，所以． 32．（2024·上海预赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 ． 【答案】5 【详解】设为方程的模为1的虚根， 则． 因此， 所以，代回原式得． （1）当， （2）当． 所以正整数的最小值为5． 33．（2024·重庆预赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 ．（其中i为虚数单位） 【答案】 【详解】设（不同时为且）， 则， 因为为纯虚数， 所以，所以或， 当时，， 则当时，， 当时，复数对应的点是以为圆心，为半径的圆（除去实轴、虚轴上的点）， 而表示点与点的距离， 因为，所以点在圆内， 所以， 综上所述，的最小值为． 二、解答题 34．（2026·重庆预赛）（1）求证：对任意复数，，，有． （2）若复数满足，求的最大值，其中为虚数单位． 【详解】（1）证明：， ， ． 三式相加得 另一方面． 所以． 两边相等，原式得证． （2）解：先证明一个引理：对任意复数，，，有．（H） 这是Hlawka不等式．它可由第（1）问的平方恒等式结合三角不等式推出．令． 则． 整理得．（*） 则对于应用不等式可得： ； ； 以此类推反复使用（*），把逐步合并， 得． 因为， 所以． 取，则， 且． 因此最大值为． 35．（2025·贵州预赛）复数满足求的 最大值． 【详解】， ， ，1 同理，． 上式中的等号可以同时成立．例如：当时，；当时，；当时，，这时． 故． 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）若复数满足，则__________． 【答案】 【详解】比较等式两边的虚部，可设． 于是． 由上式实部为0，可知满足方程， 且．平方得，化简得． 进而得到，由此得到． 又，所以（经检验符合要求）．故． 2．（2025·全国联赛A卷）若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 【答案】18 【详解】由于 故 上式为实数当且仅当，即，故所求的最小值为18． 3．（2025·全国联赛B卷）设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为_____． 【答案】 【详解】由，可设，则． 再由可知，得，故． 计算得，因此． 4．（2024·全国联赛B卷）复数（为虚数单位），则的模为_____． 【答案】 【解析】，其模长为． 5．（2023·全国联赛A卷）设复数（为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【详解】．因，而当时，，故的最大值为2． 6．（2022·全国联赛A卷）若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____． 【答案】 【详解】设． 由于为负实数，这等价于，所以且，即且异号． 又此时为纯虚数，故，结合异号，可知．所以． 7．（2022·全国联赛A1卷）设复数（为自然对数的底数，为虚数单位），则的模为_____． 【答案】 【详解】记，则． 因此． 8．（2022·全国联赛A2卷）设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】计算得． 根据条件，存在实数，使得，即有 当取遍一切实数时，的取值范围是． 9．（2022·全国联赛B卷）已知复数满足，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故．因此，结合知．进而． 10．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合（为虚数单位）．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 【答案】 【详解】当时，的值分别为，故．由于的所有元素之和为，即，故． 所以的所有元素之积为． 二、解答题 11．（2026·全国联赛B卷）若复数满足，求． 【详解】比较等式两边的虚部，可设． 于是． 由上式实部为0，可知满足方程， 且．平方得，化简得． 进而得到，由此得到． 又，所以（经检验符合要求）．故． 12．（2024·全国联赛A卷）设复数满足，求的最小可能值． 【详解】解法1：设，则，故 ① 记．对固定的，记，求的最小值． 由，不妨设．我们证明，其中． 当时，， （用到及在上单调增）． 当时， 所以． 当（①取到等号），时，取到最小值． 解法2：设，不妨设其中． 计算得 所以 利用，可得 ① 亦有 ② 注意到方程的正根为． 当时，由①得． 当时，由②得． 因此当时，取到最小值． 解法3：因为，所以我们有 从而上两式最右边各项分别是到复平面中实轴上的点，的距离，所以把换成其实部时，都不会增大．因此只需考虑函数在上的最小值． 因为，因此我们有以下几种情况： 1．若，则，在这一区间上的最小值为 2．若，则，在这一区间上的最小值为 3．若，则，在这一区间上的最小值为 4．若，则，在这一区间上的最小值为 5．若，则，在这一区间上的最小值为 综上所述，所求最小值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $