专题02 函数与函数方程（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题02 函数与函数方程 一、单选题 1．（2026·吉林预赛）已知，记，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林预赛）已知函数，则存在非零实数，使得 A． B． C． D． 3．（2025·吉林预赛）函数的值域是 A． B． C． D． 4．（2024·吉林预赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 二、填空题 5．（2026·四川预赛）设，，若函数的对称中心是，则__________. 6．（2026·浙江预赛）设函数，满足：对任意正整数都有或1，且，则_____． 7．（2026·江苏预赛）设函数的定义域为，且，均有．这样的函数共有________个． 8．（2026·北京预赛）设，则的最小值为_____． 9．（2026·重庆预赛）定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 10．（2026·贵州预赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 11．（2026·吉林预赛）函数的定义域为______． 12．（2026·吉林预赛）已知，则函数的取值范围是______． 13．（2026·福建预赛）已知（，且），若，且，则_____． 14．（2025·山东预赛）在平面直角坐标系中，已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线对称．若，则的值为_____． 15．（2025·重庆预赛）设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_____． 16．（2025·广东预赛）定义在上的函数满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则_____． 17．（2025·江苏预赛）设函数定义在上，，且当时，．若，则_____． 18．（2025·新疆预赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则 ． 19．（2024·江苏预赛）函数的值域为_____． 20．（2024·江苏预赛）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 21．（2024·江苏预赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____． 22．（2024·贵州预赛）已知函数，若正实数满足，则的取值范围是_____． 23．（2024·北京预赛）已知函数 若关于的方程恰有三个不相等的实数根且满足，则的取值范围是 ． 24．（2024·北京预赛）已知函数，则函数在区间上的最大值为 ． 25．（2024·吉林预赛）函数(，且)，若对成立，则实数的取值范围是_____． 26．（2024·江西预赛）设为实数，满足关于的方程有6个互不相等的实数解，其中，则的最小值为_____． 27．（2024·广西预赛）设函数．若且，则的取值范围是 ． 28．（2024·新疆预赛）已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则_____． 29．（2024·重庆预赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为 ． 三、解答题 30．（2026·内蒙古预赛）求函数的最大值． 31．（2026·上海预赛）求函数的最小值与最大值． 32．（2026·湖北预赛）已知，都是正整数，函数的图象与轴有两个不同的交点、，如果，，求的最小值． 33．（2026·新疆预赛）已知函数有两个不同的零点. (1)若函数是奇函数，求的值. (2)若方程有四个不同的实数根，且成等差数列，求的最大值. 一、填空题 1．（2026·全国联赛B卷）函数的值域为_____． 2．（2025·全国联赛A卷）设函数的定义域为，．若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____． 3．（2024·全国联赛A卷）设是定义域为、最小正周期为5的函数．若函数在区间上的零点个数为25，则在区间上的零点个数为_____． 4．（2024·全国联赛B卷）函数的最小值为_____． 5．（2023·全国联赛B卷）函数的定义域为_____． 6．（2022·全国联赛A卷）设函数，其中实数．若的值域为，则的取值范围是_____． 7．（2022·全国联赛A卷）已知函数的图像既关于点(1，1)中心对称，又关于直线轴对称．若时，，则的值为_____． 8．（2022·全国联赛A1卷）设函数的定义域为，且当时，(其中为实数)．若为奇函数，则不等式的解集为_____． 9．（2022·全国联赛A2卷）函数的最小值为_____． 10．（2022·全国联赛A2卷）设为实数，，在平面直角坐标系中，函数的图像为曲线，另一函数的图像为曲线，且满足与关于直线对称．若点都在曲线或上，则的值为_____． 11．（2022·全国联赛B卷）函数的最大值为_____． 12．（2022·全国联赛B1卷）设实数满足：函数的图像有对称中心(1，0)，且与函数的图像有公共点，则的取值范围是_____． 二、解答题 13．（2025·全国联赛B卷）设是定义域为的函数，，．若为奇函数，为偶函数，求的值． 14．（2022·全国联赛A1卷）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为．若，求的所有可能值． 15．（2024·全国联赛B卷）给定正整数．求函数的最大值．（表示实数到与它最近整数的距离；表示实数中较小的数） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与函数方程 一、单选题 1．（2026·吉林预赛）已知，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】计算可以得到，，，，，，， 故是以为周期的函数，，因此. 2．（2025·吉林预赛）已知函数，则存在非零实数，使得 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是定义在上的奇函数， 令， 当时，单调递增， 又函数为奇函数，， 函数的值域为， ，不存在使得成立，A错误； 若成立，则， 又函数的值域为，所以不成立，B错误； 若成立，则不成立，C错误； ， ，则成立，故D正确． 3．（2025·吉林预赛）函数的值域是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将变形可得，设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故，所以，答案为B． 4．（2024·吉林预赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 【答案】B 【详解】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离． 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到，故选：B． 二、填空题 5．（2026·四川预赛）设，，若函数的对称中心是，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得， 令，则， 令， 在定义域内，所以关于中心对称， 令，则， 显然关于中心对称， 所以， 所以关于成中心对称，即关于中心对称， 所以. 6．（2026·浙江预赛）设函数，满足：对任意正整数都有或1，且，则_____． 【答案】675 【详解】令，则． 因为是非负整数，所以． 令，则． 由得． 下面证明对于，有． 因为， 所以 若，则， 那么 这与题设矛盾，因此．于是， 即；， 从而得． 7．（2026·江苏预赛）设函数的定义域为，且，均有．这样的函数共有________个． 【答案】2 【详解】记，分别用与计算， 得， ． 两式相减，并取，得到． 令，则，其中． 代回原式得，所以， 即， 化简可得对任意x，y成立，故． 两函数、均满足条件，所以共有2个． 8．（2026·北京预赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 9．（2026·重庆预赛）定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 10．（2026·贵州预赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 【答案】8 【详解】因为，恒成立，将换成得 ， 两式比较，得， 又因为在定义域上单调递减，所以 故或， 由在定义域上单调递减，而在区间内单调递增，不符合题意； 在区间内单调递减，故， 的定义域， 令，则，故，解得， ，开口向下，对称轴为， 故的最大值为， 已知，是反比例函数，故取最大值时，取最小值， 故函数的最小值为． 11．（2026·吉林预赛）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题可得 ， 由绝对值三角不等式得，当且仅当等号成立， 因此 ，所以，即， 因此函数定义域为. 12．（2026·吉林预赛）已知，则函数的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数， 求导可得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 因为，， 所以的取值范围是. 13．（2026·福建预赛）已知（，且），若，且，则_____． 【答案】0 【详解】设， 则， 由于，所以，于是． 14．（2025·山东预赛）在平面直角坐标系中，已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线对称．若，则的值为_____． 【答案】． 【详解】反复利用已知的两种对称性可得 又因为，所以． 15．（2025·重庆预赛）设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_____． 【答案】 【详解】由且知． 注意满足，故在区间上的最大值即为在区间上的最大值． 又注意在区间上，故在区间上的最大值即为在区间上的最大值，从而． 再注意在区间上单调递增且，故，所以． 16．（2025·广东预赛）定义在上的函数满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则_____． 【答案】 【详解】第一式取，得，由知．第二式取，结合知．第一式取，由是偶函数以及恒正，得 即是奇函数．因此，在第二式中取得，从而． 此外，将条件两式相加，相减得 取知，于是 ， 结合得，故所求为． 17．（2025·江苏预赛）设函数定义在上，，且当时，．若，则_____． 【答案】11． 【详解】令，则，这说明对均成立． 取定，则当时，条件式右边非零，故左边也非零，表明，即． 令，得．而当时，条件式右边为零，左边非零，故，表明，即． 因此，得．所求为． 18．（2025·新疆预赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则 ． 【答案】1 【详解】由题可知在函数的图象上， 则，解得． 19．（2024·江苏预赛）函数的值域为_____． 【答案】 【详解】设， 则，其中． 于是， 由于， 所以函数的值域为． 20．（2024·江苏预赛）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】 ，显然是偶函数， 则． 所以原不等式的解集为． 21．（2024·江苏预赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____． 【答案】 【详解】显然． 又， 令，则，且． 于是为偶函数，同理． 注意到，假设存在某个， 使得，不妨令，则． 当时，左边，而右边，矛盾! 综上，对一切实数，有． 22．（2024·贵州预赛）已知函数，若正实数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】，则， 所以的取值范围是． 23．（2024·北京预赛）已知函数 若关于的方程恰有三个不相等的实数根且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，则，则， 当时，，则， 当时，， 即 方程恰有三个不相等的实数根等价于直线与函数的图象有三个不同交点，因此． 此时且，则，， 从而， 设，则其在上单调递增， 因此的取值范围是． 24．（2024·北京预赛）已知函数，则函数在区间上的最大值为 ． 【答案】 【详解】若为有理数，且， 设， 由，知， ①当时，不存在； ②当时，存在唯一的，此时； ③当时，设，其中，且， 此时， 因为， 所以若为有理数，则时，取最大值； 若为无理数，且时，． 综上可知，在区间上的最大值为． 25．（2024·吉林预赛）函数(，且)，若对成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】当时，， 设，则在上是减函数，所以． 故． 当时，， 设，则在上均为减函数， 所， 所以，此不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 26．（2024·江西预赛）设为实数，满足关于的方程有6个互不相等的实数解，其中，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由于为偶函数，且 则有1，2，4个根， 当方程有6个互不相等的实数解时， 或． 注意到，则当时，． 所以的最小值为． 27．（2024·广西预赛）设函数．若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 28．（2024·新疆预赛）已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则_____． 【答案】 【解答】令，得；令，得 ， 由，得，于是 ， ， 29．（2024·重庆预赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，为上的奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减，所以为上单调递增函数， 又的值域为，所以也为上单调递增的奇函数， 因为，故． 因此原不等式的解集为． 三、解答题 30．（2026·内蒙古预赛）求函数的最大值． 【详解】定义域．令，则， 由均值不等式，， 当且仅当即时取等．所以， 故最大值为． 31．（2026·上海预赛）求函数的最小值与最大值． 【详解】令，则,隐含的几何约束条件为：（且）． 原函数可重写为关于和的表达式：， 令，因为， 所以有交叉项． 将目标函数完全转化为关于的一元二次函数：， 由柯西不等式，，故． 当时取等号．所以． 因为，当时，若，则，；若，则； 在一、二象限单位圆上，的投影最小值发生在最左侧端点（即），所以． 因此，． 二次函数开口向上，对称轴为． 因为定义域区间整体在对称轴－1.5的右侧，函数在此区间单调递增． 所以最小值；最大值. 32．（2026·湖北预赛）已知，都是正整数，函数的图象与轴有两个不同的交点、，如果，，求的最小值． 【详解】不妨设，由条件知，是一元二次方程的两根， 因，所以，， 故，．又因为，所以． 进而可得，所以． 由函数的图象可知，所以． 因为有两个不相等的实数根，则，故． 则有， 当时，由得，由得，故此时无解； 当时，由得，由得，所以存在满足条件； 因此，的最小值为5． 33．（2026·新疆预赛）已知函数有两个不同的零点. (1)若函数是奇函数，求的值. (2)若方程有四个不同的实数根，且成等差数列，求的最大值. 【详解】（1）. 由可得，. ∴. ∴. （2）设函数的两个不同的零点为，则或. ∴，是方程的两根，，是方程的两根. ∴，，. 设，，，. ∴，. ∵，. ∴. 当时，. ∴的最大值为. 一、填空题 1．（2026·全国联赛B卷）函数的值域为_____． 【答案】 【详解】由且，得定义域为． 而， 因，故，从而值域为． 2．（2025·全国联赛A卷）设函数的定义域为，．若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____． 【答案】． 【详解】对任意，有即 所以． 因此．当时，取到最大值． 3．（2024·全国联赛A卷）设是定义域为、最小正周期为5的函数．若函数在区间上的零点个数为25，则在区间上的零点个数为_____． 【答案】11 【详解】记，则当时，，且随增大而严格增大．因此，在上的零点个数等于在上的零点个数． 注意到有最小正周期5，设在一个最小正周期上有个零点，则在上有个零点，又设在上有个零点，则，且，因此． 从而在上的零点个数等于在上的零点个数，即． 4．（2024·全国联赛B卷）函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】 ． 5．（2023·全国联赛B卷）函数的定义域为_____． 【答案】 【详解】由，解得． 6．（2022·全国联赛A卷）设函数，其中实数．若的值域为，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】考虑函数(当时，)． 由于在上严格递减，在上严格递增，且注意到，，故所求的取值范围是． 7．（2022·全国联赛A卷）已知函数的图像既关于点(1，1)中心对称，又关于直线轴对称．若时，，则的值为_____． 【答案】 【详解】用表示函数的图像． 对任意的，令，则，且． 利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得 取，此时． 因此． 8．（2022·全国联赛A1卷）设函数的定义域为，且当时，(其中为实数)．若为奇函数，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由条件知，故． 当时，由，解得． 当时，等价于，即，即，解得． 综上，不等式的解集为． 9．（2022·全国联赛A2卷）函数的最小值为_____． 【答案】15 【详解】，等号成立的充要条件是且．当时，取到最小值15． 10．（2022·全国联赛A2卷）设为实数，，在平面直角坐标系中，函数的图像为曲线，另一函数的图像为曲线，且满足与关于直线对称．若点都在曲线或上，则的值为_____． 【答案】1或 【详解】由及曲线与之间的对称性，可知 若，则，由为函数的图像知，得，进而，类似可知． 此时，即有 由，得． 由，得． 所以，进而． 此时，则． 若，注意到为的反函数，即，故类似可得，此时． 综上，的值为1或． 11．（2022·全国联赛B卷）函数的最大值为_____． 【答案】 【详解】 当，即时，取到最大值． 12．（2022·全国联赛B1卷）设实数满足：函数的图像有对称中心(1，0)，且与函数的图像有公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】记．由的图像关于点(1，0)对称，可知，又由得，故，即． 根据题意，方程有实数解，即方程有实数解，这等价于判别式，即． 所以． 二、解答题 13．（2025·全国联赛B卷）设是定义域为的函数，，．若为奇函数，为偶函数，求的值． 【详解】对任意，有，即 所以，即． 因此，． 14．（2022·全国联赛A1卷）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为．若，求的所有可能值． 【详解】由于为的最小值，在上严格递增，故 由于为的最大值，在上严格递增，故 当时，，由解得，即． 当时，，由解得． 因此的所有可能值为或． 15．（2024·全国联赛B卷）给定正整数．求函数的最大值．（表示实数到与它最近整数的距离；表示实数中较小的数） 【解析】(1)为奇数时，，且对任意实数，都有， 所以，又，所以为奇数时，； (2)为偶数时，为正整数． 注意到． 下证． 假设存在，使得，不妨设，则， 从而． 又，且，则， 与矛盾，因此假设不成立．所以为偶数时，． 综上，为奇数时，为偶数时，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $