专题01 集合（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题01 集合 一、填空题 1．（2026·江西预赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 2．（2026·湖北预赛）已知且，集合，．若，则______． 3．（2026·苏州预赛）已知，，…，是集合的n个非空子集，如果对于任意的i，，均有，则n的最大值为___________. 4．（2026·江苏预赛）已知集合，若集合中任意两个数之差不等于96，则中的元素个数的最大值为________． 5．（2026·新疆预赛）设集合，，则的元素个数为__________. 6．（2026·北京预赛）设集合，对的子集，定义，其中，则_____． 7．（2026·广西预赛）集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________． 8．（2026·山东预赛）设非空集合满足.当时，，当时，，若函数为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_____. 9．（2026·广东预赛）设，．则的元素个数为______． 10．（2026·重庆预赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 11．（2026·贵州预赛）从集合中选出两个数，使得其余35个数之和是这两个数之积．则满足条件的两个数之和为_____________________． 12．（2026·吉林预赛）设，则集合中的元素个数为______． 13．（2025·重庆预赛）设集合，则的元素个数为 ． 14．（2025·广东预赛）从集合中选出个位数字互不相同的10个数，其中任意两个数相差不为3或27．这样的10元子集共有 种不同的取法． 15．（2025·贵州预赛）已知集合的任意一个16划分，一定存在某个集合，在中有两个元素满足，则的最小值为 ． 16．（2025·浙江预赛）设，集合，则 ． 17．（2025·浙江预赛）设为集合，满足且．若中所有元素的乘积等于中所有元素的和，则这样的有 个． 18．（2024·江苏预赛）集合为连续个正整数构成的集合，若中所有元素的和恰为2024，且为偶数，则集合中最小的元素为 ． 19．（2024·四川预赛）记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 20．（2024·北京预赛）设整数集合 ，若中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 ，则集合 ． 21．（2024·北京预赛）已知，且中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则的最大值为 ． 22．（2024·江西预赛）设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 23．（2024·吉林预赛）设集合．若的子集满足：若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为_____． 24．（2024·浙江预赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 25．（2024·广西预赛）设，，，均是正整数，且．则 ． 26．（2024·内蒙古预赛）集合的全部非空子集的元素和等于 ． 二、解答题 27．（2026·上海预赛）设集合满足，若由个元素组成的的子集族满足：任意5个子集的交集非空，任意6个子集的交集为空集．求的最大值． 28．（2025·山东预赛）记．设集合族由的若干个元素个数不超过2的子集构成，且满足．记．对，已知：若集合，则中至少有13个不同集合满足． （1）求所含子集个数的最小可能值； （2）当时，求不同集合族的个数． 29．（2024·广东预赛）设有限集为有限集，对任意， 定义．证明以下结论： (1)存在，使得； (2)．其中表示集合中的元素个数，． 30．（2024·吉林预赛）全体正有理数的集合被分拆为三个集合(即，且，满足，这里 (1)给出一个满足要求的例子(即给出)； (2)给出一个满足要求的例子，且中的任意两个相邻正整数均不同时在中． 31．（2024·浙江预赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 32．（2024·广西预赛）设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． 33．（2024·内蒙古预赛）设是一个给定的正整数，集合，求最大的正数，使得对任意正整数，，都存在集合的子集，满足集合至少有个元素，且集合的任两个元素，均有，． 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）对于，定义集合，并记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数__________． 2．（2026·全国联赛B卷）对于，定义集合，并记，则使得中恰有3个完全平方数的最小正整数_____． 3．（2025·全国联赛A卷）设集合，则的元素个数为_____． 4．（2025·全国联赛B卷）设集合，则的元素个数为_____． 5．（2024·全国联赛A卷）设实数满足：集合与的交集为，则的值为_____． 6．（2022·全国联赛A卷）集合的所有元素之和为_____． 7．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合(为虚数单位)．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 二、解答题 8．（2022·全国联赛A2卷）已知集合的四个500元子集，满足：对任意，均存在某个，使得．求正整数的最大可能值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 一、填空题 1．（2026·江西预赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】24 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为25， 的末尾两位数为25， 的末尾两位数为25， …… 之后每次乘以45，末两位恒为25， 故的末尾两位数为25， 从而所求的末尾两位数为24． 2．（2026·湖北预赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 3．（2026·苏州预赛）已知，，…，是集合的n个非空子集，如果对于任意的i，，均有，则n的最大值为___________. 【答案】511 【详解】将集合的个非空子集分成512组： 第1组为集合A； 第2组到第512组，每组2个子集，且这2个子集的并集为集合A（易知这种分组是存在的，事实上只需将A的非空子集B与B在A中的补集分在同一组即可）， 当时，若，，…，中含有集合A，则显然不符合要求； 若，，…，中不含有集合A，则根据上述分组和抽屉原理，，，…，必有两个集合在同一组，它们的并集为集合A，也不符合要求，所以， 另一方面，集合有511个非空子集，对于其中任意两个子集X和Y，均有，可见符合要求， 所以n的最大值为511， 4．（2026·江苏预赛）已知集合，若集合中任意两个数之差不等于96，则中的元素个数的最大值为________． 【答案】1056 【详解】对， 定义，， 这里表示被96整除的那一类，两个整数之差等于96， 当且仅当它们是同一条链中的相邻两项， 由，可知： 当时，共有22项， 当时，共有21项， 所以共有10条长度为22的链和86条长度为21的链， 设一条链为，其中， 由于相邻两项不能同时属于， 可以把链中元素分组为，每组至多选1个； 当为奇数时，最后还剩1个元素， 因此的元素个数， 长度为22的链至多选11个，长度为21的链也至多选11个， 于是的元素个数为的元素个数加上的元素个数， 一直加到的元素个数，记为， 即的元素个数， 在每条链中从首项开始隔一项选一项， 可以把所得集合明确写成 ， 集合由11个长度为96的整数块组成， 所以的元素个数 同一整数块内任意两个数之差不超过95， 相邻的被选整数块之间隔着一个未选整数块，因此两个已选元素之差也不可能等于96， 故满足题意，上界能够取得， 所以中的元素个数的最大值为. 5．（2026·新疆预赛）设集合，，则的元素个数为__________. 【答案】4046 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，关于单调递增， 若表示有限集的元素个数，则， 又，故， 所以. 故的元素个数为4046. 6．（2026·北京预赛）设集合，对的子集，定义，其中，则_____． 【答案】0 【详解】设集合中奇数和偶数的个数分别为． 对于子集，设其含有个奇数利个偶数， 则，且． 故． 分离变量求和可得． 由于对于任意有， 且，故两项均为0，最终结果为0． 7．（2026·广西预赛）集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________． 【答案】 【详解】，当时，， 因为“”是“”的充分条件，所以，． 8．（2026·山东预赛）设非空集合满足.当时，，当时，，若函数为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_____. 【答案】3 【详解】若，对任意实数x均有. 若，且，则仅当. 另外，存在两个实数，使得，. 考虑实数，当时，或均使得. 当时，若，则由，有且， 所以.故集合的元素数量最多可能为3. 9．（2026·广东预赛）设，．则的元素个数为______． 【答案】8 【详解】显然的元素都是整数，而中的整数元素有， 故只需考虑这些数中有哪些满足的条件． 设的一个整数根是，则， 因为可取的整数范围为， 则可得：，解得， 则， 此时共有8个，因此共有8个． 10．（2026·重庆预赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 11．（2026·贵州预赛）从集合中选出两个数，使得其余35个数之和是这两个数之积．则满足条件的两个数之和为_____________________． 【答案】52 【详解】设取出的两个数为，则， 即 ， 故两个数之和为52. 12．（2026·吉林预赛）设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 13．（2025·重庆预赛）设集合，则的元素个数为 ． 【答案】225 【详解】，故的元素个数为225． 14．（2025·广东预赛）从集合中选出个位数字互不相同的10个数，其中任意两个数相差不为3或27．这样的10元子集共有 种不同的取法． 【答案】1026． 【详解】将中的元素排列为方格表 则每列要恰取出一格，且相邻两列不能取出同一行的格（注意：首列与尾列在此也被视为相邻两列），这样的经典题目适合用递推方法解决．在的方格表中，每列要恰取出一格，且相邻两列不能取出同一行的格，这样的方法数记为，要求．当时，为了满足要求，先在第一列里取出一个格，有3种选法，此后依次在下一列中取出一个格，每次取都有2种选法，故有种选法，但要从其中排除掉首列与尾列取出同一行的格的情况，此时将首列与尾列叠在一起，可知被排除掉的选法正好是针对1）的方格表的符合要求的选法，从而被排除掉种，故，于是，对累加得，结合知，故． 15．（2025·贵州预赛）已知集合的任意一个16划分，一定存在某个集合，在中有两个元素满足，则的最小值为 ． 【答案】96 【详解】（1）若，令（其中），则均有且，故有，正整数． （2）若，则对的任意划分，数中必有两个数属丁同一个，它们满足． 综上所述，的最小正整数值为96． 16．（2025·浙江预赛）设，集合，则 ． 【答案】8 【详解】因为，且，否则，矛盾． 所以，或．当，矛盾； 而满足题设．此时，又，所以是唯一解． 17．（2025·浙江预赛）设为集合，满足且．若中所有元素的乘积等于中所有元素的和，则这样的有 个． 【答案】7 【详解】解法1：令且，注意到中元素和小于等于45．为了方便描述，我们令下面开始分情况讨论： （1）若则，否则．下面分情况讨论y： 若，则，逐一验证知，和满足 条件；若，则中元素和大于等于35，而中元素乘积小于等于．所以此时共两种符合条件的集合对． 若，则，所以，此时满足条件． （2）若，则，所以且．由知．下面分情况讨论y： 若，则；此时中元素和为42，所以或不符合条件． 若，则；此时，和满足条件； 若，则或不符合条件． 若，则；此时，和满足条件．综上，有7种可能，分别为． 解法2：设． （1）若，则有． （2）若，则有． 若，或；若；若． （3）若，则有． 当无正整数解． （4）若，则有． 若，或无正整数解． 综上，有7种可能，分别为． 18．（2024·江苏预赛）集合为连续个正整数构成的集合，若中所有元素的和恰为2024，且为偶数，则集合中最小的元素为 ． 【答案】119 【详解】设， 注意到为偶数，则为奇数，且， 显然，所以集合中最小的元素为119． 19．（2024·四川预赛）记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【详解】不妨设，对，如果，就在这两个数之间画一条红线；如果，就在这两个数之间画一条蓝线． 显然，一个数不能同时引出两条线． ①如果总共有两条线，线在不考虑颜色的情况下的组合方式有3种，每种线都对应如下问题：在中取三个数，任意两个数之差大于6（如果两线均为红，；如果一红一蓝，；如果都是蓝，） 这又等价于在中任取三个数，有种 所以此时有种； ②如果总共有一条线，线在不考虑颜色的情况下有4种可能，每种线都对应如下问题：在中取四个数，任意两个数之差大于6（如果是红线，；如果是蓝线，） 这又等价于在中任取四个数，有种取法 所以此时有种 ③如果没有线，那么就是在中取五个数，任意两个数之差大于6，这不可能． 所以总共有种． 20．（2024·北京预赛）设整数集合 ，若中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 ，则集合 ． 【答案】 【详解】中所有三元子集共有个， 中的每个元素在这些三元子集中均出现了次， 故， ，因为集合中的元素有个负数个正数， 故集合中的元素有个负数个正数，所以， 不妨设， 三个元素之积绝对值最大时，，， 又为整数集合，所以，或者，； 三个元素之积绝对值最小时，，又，所以，， 因为集合中的元素有个负数个正数，故、均为正整数，所以，， 故． 21．（2024·北京预赛）已知，且中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则的最大值为 ． 【答案】1212 【详解】因为，取， 即可满足中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9． 下面证明以上满足题设条件． 若或9，，并且， （1）当时，有，而， 因此； （2）当时，为使或9，应使得或9， 进而使得或，但，故满足不了， 因此； （3）当时，为使或9，应使得或9， 进而使得或，但，故满足不了， 因此； 综上所述，，这里，并且． 故中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，此时． 另一方面，在模13下考虑，将排成一个首尾相连的圆圈（这里1和10首尾相连）， 任意两个相邻的数的差的绝对值均为4或9， 那么从中任取7个数，其中必定会有两个数的差的绝对值均为4或9． 因此在中，不可能同时有7个数作为余数入选， 则． 所以的最大值为1212． 22．（2024·江西预赛）设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 【答案】68 【详解】设，则或4， 于是或．由于， 当时，，此时(a，b)共有62个； 当时，，此时(a，b)共有6个， 所以集合的元素个数为68． 23．（2024·吉林预赛）设集合．若的子集满足：若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为_____． 【答案】 【详解】集合非空子集的个数为， 具有性质的的事件含有的基本事件为：，共7个， 所以所取出的非空子集具有性质的概率为． 24．（2024·浙江预赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，要使， 则，则，所以． 25．（2024·广西预赛）设，，，均是正整数，且．则 ． 【答案】14 【详解】不妨设，则． 由及， 可知，，于是， 从而，． 因此，故，，，． 因此． 26．（2024·内蒙古预赛）集合的全部非空子集的元素和等于 ． 【答案】272 【详解】集合的子集有以下情形； 含有元素1的子集有个； 含有元素2的子集有个； 含有元素3的子集有个； 含有元素5的子集有个； 含有元素6的子集有个， 所有子集的元素的和为． 二、解答题 27．（2026·上海预赛）设集合满足，若由个元素组成的的子集族满足：任意5个子集的交集非空，任意6个子集的交集为空集．求的最大值． 【详解】从这k个集合中随便挑出5个，题意要求交集非空，这意味着必定存在至少一个元素，它同时属于这指定的5个集合． 为这5个集合找到了一个“公共元素”．这个绝对不可以跑到这个集合里的任何第个集合中去， 这说明对于每一种“5个集合的组合”，都必须消耗母集A中一个“专属且独立”的元素，去满足交集非空的需求， 且这个元素只能存在于这5个集合中． 从k个集合中挑5个，一共有种不同的组合方式． 因为每种组合方式都需要消耗母集A中至少一个独立的元素， 代入求解：已知，所以：，得，（因为，而）． 构造验证（当时）： 将个专属元素分配给个元子集合组合，剩余个元素分配到任意至多个子集中．具体示例如下： ； ； ；. 28．（2025·山东预赛）记．设集合族由的若干个元素个数不超过2的子集构成，且满足．记．对，已知：若集合，则中至少有13个不同集合满足． （1）求所含子集个数的最小可能值； （2）当时，求不同集合族的个数． 【详解】（1）所求的最小值． 一方面，当集合族的全体一元子集的全体二元子集时，不难验证集合族满足要求，且 另一方面，我们说明．题设条件蕴含了，，于是只需证明．考虑集合．题设条件表明 因为由二元集合组成，且每个二元集合恰有2个不同一元子集，所以 由（1），（2）可知：若，则． 以下假设，不妨设．对任意，在中必定有一个不包含于的二元集合包含．这些互不相同，每个只包含中的一个一元集合，于是 由（1），（3）以及可知．这表明． 综上所述，的最小可能值． 注：证明时，也可构造二部图，其顶点集分别为和，可由类似于定义中的包含关系构造边集．利用构造二部图的思路也可完成证明． （2）根据（1）的推导过程可知：当时，必有，且 · 由的13个一元子集构成； · 由的全体二元子集以及构成，其中可以相同但不能来自， 从而，先确定，一共有种选取方式．再确定，其选取方式的个数恰好是不定方程的非负整数解个数．因此不同的个数是． 29．（2024·广东预赛）设有限集为有限集，对任意， 定义．证明以下结论： (1)存在，使得； (2)．其中表示集合中的元素个数，． 【答案】证明见解析 【详解】(1)， 则由抽屉原理知，存在，使得． (2)由柯西不等式得 所以． 30．（2024·吉林预赛）全体正有理数的集合被分拆为三个集合(即，且，满足，这里 (1)给出一个满足要求的例子(即给出)； (2)给出一个满足要求的例子，且中的任意两个相邻正整数均不同时在中． 【答案】见解析 【详解】（1）对任意一个有理数，对其作质因数分解， 其中为互不相同的质数，为整数(可为负整数)， 令， 易知，满足要求； （2）对任意一个有理数，对其作质因数分解， 其中为互不相同的质数，且不等于5，不等于为整数(可为负整数)． 令． 可以试验出，， ， ， 所以，上述满足要求． 31．（2024·浙江预赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 【答案】 【详解】一方面，对，假设包含的不超过两个． 由于每个至多包含个包含的二元子集，所以至多有个包含的二元子集包含于某个，但包含的二元子集有个，说明存在一个包含的二元子集不包含于任何，这与已知矛盾． 所以至少存在三个包含，这就意味着全体的元素个数之和至少是． 而每个的元素个数都是，所以，得． 这就得到了． 另一方面，设，，，，． 则两两交集为空，且全体并集就是． 然后令，，，，，． 此时可以验证，对，由于必然都落在之一，故分情况验证即知一定存在一个集合同时包含，此时． 综上，的最小值为． 32．（2024·广西预赛）设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． 【答案】506 【详解】由A中的任意两个数不互素可知存在素数P，A中的每个数均被P整除， 故在数集的元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集． 共有1012个元素，而其中有的元素满足整除关系，注意到1012的2倍是2024． 于是，集合中，任意两个数既不互素又不存在整除关系， 此时A中有506个元素．若从中任取一数，则它与A中的某个数存在整除关系． 因此，506是的最大值． 33．（2024·内蒙古预赛）设是一个给定的正整数，集合，求最大的正数，使得对任意正整数，，都存在集合的子集，满足集合至少有个元素，且集合的任两个元素，均有，． 【答案】1 【详解】可以把看成在第行，第列的一个点， 设， 则表示点与点之间距离的平方， 显然越小，满足的点越多， 即对于，越小，满足的点越少， 由题意可知，当，时， 第一行可以取点为， 第二行的点均不可取， 第三行的点可以取， 所以满足的点为， 则，所以．所以． 一、填空题 1．（2026·全国联赛A卷）对于，定义集合，并记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数__________． 【答案】19 【详解】当时，中没有完全平方数； 当时，中有25，36这两个完全平方数； 当时，中有25，36，64这三个完全平方数． 故最小的为19． 2．（2026·全国联赛B卷）对于，定义集合，并记，则使得中恰有3个完全平方数的最小正整数_____． 【答案】7 【详解】由定义，， 当时，． 又（第一部分最大为15，第二部分均为奇数），故至多含9，25两个完全平方数． 当时，，恰含9，16，25三个完全平方数． 因此所求最小正整数为． 3．（2025·全国联赛A卷）设集合，则的元素个数为_____． 【答案】194． 【详解】当时，关于严格递增，故（表示有限集的元素个数）．又，故． 所以． 4．（2025·全国联赛B卷）设集合，则的元素个数为_____． 【答案】2． 【详解】在的元素中，都不是平方数，小于2025，所以它们都不属于，而，所以的元素个数为2． 5．（2024·全国联赛A卷）设实数满足：集合与的交集为，则的值为_____． 【答案】7 【详解】由于，故是一个包含且以为中点的闭区间，而是至多有一个端点的区间，所以必有，故． 进一步可知只能为，故且，得． 于是． 6．（2022·全国联赛A卷）集合的所有元素之和为_____． 【答案】57 【详解】当为整数时，． 因此．所求的和为． 7．（2022·全国联赛B1卷）设为复数，集合(为虚数单位)．若的所有元素之和为，则的所有元素之积为_____． 【答案】 【详解】当时，的值分别为，故．由于的所有元素之和为，即，故． 所以的所有元素之积为． 二、解答题 8．（2022·全国联赛A2卷）已知集合的四个500元子集，满足：对任意，均存在某个，使得．求正整数的最大可能值． 【详解】一方面，当时，令 ， 则，且． 考虑．对任意，若其中有一个属于，则同时属于中的某个集合；若均不属于，则同时属于．在中任意添加中一个元素，使其成为500元集合，这便得到的四个500元子集满足要求． 另一方面，若，则不存在满足要求的四个500元子集． 用反证法，假设存在满足要求的四个500元子集，易知的每个元素至少属于其中两个子集，设有个元素恰属于其中两个子集，则， 故．记这个元素构成的集合为，则．将中的元素按所属的情况分为6类，对，记是中恰属于的元素的集合． 易知与必有一个是空集，不妨设．同样地，与必有一个是空集，不妨设．同理，与必有一个是空集． 若，则，从而，这样，矛盾． 若，则，从而中的每个元素至少属于中的两个集合，这样，矛盾． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $