3.1.1椭圆及其标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆， 则 解可得：，且， 故的取值范围为； 故选B． 2.点是椭圆上任一动点，定点，为右焦点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】 解：  为左焦点， ，故选D． 3.如果椭圆上一点到焦点的距离等于，那么点到另一个焦点的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】圆：的圆心，半径设椭圆的左焦点为，如图，由椭圆的定义知，则，所以，当且仅当，，三点共线时等号成立．又，，则，． 5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题． 根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得 ，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】 解：方程表示焦点在轴上的椭圆， 可得，解得． 故选：． 6.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 7.已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 8.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：圆可化为，则圆心，半径为． 圆可化为，则圆心，半径为． 如图所示：设动圆圆心为点，半径为， 圆与圆外切于点，则，，三点共线，且， 圆与圆内切于点，则，，三点共线，且， ，，， 所以， 所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是椭圆的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，则有(    ) A. 椭圆的焦点在轴上 B. 的周长为 C. 的周长为 D. 椭圆的方程为 【答案】CD  【解析】略 10.设定点，，动点满足为常数，则点的轨迹可能是(    ) A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 直线 【答案】BC  【解析】略 11.已知是椭圆上一点，，是其两个焦点，则的大小可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  设，利用椭圆的定义和标准方程得和，再利用余弦定理得，再利用基本不等式求最值得，即，再利用余弦函数的性质得，最后得结论． 【解答】 解：设，则，且． 在中，因为，， 所以由余弦定理可得． 又因为，，所以， 即，因此，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，即．因此的大小可能为． 故选BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为           ． 【答案】  【解析】解：因为，为上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形为矩形， 设，， 由椭圆的定义可得， 所以， 因为， 即， 所以， 所以四边形的面积为． 故答案为：． 13.如图，设，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为          ． 【答案】  【解析】略 14.已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是          ． 【答案】  【解析】略 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且 求椭圆的方程； 若点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标。 【答案】解：因为点在椭圆上，所以，解得。因为，所以，即，解得，所以，所以椭圆的方程为。 设。因为的面积为，所以，即，解得。因为点在椭圆上，所以，解得，所以点的坐标为或或或。   【解析】略 16.本小题分 已知椭圆：的离心率为，且经过点． 求椭圆的方程； 设是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径作圆问点满足什么条件时，圆与轴有两个交点？ 在的条件下，设圆与轴交于、两点，求点、距离的最大值． 【答案】解：椭圆的离心率为，且经过点， ，即，解得， 椭圆的方程为． 易求得设，则，， 圆的方程为， 令，化简得，． 将代入，得，解出． ． 设，，其中由，得 ， 当时，的最大值为．  【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系和线段的最值问题，属于中档题． 根据椭圆的离心率和经过点建立关于，的方程组，解之即可求出椭圆的标准方程； 设，则，求出圆的方程，令，化简得到关于的方程，然后利用判别式，可求出的范围． 设，，其中由，得转化成关于的二次函数求最值进行求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1椭圆及其标准方程 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.点是椭圆上任一动点，定点，为右焦点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.如果椭圆上一点到焦点的距离等于，那么点到另一个焦点的距离是(    ) A. B. C. D. 4.已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 7.已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是  (    ) A. B. C. D. 8.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是椭圆的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，则有(    ) A. 椭圆的焦点在轴上 B. 的周长为 C. 的周长为 D. 椭圆的方程为 10.设定点，，动点满足为常数，则点的轨迹可能是(    ) A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 直线 11.已知是椭圆上一点，，是其两个焦点，则的大小可能为(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为           ． 13.如图，设，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为          ． 14.已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是          ． 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设椭圆的两个焦点为，点在椭圆上， 求椭圆的方程； 若点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标。 16.本小题分 已知椭圆：的离心率为，且经过点． 求椭圆的方程； 设是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径作圆问点满足什么条件时，圆与轴有两个交点？ 在的条件下，设圆与轴交于、两点，求点、距离的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $