专题16 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

专题16 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型二、几何图形中动角求定值问题 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形绕定点旋转一定角度，探究对应边角关系、线段长或位置变化，常与全等、角度计算结合。 - 解题方*：抓住旋转三要素（中心、方向、角度）；利用旋转前后全等找对应边角相等；旋转角等于对应点与中心连线夹角；必要时分类讨论旋转过程的不同阶段。 - 易错提醒：混淆旋转角与图形内角；对应点找错；忽略旋转方向导致位置判断错误；多阶段运动未分段讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 典例1 （25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，为直线上一点，作射线，使．将一个直角三角板按图所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为________． 题型模版 1.特征：图形旋转方向或角度不确定，导致对应点位置有多种可能，需分类讨论。 2.方法：按顺时针/逆时针或旋转角范围分类，分别作图，利用旋转前后对应边角相等列方程，逐一求解并验证。 变式1-1（26-27七年级上·上海闵行·期中）已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，． 变式1-2 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为（秒）．当____________时，射线是的“启仔等分线”． 变式1-3 （25-26六年级上·上海金山·期末）已知点在一直线上，且点在点的两侧，，现将射线绕点O顺时针匀速旋转，射线保持不动，直到射线与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为________． 题型二、几何图形中动角求定值问题 典例2 如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中    (1)若时，______°； (2)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 题型模版 1.特征：角度随动点或动线变化，但某些角的和、差或比值始终保持不变，求该定值。 2.方法：设动角为参数，用其表示相关角，代入所求式子化简消去参数，得常数即定值。 变式2-1问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 变式2-2活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 变式2-3如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 典例3 如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型模版 1.特征：动角变化时，多个角之间保持某种数量关系（和差倍分），需探究并证明。 2.方法：设动角为参数，用其表示各相关角，通过代数运算消参，归纳出角之间的等量关系。 变式3-1【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 变式3-2如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 变式3-3如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 典例4 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 题型模版 1.特征：角以一定速度旋转，求达到某角度关系或位置所需时间，常涉及追及。 2.方法：设运动时间为t，用角速度乘时间表示旋转角，根据角度等量关系列方程求解并检验范围。 变式4-1如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 变式4-2如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 变式4-3将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 典例5 定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 题型模版 1.特征：定义与动角相关的新概念（如“友好角”），按规则求角度或时间，重理解迁移。 2.方法：读懂新定义，转化为角度等量关系，设动角或时间为参数列方程，解出后检验是否符合范围。 变式5-1定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 变式5-2如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 变式5-3新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 4．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线恰好平分锐角时， ． 6．如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 7．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么 ②是定值 ③若变小，则变大 ④ 8．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 三、解答题 9．【问题提出】 （1）如图1，已知是内的两条射线，平分，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图2，已知，射线在内部，且平分． ①判断射线是否平分，并说明理由； ②若射线平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 10．如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中    (1)若时，______°； (2)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 11．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 12．【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 13．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 14．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 15．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 16．如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 17．（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 18．【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型二、几何图形中动角求定值问题 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形绕定点旋转一定角度，探究对应边角关系、线段长或位置变化，常与全等、角度计算结合。 - 解题方*：抓住旋转三要素（中心、方向、角度）；利用旋转前后全等找对应边角相等；旋转角等于对应点与中心连线夹角；必要时分类讨论旋转过程的不同阶段。 - 易错提醒：混淆旋转角与图形内角；对应点找错；忽略旋转方向导致位置判断错误；多阶段运动未分段讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 典例1 （25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，为直线上一点，作射线，使．将一个直角三角板按图所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为________． 【答案】或 【分析】由平角的定义可得，然后根据角平分线定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 所在直线恰好平分， 或， 或， 解得或． 故答案为：或． 题型模版 1.特征：图形旋转方向或角度不确定，导致对应点位置有多种可能，需分类讨论。 2.方法：按顺时针/逆时针或旋转角范围分类，分别作图，利用旋转前后对应边角相等列方程，逐一求解并验证。 变式1-1（26-27七年级上·上海闵行·期中）已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，． 【答案】 或 【分析】根据角的和差关系和平角的定义求出的度数，再表示出的度数，根据列式解方程即可． 【详解】解：，， ， ∴， 由题意得，，，，， ∴， ， ， ∴或 解得或； 综上所述，当t为21或25秒时，． 变式1-2 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为（秒）．当____________时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】或 【分析】根据旋转速度表示出，当时，，，，得到若，若，若，若，分四种情况解答；当时，，，，得到若，若，分两种情况解答；与都是钝角，不可能一个角是另一个角的3倍．最后总结答案． 【详解】解：由题意可知，射线旋转秒后，，，且旋转停止条件为． ∵射线是的“启仔等分线”， ∴、、中存在一个角的度数是另一个角的三倍， 分以下情况讨论： （1）当时， ，，， ∴ 若，， 解得，符合题意； 若，， 解得（舍去）； 若，，， 解得，符合题意； ， ，解得（舍去）； （2）当时， ，，， ∴ 若，， 解得（舍去）； 若，， 解得（舍去）； ∵与都是钝角， ∴不可能一个角是另一个角的3倍． 综上，的值为或5； 故答案为：或5． 变式1-3 （25-26六年级上·上海金山·期末）已知点在一直线上，且点在点的两侧，，现将射线绕点O顺时针匀速旋转，射线保持不动，直到射线与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为________． 【答案】，或 【分析】本题考查了角的动态变化与相等关系，解题的关键是分情况讨论三条射线构成的角相等的情况，易错点是漏解通过分类讨论情况，再利用角的和差关系求解旋转角度． 【详解】解：如下图： 当时，旋转角度 当时，旋转角度 当时，旋转角度； 故答案为，或． 题型二、几何图形中动角求定值问题 典例2 如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中    (1)若时，______°； (2)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)9 (2)，； (3) 【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案； （2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案； （3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵在的内部，如图，    ∴ ； ∴ ； （3）∵，分别平分和，    ∴，， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴ ． 题型模版 1.特征：角度随动点或动线变化，但某些角的和、差或比值始终保持不变，求该定值。 2.方法：设动角为参数，用其表示相关角，代入所求式子化简消去参数，得常数即定值。 变式2-1问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）由（1）知当时，， ， 平分， ， ， 是的平分线； （3）是定值，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， ． 变式2-2活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 变式2-3如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线平分，理由见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用； （1）根据角平分线的定义得出，结合题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据，求得，即可得出结论； （3）①根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系； ②根据图形可得，进而根据 ，即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又， ， （2）直线平分，理由如下： 设的延长线为，如图2， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即直线平分； （3）①结论：． 理由：如图3中， ，， ，， ， 与的数量关系为：． ② 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 典例3 如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系． （1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 题型模版 1.特征：动角变化时，多个角之间保持某种数量关系（和差倍分），需探究并证明。 2.方法：设动角为参数，用其表示各相关角，通过代数运算消参，归纳出角之间的等量关系。 变式3-1【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 变式3-2如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 变式3-3如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 典例4 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 题型模版 1.特征：角以一定速度旋转，求达到某角度关系或位置所需时间，常涉及追及。 2.方法：设运动时间为t，用角速度乘时间表示旋转角，根据角度等量关系列方程求解并检验范围。 变式4-1如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 变式4-2如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式4-3将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得 根据题意求解即可． （2）根据题意得，进而求得． ，即可得到结论； （3）根据题意得，求得． ，分情况列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴； （3）解：∵，， 或 解得 或 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 典例5 定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 题型模版 1.特征：定义与动角相关的新概念（如“友好角”），按规则求角度或时间，重理解迁移。 2.方法：读懂新定义，转化为角度等量关系，设动角或时间为参数列方程，解出后检验是否符合范围。 变式5-1定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 变式5-2如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用． （1）依题意，设则，，由，继而得解； （2）依题意，设，由，建立方程求解即可得解； （3）根据题意，为的“分余线”，分别讨论或这两种情况，从而得到结果． 【详解】（1）依题意，设则，， 由， 解得： ； （2）如图，依题意，设 又分别是和的平分线， ，， 解得： （3）由，设则 ， ， 为的平分线， ， 为的“分余线” 若，则 解得： 若，则 解得： 综上：为或 变式5-3新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角” 【分析】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 综上所述，为或； （3）①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 秒； 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，邻补角，正确表示各个角，理清各个角之间是关系是解题关键．先求出，，可得 ，继而表示出，即可求解； 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，则，，可得，再根据角平分线的定义可得，故①正确；再由，可得②正确；再分别求出和，可得③正确；然后求出和，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴，故①正确； ，是定值，故②正确； ∵， ， ∴，故③正确； ∵， ， ∴，故④正确； 故选：D 3．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 4．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 二、填空题 5．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线恰好平分锐角时， ． 【答案】或 【分析】由角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：当N在上方， 平分， ， ， 当N在下方， ， 故答案为：或． 6．如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 【答案】 45 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）设，根据角的和差关系以及角平分线的定义，推出，，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）设， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么 ②是定值 ③若变小，则变大 ④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 即， 当， 则， 故①正确； ， ， 故②正确； ， 若变小，则变大， 故③正确； ， ， ， 故④正确； 综上所述， 故答案为：①②③④． 8．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 三、解答题 9．【问题提出】 （1）如图1，已知是内的两条射线，平分，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图2，已知，射线在内部，且平分． ①判断射线是否平分，并说明理由； ②若射线平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①平分．理由见解析；②，理由见解析； 【分析】本题考查了几何中的角度计算，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由题意可知，，即可求解； （2）①由题意可得，根据角平分线的定义，得到，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，得到，进而得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：（1）因为平分， 所以， 因为， 所以， 故答案为： （2）①平分． 理由：因为， 所以， 所以． 因为平分， 所以， 所以平分． ②．（或） 理由：因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 10．如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中    (1)若时，______°； (2)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)9 (2)，； (3) 【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案； （2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案； （3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵在的内部，如图，    ∴ ； ∴ ； （3）∵，分别平分和，    ∴，， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴ ． 11．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 12．【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 13．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 14．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 15．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 【答案】（1）（2）①②或（3）或或 【分析】（1）根据平角定义即可求得； （2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案是：； （2）①旋转的速度是每秒， ∴旋转的度数表示为， ②， 当在左侧时：， ∴，解得， d当在右侧时：， ∴，解得， 故答案是：或； （3）当在左侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：； （ⅱ），如图， 由题意得：， 解得：． ②当在右侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ）， 则：，此方程无解，不符合题意； 综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍． 16．如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用． （1）依题意，设则，，由，继而得解； （2）依题意，设，由，建立方程求解即可得解； （3）根据题意，为的“分余线”，分别讨论或这两种情况，从而得到结果． 【详解】（1）依题意，设则，， 由， 解得： ； （2）如图，依题意，设 又分别是和的平分线， ，， 解得： （3）由，设则 ， ， 为的平分线， ， 为的“分余线” 若，则 解得： 若，则 解得： 综上：为或 17．（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 18．【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）由定义可直接得到答案； （2）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别讨论，即可求解； （3）根据定义分平分，平分，平分三种情况，根据三角板的运动状态，分别讨论，即可求解； （4）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别画图，结合射线的运动状态，分别列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：若射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧，故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 故答案为：． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； 若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图， ， ， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 故 解得：， 此时， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，射线在的下方， 该情况不存在． 综上：或时，射线是射线和的“和谐线”． （4）解：若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，， 此时，， ∴， 故， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，或时，射线为两条射线和的“和谐线”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $