专题16 用一元一次方程解决问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题16 用一元一次方程解决问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：以销售利润、配套生产、工程效率、积分胜负为主，均含“总量=各部分之和”或“单价×数量=总价”等核心等量关系。 - 解题方法：审题圈关键词→设未知数（直接或间接）→依等量关系列方程→解方程→检验实际意义。 - 易错提醒：利润率分母是进价非标价；配套问题注意比例方向；检验须符合实际（人数、场次为正整数）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 典例1 （2026·安徽池州·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共80个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费3264元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个； (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的八五折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、利润、折扣等量，常以利润或销售额列等量关系。 2.方法：设未知数，用售价减进价表示利润，找等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26七年级上·河南郑州·期末）列方程解应用题：某超市第一次用 1 万元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的 2 倍．已知甲种商品的进价 30 元/件，售价 35 元/件；乙种商品的进价 40 元/件，售价 50 元/ 件． (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多 200 元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的？ 变式1-2（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某商场经销的两种商品，种商品每件售价为元，利润率为；种商品每件进价为元，售价为元． (1)种商品每件进价为 元，每件种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进两种商品共件，售完之后恰好总利润为元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品优惠后付款总额为元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 变式1-3（2026七年级上·重庆铜梁·竞赛）2026年元旦节临近，铜梁掀起购物狂潮，现有甲，乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“满100元减50元的优惠”（比如，某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） (2)黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ (3)丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生购买了一件标价为620元的上衣，张先生发现比不打折只参加“再满100元减50元”的活动还多付19元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动． 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 典例2 （26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 题型模版 1.特征：实际问题中数量关系可化为ax+b=0形式，求未知量。 2.方法：设未知数，找等量关系列方程，解方程并检验作答。 变式2-1（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 变式2-2（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 变式2-3（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 典例3 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型模版 1.特征：总量按固定比例分配，配套数量间成倍数关系。 2.方法：设未知数，按配套比例列等量关系，解方程。 变式3-1（25-26七年级下·福建漳州·期中）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 变式3-2（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 变式3-3（25-26六年级下·山东烟台·期中）完成如下项目式学习表 情境导入 随着人工智能大模型技术的飞速发展，智能眼镜正成为个人AI助理的重要载体．某科技公司推出一款全新智能眼镜——“灵镜”，它内置轻量级大模型芯片，支持语音交互、实时翻译、物体识别等功能，可以通过镜片上的微显示屏呈现信息．这款眼镜的生产分为两部分：A智能镜框：包含芯片、电池、传感器、镜片等核心部件；B智能镜腿：内置天线、扬声器、麦克风等通信模块，每副“灵镜”智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成． 产能配置 该科技公司现有45名技术工人，每人每天可以生产100个智能镜框或160个智能镜腿． 任务解决 (1)任务1：应如何安排工人，才能使每天生产的智能镜框和智能镜腿恰好配套？ (2)任务2：某店家以每副800元的价格购进“灵镜”后提高后标价．在寒假期间，店家打七折销售，售出的每一副“灵镜”的利润率是多少？ (3)任务3：在（2）的条件下，该店家购进了100副“灵镜”，寒假期间售出了90副，若想在销售完这100副“灵镜”后总获利，则剩余的“灵镜”应打几折出售？ 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 题型模版 1.特征：文言表述含数量关系，可译为现代数学问题建模求解。 2.方法：读懂题意译成白话，设未知数列方程，解后还原作答。 变式4-1（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 变式4-2（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 变式4-3（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 典例5 （26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 题型模版 1.特征：比赛有胜、平、负，积分规则不同，已知总场数和总积分，求胜平负场次。 2.方法：设胜（或负）x场，用总场数表示其他场次，按积分规则列一元一次方程，解出并检验非负整数。 变式5-1（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 变式5-2（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 变式5-3（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 典例6 （25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型模版 1.特征：几何量间存在等量关系，可化为一元一次方程求解。 2.方法：设几何量为未知数，依图形性质列方程，解后检验。 变式6-1（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 变式6-2（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 变式6-3（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的数字填法． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2．请直接写出mn的值（即m和n的乘积）． 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 典例7 （26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 题型模版 1.特征：分段计费，不同用量区间单价不同，总量对应总费用。 2.方法：设用量为x，判断所属区间，按对应单价列方程求解。 变式7-1（25-26七年级上·山西朔州·期末）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 变式7-2（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 变式7-3（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，问有几个小组？若设有个小组，则依题意列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则（    ） 2 7 8 A． B． C．2 D．4 4．（25-26六年级下·山东淄博·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 二、填空题 5．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）138除以一个数，得到的商是9，并且除数与余数的差是2，余数是_________． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个． 7．（25-26七年级上·山西朔州·期末）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 三、解答题 9．（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 10．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 11．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，． (1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____． (2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 12．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 13．（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）观察下面三行数： ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…；③ (1)第①行的第5个数是______；第①行的第n个数是______； (2)设第①行第n个数为x，则第②行第n个数为______；第③行第n个数为______；取出每行的第n个数，这三个数的和等于，求这三个数； (3)第③行是否存在连续的三个数的和为，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由． 14．（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 15．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：，两点间的距离________．线段的中点表示的数为________． 用含的代数式表示：秒后，________．________． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 16．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 用一元一次方程解决问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：以销售利润、配套生产、工程效率、积分胜负为主，均含“总量=各部分之和”或“单价×数量=总价”等核心等量关系。 - 解题方法：审题圈关键词→设未知数（直接或间接）→依等量关系列方程→解方程→检验实际意义。 - 易错提醒：利润率分母是进价非标价；配套问题注意比例方向；检验须符合实际（人数、场次为正整数）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程解决销售问题 典例1 （2026·安徽池州·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共80个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费3264元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个； (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的八五折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个． 【答案】(1)购进“喜洋洋”玩偶48个，购进“乐融融”玩偶32个 (2)27个 【分析】（1）设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，根据总共花费3264元，列出一元一次方程，求解即可； （2）设“乐融融”玩偶打折前卖出m个，根据购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，列方程求解． 【详解】（1）解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个， 根据题意，得， 解得， 则， 答：购进“喜洋洋”玩偶48个，购进“乐融融”玩偶32个； （2）解：设“乐融融”玩偶打折前卖出m个， 根据题意，得， 解得． 答：“乐融融”玩偶打折前卖出27个． 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、利润、折扣等量，常以利润或销售额列等量关系。 2.方法：设未知数，用售价减进价表示利润，找等量关系列一元一次方程求解。 变式1-1（25-26七年级上·河南郑州·期末）列方程解应用题：某超市第一次用 1 万元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的 2 倍．已知甲种商品的进价 30 元/件，售价 35 元/件；乙种商品的进价 40 元/件，售价 50 元/ 件． (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多 200 元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的？ 【答案】(1)一共可获得利润2000元 (2)第二次乙商品按原价打折销售 【分析】（1）设购进乙种商品x件，则购进甲商品件，根据题意，得，解方程求出甲、乙两种商品的件数，再根据两种商品的进价和售价即可计算出总利润． （2）设乙商品打x折，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进乙种商品x件，则购进甲商品件， 根据题意，得， 解得， 则， 故一共获利：（元）， 答：该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得利润2000元． （2）解：设乙商品打x折， 根据题意，第二次购进乙种商品300件，购进甲商品200件， 根据题意，得， 解得， 答：第二次乙商品按原价打折销售． 变式1-2（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某商场经销的两种商品，种商品每件售价为元，利润率为；种商品每件进价为元，售价为元． (1)种商品每件进价为 元，每件种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进两种商品共件，售完之后恰好总利润为元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品优惠后付款总额为元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1) (2)购进种商品件 (3)小明在该商场购买同样商品要付或元 【分析】（1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过元，但不超过元；②打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得； 每件种商品利润率为； 故答案为：； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 则， 解得， 答：购进种商品件； （3）解：若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付元， 当打折前一次性购物总金额超过元，但不超过元时，，解得； 当打折前一次性购物总金额超过元时，，解得； 答：小明在该商场购买同样商品要付或元． 变式1-3（2026七年级上·重庆铜梁·竞赛）2026年元旦节临近，铜梁掀起购物狂潮，现有甲，乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“满100元减50元的优惠”（比如，某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） (2)黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ (3)丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生购买了一件标价为620元的上衣，张先生发现比不打折只参加“再满100元减50元”的活动还多付19元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动． 【答案】(1)表格见解析，选择丙商场最实惠 (2)这条裤子的标价为370元 (3)丙商场先打了9.5折后再参加活动 【分析】（1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）先设丙商场先打了n折后再参加活动，根据打折后比没打折前多付了19元钱，列方程求解． 【详解】（1）解：选甲商场需付费用为（元）； 选乙商场需付费用为（元）； 选丙商场需付费用为（元）． 表格如下： 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） ∵， ∴选择丙商场最实惠； （2）解：设这条裤子的标价为x元， 根据题意得：， 解得：， 答：这条裤子的标价为370元； （3）解：设丙商场先打了n折后再参加活动，则打折后的价格小于600元，不小于500元， 根据题意得：， 解得， 答：丙商场先打了9.5折后再参加活动． 题型二、利用一元一次方程解决方案问题 典例2 （26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元． (2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱． 【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解． （2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案． 【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元． 由题意得 ， 解得 ， ∴运动鞋单价为 （元）． （2）解：计算甲商场最低花费： ∵甲商场每满元返元购物券， ∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券． ∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）． 用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）． ∴甲商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 甲商场可选择； 计算乙商场花费： ∵乙商场全场八折， ∴乙商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 乙商场可选择； ∵ ， ∴ 乙商场更省钱． 综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱． 题型模版 1.特征：实际问题中数量关系可化为ax+b=0形式，求未知量。 2.方法：设未知数，找等量关系列方程，解方程并检验作答。 变式2-1（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 变式2-2（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 变式2-3（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】(1)①；理由见解析 (2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； （2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 题型三、利用一元一次方程解决配套问题 典例3 （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型模版 1.特征：总量按固定比例分配，配套数量间成倍数关系。 2.方法：设未知数，按配套比例列等量关系，解方程。 变式3-1（25-26七年级下·福建漳州·期中）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿 (2)剩余的镜架应打九折出售 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 变式3-2（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 变式3-3（25-26六年级下·山东烟台·期中）完成如下项目式学习表 情境导入 随着人工智能大模型技术的飞速发展，智能眼镜正成为个人AI助理的重要载体．某科技公司推出一款全新智能眼镜——“灵镜”，它内置轻量级大模型芯片，支持语音交互、实时翻译、物体识别等功能，可以通过镜片上的微显示屏呈现信息．这款眼镜的生产分为两部分：A智能镜框：包含芯片、电池、传感器、镜片等核心部件；B智能镜腿：内置天线、扬声器、麦克风等通信模块，每副“灵镜”智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成． 产能配置 该科技公司现有45名技术工人，每人每天可以生产100个智能镜框或160个智能镜腿． 任务解决 (1)任务1：应如何安排工人，才能使每天生产的智能镜框和智能镜腿恰好配套？ (2)任务2：某店家以每副800元的价格购进“灵镜”后提高后标价．在寒假期间，店家打七折销售，售出的每一副“灵镜”的利润率是多少？ (3)任务3：在（2）的条件下，该店家购进了100副“灵镜”，寒假期间售出了90副，若想在销售完这100副“灵镜”后总获利，则剩余的“灵镜”应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套 (2)售出的每一副镜架的利润率是 (3)剩余的“灵镜”应打九折出售 【分析】（1）设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成，列出方程，解方程即可； （2）根据利润率计算公式，进行计算即可； （3）设剩余的镜架应打折出售，根据销售完这100副“灵镜”后总获利，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据题意得： 解得：， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：根据题意得： ， 答：售出的每一副镜架的利润率是5%； （3）解：设剩余的“灵镜”应打折出售，根据题意得： ， 解得：， 答：剩余的“灵镜”应打九折出售． 题型四、利用一元一次方程解决古代问题 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 题型模版 1.特征：文言表述含数量关系，可译为现代数学问题建模求解。 2.方法：读懂题意译成白话，设未知数列方程，解后还原作答。 变式4-1（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 变式4-2（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 变式4-3（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 题型五、利用一元一次方程解决比赛积分问题 典例5 （26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 题型模版 1.特征：比赛有胜、平、负，积分规则不同，已知总场数和总积分，求胜平负场次。 2.方法：设胜（或负）x场，用总场数表示其他场次，按积分规则列一元一次方程，解出并检验非负整数。 变式5-1（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 变式5-2（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 变式5-3（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3) 解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）根据D队当前积分和目标积分，计算出剩余比赛需要获得的分数，然后设剩余比赛的胜场数为未知数，根据胜负积分规则列出方程，检验方程的解是否符合实际情况，从而做出判断． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 题型六、利用一元一次方程解决几何问题 典例6 （25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型模版 1.特征：几何量间存在等量关系，可化为一元一次方程求解。 2.方法：设几何量为未知数，依图形性质列方程，解后检验。 变式6-1（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1)4000 (2) 【分析】（1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的3倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：当时， 此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 变式6-2（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 变式6-3（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的数字填法． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2．请直接写出mn的值（即m和n的乘积）． 【答案】(1)三阶幻方补充如下： (2)新的三阶幻方补全如下： (3)的值为或． 【分析】（1）先根据，说明每行、列和对角线上的数字和都是，故，由此即可补充完整； （2）假设表中数据，根据幻方特点依次列式进行化简即可求解； （3）由每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2，可确定，的值，再根据数字不重复使用可知和的数字为或，分情况计算即可． 【详解】（1）解：， ，，，，； （2）解：如图， 根据题意可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， （3）解：如图， 根据题意得 ， ， 综合图中的数据可知和的数字为或， 当时，； 当时，； 故的值为或． 题型七、利用一元一次方程解决电费和水费问题 典例7 （26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【答案】(1)57 (2)元 (3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时 【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可； （2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简； （3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量． 【详解】（1）解：（元）， 答：应付电费57元． （2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时， 所以7月份应付电费为（元）． （3）解：由（2）可得，解得． 谷时段用电（千瓦时）． 答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时． 题型模版 1.特征：分段计费，不同用量区间单价不同，总量对应总费用。 2.方法：设用量为x，判断所属区间，按对应单价列方程求解。 变式7-1（25-26七年级上·山西朔州·期末）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 【答案】(1)810；1170 (2) 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元）， 乙户居民的水费为（元）． （2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元． 由于810元元元， 所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足． 设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得 ， 解得， 答：丙户居民2025年的用水量为． 变式7-2（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 变式7-3（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】(1) 6吨 (2) 6吨 (3) 77.4吨 【分析】（1）由2月底读数196减去1月底读数190，得二月份用水量； （2）由一月份用水量及"一月份比六月份少 ​"先求出六月份用水量为14吨，再设标准量为 吨，由六月份水费54元列方程求解； （3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少 "求出下半年水费，设下半年用水量 吨，标准内部分按3元/吨，超标部分按元/吨列方程求解． 【详解】（1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，问有几个小组？若设有个小组，则依题意列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据书的总数不变列出方程即可． 【详解】解：设有个小组， ∵每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，且书的总数不变， ∴． 2．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 3．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则（    ） 2 7 8 A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】以三个数均已知的对角线为突破口，先求幻和，再依次计算、的值，最后求． 【详解】解：幻和为． ∵第三列三个数之和等于幻和， ∴， ∴． ∵左上到右下的对角线上三个数之和等于幻和， ∴， ∴． ∴． 4．（25-26六年级下·山东淄博·期末）如图，点、、、在同一射线上，，线段（点在点的左边）长度为，线段从点与重合开始，沿射线向右运动，其速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．下列说法正确的是（     ） ①若，则 ②若点和点均在线段上，且，则 ③若点是的中点，点是的中点，当时，或 ④若点在延长线上，点是的中点，点是的中点，则的值不变 A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】对于①，需分点在线段上和延长线上两种情况，用线段和差表示并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，根据、均在线段上用表示和的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出和的长度，由得到绝对值方程，求解方程即可得到的值；对于④，先根据点在延长线上确定的取值范围，再依次利用中点性质表示出、、、的长度，最后通过线段和差计算的长度，判断其是否为定值． 【详解】解：①分两种情况： 当点在线段上时， ，解得； 当点在延长线上时， ，解得； 故①错误； ②∵点、均在线段上， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故②正确； ③∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 当时，解得； 当时，解得； 故或2.25， 故③正确； ④∵点在延长线上， ， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴． ∵是中点， ∴ ， ∴， ∴，是定值，故④正确； 综上，②③④正确． 二、填空题 5．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）138除以一个数，得到的商是9，并且除数与余数的差是2，余数是_________． 【答案】 12 【分析】设除数为，由余数小于除数，结合除数与余数的差是2，可得余数为，根据被除数等于商乘除数加余数列方程求解即可． 【详解】解：设除数为，则余数为， 根据题意列方程得： 展开整理得： 移项计算得： 解得 因此余数为，满足余数除数，符合要求． 6．（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个． 【答案】36 【分析】根据两种分梨方式中，孩童人数固定不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设梨有个， ∵每人分4个梨多12个时，孩童人数可表示为， ∵每人分6个梨恰好分完时，孩童人数可表示为， 又∵孩童人数固定不变， ∴列方程得：， 解得：． 7．（25-26七年级上·山西朔州·期末）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 【答案】 【分析】设标价为元，根据售价等于标价乘以折扣率，同时售价也等于进价乘以加利润率，建立一元一次方程求解． 【详解】解：设这款手工生肖马窗花的标价为元．根据题意，得： 解得：， 故这款手工生肖马窗花的标价为元． 8．（26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】 20 40 【分析】已知总工人数量为，配套要求为桌腿总数量是桌面总数量的倍，据此建立等量关系列方程求解. 【详解】解：设分配人生产桌面，则分配人生产桌腿， 根据题意，每天生产的桌面总数为，生产的桌腿总数为， 要使桌面和桌腿配套，需满足桌腿总数等于倍桌面总数， 因此列方程得， 解得， 则， 即应分配人生产桌面，人生产桌腿. 三、解答题 9．（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 10．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 11．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，． (1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____． (2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不能，理由如下： 解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∵这五个数的和为93， ∴， 解得 是整数 此情况不成立，即这五个数的和不可能是93． 【分析】（1）观察月历表可得表示的数比所表示的数大8，由此即可得； （2）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8， ∵所表示的数为14， ∴表示的数为； （2）略． 12．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 【答案】(1)笔记本购买了10本，签字笔购买了8支 (2)k的值为4 【分析】（1）设签字笔数量为未知数，根据数量关系表示笔记本数量，结合奖品总费用列方程求解即可； （2）分别表示出两种套装的单价与数量，根据总费用的增长关系列方程，求解正整数k． 【详解】（1）解：设购买签字笔x支，则购买笔记本本，根据题意得： ， 解得：， 则笔记本数量为 （本）， 答：笔记本购买了10本，签字笔购买了8支； （2）解：由题意得： 套装A的单价为 元， 套装A的数量为： ， 套装B的单价为 元， 套装B的数量为8， ∵半期表彰总费用比之前的总费用（含运费）增加了，之前的总费用为198元， ∴半期总费用为 ， 列方程：， 解得： ， 答：k的值为4． 13．（26-27七年级上·湖北襄阳·阶段检测）观察下面三行数： ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…；③ (1)第①行的第5个数是______；第①行的第n个数是______； (2)设第①行第n个数为x，则第②行第n个数为______；第③行第n个数为______；取出每行的第n个数，这三个数的和等于，求这三个数； (3)第③行是否存在连续的三个数的和为，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)；；这三个数是，，； (3)解：不存在，理由如下： 设第①行连续的三个数为，即， ∵第③行是在第①行的基础上加1， ∴第③行连续的三个数为， ∵三个数的和为， ∴， 解得：， 由题干可知①中第4个数为81，即不是①中数据， ∴不存在． 【分析】（1）观察可看出第①行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察可看出第②行是第①行的；第③行是在第①行的基础上加1；进而列方程求解即可； （3）根据（1）（2）设出第③行连续的三个数，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：观察可看出第①行的第n个数为， 当，； （2）解：观察可看出第②行是第①行的，第③行是在第①行的基础上加1， ∵第①行第n个数为x， ∴第②行第n个数为，第③行第n个数为， ∵这三个数的和等于， ∴， 解得：， ∴， 即这三个数是，，； （3）略． 14．（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件 (3)元或者元 【分析】（1）种商品的利润率用“利润率”直接计算，将上述公式变形后，可得“”，代入公式即可求解种商品每件进价． （2）可以设购进种商品件，则购进种商品件，由于总进价是元，根据等量关系列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，每件种商品利润率为， 种商品每件进价为元， 故每件种商品利润率为，种商品每件进价为元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 去括号，得， 整理，得， 解得， 答：该商场购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元，此时按总售价打九折， 由题意得， 解得； 打折前购物金额超过元，此时元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠， 可列方程， 去括号，得， 解得， 答：小华在购物打折前的总金额为元或者元． 15．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：，两点间的距离________．线段的中点表示的数为________． 用含的代数式表示：秒后，________．________． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【答案】(1)，，， (2)， (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式直接计算，再根据距离、速度、时间之间的关系直接计算即可． （2）利用动点在运动过程中位置表示方法，利用时间和速度表示出动点的位置，根据题意直接计算即可． （3）根据题意得到，表示出之间的距离，直接解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴，两点间的距离． 线段的中点表示的数，利用中点公式． 点从点出发，以每秒个单位长度向右匀速运动，运动时间为秒， ∴． 点从点出发，以每秒个单位长度向左匀速运动，运动时间为秒， ∴． （2）解：表示出秒后和在数轴上对应的坐标， 点从点出发，所以点表示的数为， 点从点出发，所以点表示的数为， 当、两点相遇时，即它们在数轴上的位置相同，即坐标相等， ， ， ， ∴点表示的数为． （3）解：由（1）可知，，即， ∴， 由（2）可知点表示的数为，点表示的数为， ， ∴， 当时，， 解得． 当时，， 解得． ∵， ∴或，均符合题意． 16．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先找到中心数，计算“幻方和”，通过每行、每列、每条对角线上数字之和都相等的关系列等式求解即可． （2）设9个连续的正整数中最小的数为，按照“幻方和”的定义列方程求解即可． （3）由于“幻圆”的横、竖的和都相等，求得“幻圆和”后即可求出横、竖方向的和，进而可列方程求解及内正方形缺失的数，最后对剩余两个数进行判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，中心数为， “幻方和”为， 第二行：，解得第二行第一个数为； 第一列：，解得第一行第一个数为； 第一行：，解得； 第三列：，解得； 故． （2）解：设9个连续正整数中最小的数为， 则个连续正整数依次为 ，，，，，，，，， 总和为 ， 三阶幻方有行，行全部数字相加就是个数的总和， 个数总和为， 则有， 解得． （3）解：个数的总和为， 且横、竖两组4个数的和相等， 每组的和为， 对横方向可列方程为： ， 解得， 已使用数字、、、、， 竖方向剩余数字为、、， 由于横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等， 已求得“幻圆”和为， 内正方形缺少的数为； 由于和外正方形上部这两个数同时位于竖向和外正方形上， 故或； 则， 或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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