专题03 一元一次方程的应用（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题03 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 题型1 一元一次方程的应用之古代问题（重） 题型2 一元一次方程的应用之销售问题（高频） 题型3 一元一次方程的应用之方案问题（高频） 题型4 一元一次方程的应用之配套问题（高频） 题型5 一元一次方程的应用之工程问题（难） 题型6 一元一次方程的应用之行程问题（重） 题型7 一元一次方程的应用之数字问题（重） 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题（高频） 题型9 一元一次方程的应用之几何问题（高频） 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一元一次方程的应用之古代问题 1．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 3．（25-26七年级上·江西吉安·期末）《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” ◆题型2 一元一次方程的应用之销售问题 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 5．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ ◆题型3 一元一次方程的应用之方案问题 7．（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 9．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ ◆题型4 一元一次方程的应用之配套问题 10．（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 11．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 12．（25-26六年级下·山东泰安·期中）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决： (1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)任务二：某店家以每副80元的价格购进一批镜架，提高后标价．求每一副镜架的标价是多少？ (3)任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60副后打折销售，结果销售完这100副镜架后仍获利2560元，求剩余的镜架打几折出售？ ◆题型5 一元一次方程的应用之工程问题 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 14．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨．为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ (2)一收割机队每天收割小麦15公顷，收割完一片麦地的后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早2天完成收割任务．问：这片麦地有多少公顷？ 15．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ ◆题型6 一元一次方程的应用之行程问题 16．（26-27七年级上·天津·开学考试）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 17．（25-26六年级下·山东烟台·期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 18．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ ◆题型7 一元一次方程的应用之数字问题 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 20．（26-27七年级上·全国·课后作业）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 21．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． ◆题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 22．（26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 23．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 24．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ ◆题型9 一元一次方程的应用之几何问题 25．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 26．（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          27．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． ◆题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 28．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 30．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 6．（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人竿，多竿；每人竿，恰好分完．”则牧童有________人． 8．（25-26七年级上·山西朔州·期末）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 10．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）定义：点A，B，P是数轴上不重合的三个点，若A，B，P三点中，其中一点到另外两点的距离相等，则称这三个点为“和谐三点”． （1）已知点A表示的数为，点B表示的数为10，点P为原点，则这三个点_______“和谐三点”（填“是”或“不是”） （2）若点A表示的数为，点B表示的数为3，则符合“和谐三点”的点P表示的数为______________． 三、解答题 11．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 12．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 13．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 14．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某公司三月初购进一批玩具，加价销售，月末全部售出后销售额为24000元． (1)该公司三月份购进的这批玩具进价是多少元？ (2)该公司利用三月份的销售额（全部）恰好在四月份购进了A、B两种型号的按摩仪共260台，A、B两种按摩仪的数量比为，A型仪器的单价比B型按摩仪单价多，求A、B两种按摩仪的单价各是多少元？ (3)在（2）的条件下，该公司进行促销活动，B型按摩仪标价100元，全部九折出售．A型按摩仪八折优惠，两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多二成，求A型按摩仪的标价是多少元？ 15．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 16．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 17．（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)请直接写出的中点M对应的数． (2)现在有一只蚂蚁P从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数是多少？ (3)若当蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长时间两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 18．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的数字填法． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2．请直接写出mn的值（即m和n的乘积）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 题型1 一元一次方程的应用之古代问题（重） 题型2 一元一次方程的应用之销售问题（高频） 题型3 一元一次方程的应用之方案问题（高频） 题型4 一元一次方程的应用之配套问题（高频） 题型5 一元一次方程的应用之工程问题（难） 题型6 一元一次方程的应用之行程问题（重） 题型7 一元一次方程的应用之数字问题（重） 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题（高频） 题型9 一元一次方程的应用之几何问题（高频） 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一元一次方程的应用之古代问题 1．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 3．（25-26七年级上·江西吉安·期末）《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 【答案】总人数为39人，车辆数为15辆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．是一个典型的古代数学应用题，可通过设未知数，根据两种乘车方式下人数不变的关系来建立方程求解． 【详解】解：设车辆数为辆， 则， 解得， 总人数为（人）， 答：总人数为39人，车辆数为15辆． ◆题型2 一元一次方程的应用之销售问题 4．（25-26六年级下·山东泰安·期末）列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 【答案】(1)描金琉璃瓶40元，内画瓶30元 (2)钱够用 【分析】（1）设内画瓶单价元，琉璃瓶元，根据题意列出一元一次方程并求解，即可解答； （2）设内画瓶个，琉璃瓶个，依题意列出一元一次方程并求解，再求出总费用并比较大小，即可解答． 【详解】（1）解：设内画瓶单价元，琉璃瓶元， 依题意，得， ， ， ， ∴内画瓶30元，琉璃瓶（元）， 答：描金琉璃瓶每个40元，内画瓶每个30元． （2）解：设购买内画瓶个，购买琉璃瓶个， 依题意，得， 解得， ∴琉璃瓶（个）， 总费用：（元）， ∵， ∴钱够用． 5．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 【答案】(1)甲种农产品件、乙种农产品件 (2)元 (3)折 【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量； （2）根据“每件利润数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润； （3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品件，则购进乙种农产品件， 可得， 解得，则， 故该助农驿站第一次购进甲种农产品件、乙种农产品件． （2）解：（元）． 故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润元． （3）解：设第二次乙种农产品是按原价打折销售， 可得， 解得， 故第二次乙农产品是按原价打折销售． ◆题型3 一元一次方程的应用之方案问题 7．（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 9．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． ◆题型4 一元一次方程的应用之配套问题 10．（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 11．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 12．（25-26六年级下·山东泰安·期中）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决： (1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)任务二：某店家以每副80元的价格购进一批镜架，提高后标价．求每一副镜架的标价是多少？ (3)任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60副后打折销售，结果销售完这100副镜架后仍获利2560元，求剩余的镜架打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿， (2)120元 (3)七 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据“提高后标价”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后仍获利2560元”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：根据题意得：（元） 答：每一副镜架的标价是120元； （3）解：设剩余的镜架应打折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打七折出售． ◆题型5 一元一次方程的应用之工程问题 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【答案】(1)用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； (2)B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 14．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨．为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ (2)一收割机队每天收割小麦15公顷，收割完一片麦地的后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早2天完成收割任务．问：这片麦地有多少公顷？ 【答案】(1)应从甲煤场运80吨煤到乙煤场 (2)这片麦地有360公顷 【分析】（1）设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设这片麦地有x公顷，则预定总时间为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从甲煤场运x吨煤到乙煤场， 由题意可得：， ， ， ， ， 答：应从甲煤场运80吨煤到乙煤场． （2）解：设这片麦地有x公顷，则预定总时间为， 由题意可得：，解得：， 答：这片麦地有360公顷． 15．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． ◆题型6 一元一次方程的应用之行程问题 16．（26-27七年级上·天津·开学考试）小明家到学校的路程为．一天，小明以的速度从家出发去上学，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）请问爸爸追上小明用了多长时间？ （2）放学时小明以的速度从学校出发，爸爸同时以的速度从家出发去接他，多长时间能相遇？ 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 17．（25-26六年级下·山东烟台·期中）用方程的方法求解下面的问题： 已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米． (1)若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？ (2)若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？ (3)若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？ 【答案】(1)经过2.8小时两车相遇 (2)经过小时两车相距560千米 (3)快车追上慢车用了16小时 【分析】（1）设经过小时两车相遇， 由题意得，解方程即可得出答案． （2）设经过小时两车相距560千米，由题意得，解方程即可得出答案． （3）设快车追上慢车用了小时，由题意得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过小时两车相遇，由题意得， 解得， 因此，经过2.8小时两车相遇； （2）解：设经过小时两车相距560千米， 由题意得， 解得， 因此，经过小时两车相距560千米； （3）解：设快车追上慢车用了小时， 由题意得， 解得， 因此，快车追上慢车用了16小时． 18．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 【答案】(1) 12；3 (2)5 (3) 秒 (4) 或． 【分析】用来表示，根据题目意思即可构造等量关系求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 则当时，， 当时，， （2）解：点P和点Q相遇时， 则， 解得： （3）解：由题可知，的中点为：， 由（2）可知，点P和点Q相遇时，， 则点表示的数为：， 则（秒）． （4）解：由题可知，点P到点O的距离为：， ， ∴， 解得：或． ◆题型7 一元一次方程的应用之数字问题 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 【答案】(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 20．（26-27七年级上·全国·课后作业）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 21．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) 十字框中的五个数字之和不能等于2020，理由： 设十字框中的最中间一个数为 ，由题意得， 解得 ， 由题意可知， 应为奇数， 则十字框的中五个数字之和不能等于2020． 【分析】（1）利用任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等求出即可； （2） 设十字框中的最中间一个数为，依据题意列方程求出为偶数，但题意应为奇数，故不能． 【详解】（1） 解：由题意， 解得， ， 解得， ， 解得； （2） 解：略． ◆题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 22．（26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 23．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 24．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． ◆题型9 一元一次方程的应用之几何问题 25．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设容器内水将升高，由题意，得： 解得， 答：容器内水将升高． 26．（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 27．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 ◆题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 28．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】由题中价目表，分段讨论求解即可． 【详解】（1）解：由价目表可知，当时，则应缴纳水费元； （2）解：由价目表可知，当用水立方米时，则应缴纳水费元； （3）解：设该户居民5月份用水，则4月份用水， 5月份用水量多于4月份， ，即 则由价目表可知，分三种情况： ①5月份用水超出且不超出，4月份用水不超出，则 ， 解得； ②5月份用水超出且不超出，4月份用水超出且不超出，则 ， 方程无解，不符合题意； ③5月份用水超出，4月份用水不超出，则 ， 解得，与条件矛盾，不符合题意； 综上所述，该户居民5月份用水． 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 30．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可； （3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y的值，进而求出该月峰时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解：， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据答错与未答题数的倍数关系设未知数，结合总得分列方程求解． 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由进价表示出标价与实际售价，再根据利润售价进价的等量关系列方程． 【详解】解：设这种商品每件的进价是元， ∵ 按进价提高后标价， ∴ 标价为元， ∵ 以九折优惠卖出， ∴ 实际售价为元， ∵ 每件获利元， ∴ ． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 4．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 5．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，先通过第三列求出右下角的数，再利用主对角线求出即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 由题意得，， ∴， 解得． 二、填空题 6．（26-27七年级上·重庆九龙坡·开学考试）甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 【答案】 【分析】根据题意，第三小时比第一小时少行12千米，所以第一小时先顺水后逆水，第三小时是逆水；其次，如果第一小时的路程小于15千米，那么第三小时的路程小于3千米，后面两小时返程的总路程不可能达到15千米，无法回到甲地．所以，第一小时的路程大于15千米，后面两小时都是逆水航行．假设后面两小时的路程都是x千米，有，解得，即逆水速度是6千米/小时，那么第一小时里逆水航行的时间为：（小时），顺水航行的时间为：（小时），所以顺水速度为：（千米/时），那么这条河的水流速度为：（千米/小时）． 【详解】解：设后面两小时的路程都是x千米，则， ， ， （小时）， （小时）， （千米/小时）， （千米/小时）， 答：这条河的水流速度为每小时12千米． 7．（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人竿，多竿；每人竿，恰好分完．”则牧童有________人． 【答案】 【分析】设牧童人数为，根据竹竿总数不变建立等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设有牧童人， 根据题意可得， 整理得， 解得， 故牧童共有人． 8．（25-26七年级上·山西朔州·期末）2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 【答案】 【分析】设标价为元，根据售价等于标价乘以折扣率，同时售价也等于进价乘以加利润率，建立一元一次方程求解． 【详解】解：设这款手工生肖马窗花的标价为元．根据题意，得： 解得：， 故这款手工生肖马窗花的标价为元． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】 20 40 【分析】已知总工人数量为，配套要求为桌腿总数量是桌面总数量的倍，据此建立等量关系列方程求解. 【详解】解：设分配人生产桌面，则分配人生产桌腿， 根据题意，每天生产的桌面总数为，生产的桌腿总数为， 要使桌面和桌腿配套，需满足桌腿总数等于倍桌面总数， 因此列方程得， 解得， 则， 即应分配人生产桌面，人生产桌腿. 10．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）定义：点A，B，P是数轴上不重合的三个点，若A，B，P三点中，其中一点到另外两点的距离相等，则称这三个点为“和谐三点”． （1）已知点A表示的数为，点B表示的数为10，点P为原点，则这三个点_______“和谐三点”（填“是”或“不是”） （2）若点A表示的数为，点B表示的数为3，则符合“和谐三点”的点P表示的数为______________． 【答案】 是 或或 【分析】根据“和谐三点”的定义，对点P的位置分类讨论，利用数轴上两点间的距离公式列等式求解即可． 【详解】解：(1)已知点A表示的数为，点B表示的数为，点P为原点即表示，计算得，， ∴，满足“其中一点到另外两点的距离相等”的定义，因此这三个点是“和谐三点”； (2)设点P表示的数为， ∵点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ①当点P在点A的左侧时， ∵是“和谐三点”， ∴， ∵， ∴，解得； ②当点P在之间时， ∵是“和谐三点”， ∴， ∵， ∴，解得； ③当点P在点B的右侧时， ∵是“和谐三点”， ∴， ∵， ∴，解得， 综上，符合“和谐三点”的点P表示的数为或或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 12．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1) 胜一场积分，负一场积分 (2) 这支球队胜了场 【分析】（）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积分，负一场积分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解； （）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为场，所以这支球队胜了场，则负了场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 根据表格积分信息列二元一次方程组：， 两式相加化简得，即， 代入第一个方程：， 解得， ∴， ∴胜一场积分，负一场积分； （2）解：设这支球队胜了场，总场数为场，则负了场， 根据胜场总积分等于负场总积分列方程：， 整理得， 解得． 13．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【答案】(1)每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元 (2)40个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元，列出方程进行求解即可； （2）设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，根据该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元， 根据题意，列方程为：， 解得， ， 答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元． （2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位， 根据题意，列方程为：， 解得． 答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位． 14．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某公司三月初购进一批玩具，加价销售，月末全部售出后销售额为24000元． (1)该公司三月份购进的这批玩具进价是多少元？ (2)该公司利用三月份的销售额（全部）恰好在四月份购进了A、B两种型号的按摩仪共260台，A、B两种按摩仪的数量比为，A型仪器的单价比B型按摩仪单价多，求A、B两种按摩仪的单价各是多少元？ (3)在（2）的条件下，该公司进行促销活动，B型按摩仪标价100元，全部九折出售．A型按摩仪八折优惠，两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多二成，求A型按摩仪的标价是多少元？ 【答案】(1)20000元 (2)A型按摩仪的单价为100元，B型按摩仪的单价是75元 (3)150元 【分析】（1）先设三月份购进的这批玩具的进价为x元，再根据题意列出方程，求出解即可； （2）设A型仪器的数量为台，B型仪器的数量为台，根据题意列出方程求出两种仪器的台数，再设B型仪器的单价为y元，则A型仪器的单价为元，根据题意得出方程，求出解即可得出答案； （3）设A型按摩仪的标价为m元，根据两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多两成列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设三月份购进的这批玩具的进价为x元，根据题意，得 ， 解得， 所以三月份购进的这批玩具的进价为20000元； （2）解：设A型仪器的数量为台，B型仪器的数量为台，根据题意，得 ， 解得， ∴， 所以四月份购进A型仪器的数量为180台，B型仪器的数量为80台； 设B型仪器的单价为y元，则A型仪器的单价为元，根据题意，得 ， 解得，则， 所以A型按摩仪的单价为100元，B型按摩仪的单价是75元； （3）解：设A型按摩仪的标价为m元，根据题意，得 ， 解得， 所以A型按摩仪的标价为150元． 15．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 16．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________ (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)10，16，22 (3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下： 设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为， 当时， 解得，不是整数， ∴这4个数的和不可能是68． 【分析】（1）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为60建立方程求解即可； （2）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为48建立方程求解即可； （3）设出左上角的数，表示出其他三个数，再根据四个数的和为68建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴中间的数为20； （2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴ ∴这三个数分别为10，16，22； （3）略 17．（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)请直接写出的中点M对应的数． (2)现在有一只蚂蚁P从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数是多少？ (3)若当蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长时间两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 【答案】(1)中点M对应的数是30 (2)C点对应的数是18 (3)经过17秒或31秒两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【分析】（1）利用数轴上中点坐标公式求解； （2）属于相向而行的相遇问题，先求出A、B两点间的总距离，利用“路程和=速度和×时间”求出相遇时间，再根据其中一只蚂蚁的运动情况求出相遇点C的坐标； （3）属于数轴上的距离问题，两只蚂蚁相向而行，相距35个单位长度存在两种情况：一是相遇前相距35个单位，二是相遇后交叉而过相距35个单位，需分类讨论列方程求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为90， ∴中点M对应的数为：． （2）设经过t秒两只蚂蚁在C点相遇， 由题意得： ∴C点对应的数为： 答：C点对应的数是18． （3）设经过x秒两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， 分两种情况讨论： 当两只蚂蚁相遇前，相距35个单位长度时： 当两只蚂蚁相遇后，相距35个单位长度时： 答：经过17秒或31秒两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 18．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字和都相等的数字填法． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2．请直接写出mn的值（即m和n的乘积）． 【答案】(1)三阶幻方补充如下： (2)新的三阶幻方补全如下： (3)的值为或． 【分析】（1）先根据，说明每行、列和对角线上的数字和都是，故，由此即可补充完整； （2）假设表中数据，根据幻方特点依次列式进行化简即可求解； （3）由每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2，可确定，的值，再根据数字不重复使用可知和的数字为或，分情况计算即可． 【详解】（1）解：， ，，，，； （2）解：如图， 根据题意可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， （3）解：如图， 根据题意得 ， ， 综合图中的数据可知和的数字为或， 当时，； 当时，； 故的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 题型1 一元一次方程的应用之古代问题（重） 题型2 一元一次方程的应用之销售问题（高频） 题型3 一元一次方程的应用之方案问题（高频） 题型4 一元一次方程的应用之配套问题（高频） 题型5 一元一次方程的应用之工程问题（难） 题型6 一元一次方程的应用之行程问题（重） 题型7 一元一次方程的应用之数字问题（重） 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题（高频） 题型9 一元一次方程的应用之几何问题（高频） 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一元一次方程的应用之古代问题 1． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 2． 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 3． 【答案】总人数为39人，车辆数为15辆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．是一个典型的古代数学应用题，可通过设未知数，根据两种乘车方式下人数不变的关系来建立方程求解． 【详解】解：设车辆数为辆， 则， 解得， 总人数为（人）， 答：总人数为39人，车辆数为15辆． ◆题型2 一元一次方程的应用之销售问题 4． 【答案】(1)描金琉璃瓶40元，内画瓶30元 (2)钱够用 【分析】（1）设内画瓶单价元，琉璃瓶元，根据题意列出一元一次方程并求解，即可解答； （2）设内画瓶个，琉璃瓶个，依题意列出一元一次方程并求解，再求出总费用并比较大小，即可解答． 【详解】（1）解：设内画瓶单价元，琉璃瓶元， 依题意，得， ， ， ， ∴内画瓶30元，琉璃瓶（元）， 答：描金琉璃瓶每个40元，内画瓶每个30元． （2）解：设购买内画瓶个，购买琉璃瓶个， 依题意，得， 解得， ∴琉璃瓶（个）， 总费用：（元）， ∵， ∴钱够用． 5． 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 6． 【答案】(1)甲种农产品件、乙种农产品件 (2)元 (3)折 【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量； （2）根据“每件利润数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润； （3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品件，则购进乙种农产品件， 可得， 解得，则， 故该助农驿站第一次购进甲种农产品件、乙种农产品件． （2）解：（元）． 故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润元． （3）解：设第二次乙种农产品是按原价打折销售， 可得， 解得， 故第二次乙农产品是按原价打折销售． ◆题型3 一元一次方程的应用之方案问题 7． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 8． 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 9． 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． ◆题型4 一元一次方程的应用之配套问题 10． 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 11． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 12． 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿， (2)120元 (3)七 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据“提高后标价”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后仍获利2560元”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：根据题意得：（元） 答：每一副镜架的标价是120元； （3）解：设剩余的镜架应打折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打七折出售． ◆题型5 一元一次方程的应用之工程问题 13． 【答案】(1)用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； (2)B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 14． 【答案】(1)应从甲煤场运80吨煤到乙煤场 (2)这片麦地有360公顷 【分析】（1）设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设这片麦地有x公顷，则预定总时间为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从甲煤场运x吨煤到乙煤场， 由题意可得：， ， ， ， ， 答：应从甲煤场运80吨煤到乙煤场． （2）解：设这片麦地有x公顷，则预定总时间为， 由题意可得：，解得：， 答：这片麦地有360公顷． 15． 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． ◆题型6 一元一次方程的应用之行程问题 16． 【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟． （2）爸爸出发后5分钟与小明相遇． 【分析】（1）根据爸爸追小明时，两人行走路程相等的关系列一元一次方程求解即可； （2）再根据相遇时，两人行走路程和等于总路程的关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）设爸爸追上小明用了分钟. 小明提前分钟出发，被追上时行走总时长为分钟， ∵追上时两人行走路程相等， ∴， 解得：， ∴此时爸爸行走路程为（米）， ∵， ∴符合途中追上的条件，即爸爸追上小明用了分钟； （2）设爸爸出发后分钟与小明相遇， ∵两人相向而行，相遇时路程和等于家到学校的总路程， ∴， 解得：． ∴爸爸出发后分钟与小明相遇． 17． 【答案】(1)经过2.8小时两车相遇 (2)经过小时两车相距560千米 (3)快车追上慢车用了16小时 【分析】（1）设经过小时两车相遇， 由题意得，解方程即可得出答案． （2）设经过小时两车相距560千米，由题意得，解方程即可得出答案． （3）设快车追上慢车用了小时，由题意得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过小时两车相遇，由题意得， 解得， 因此，经过2.8小时两车相遇； （2）解：设经过小时两车相距560千米， 由题意得， 解得， 因此，经过小时两车相距560千米； （3）解：设快车追上慢车用了小时， 由题意得， 解得， 因此，快车追上慢车用了16小时． 18． 【答案】(1)12；3 (2)5 (3)秒 (4)或． 【分析】用来表示，根据题目意思即可构造等量关系求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 则当时，， 当时，， （2）解：点P和点Q相遇时， 则， 解得： （3）解：由题可知，的中点为：， 由（2）可知，点P和点Q相遇时，， 则点表示的数为：， 则（秒）． （4）解：由题可知，点P到点O的距离为：， ， ∴， 解得：或． ◆题型7 一元一次方程的应用之数字问题 19． 【答案】(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 20． 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 21． 【答案】(1) (2) 十字框中的五个数字之和不能等于2020，理由： 设十字框中的最中间一个数为 ，由题意得， 解得 ， 由题意可知， 应为奇数， 则十字框的中五个数字之和不能等于2020． 【分析】（1）利用任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等求出即可； （2） 设十字框中的最中间一个数为，依据题意列方程求出为偶数，但题意应为奇数，故不能． 【详解】（1） 解：由题意， 解得， ， 解得， ， 解得； （2） 解：略． ◆题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 22． 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 23． 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 24． 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． ◆题型9 一元一次方程的应用之几何问题 25． 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设容器内水将升高，由题意，得： 解得， 答：容器内水将升高． 26． 【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 27． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 ◆题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 28． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】由题中价目表，分段讨论求解即可． 【详解】（1）解：由价目表可知，当时，则应缴纳水费元； （2）解：由价目表可知，当用水立方米时，则应缴纳水费元； （3）解：设该户居民5月份用水，则4月份用水， 5月份用水量多于4月份， ，即 则由价目表可知，分三种情况： ①5月份用水超出且不超出，4月份用水不超出，则 ， 解得； ②5月份用水超出且不超出，4月份用水超出且不超出，则 ， 方程无解，不符合题意； ③5月份用水超出，4月份用水不超出，则 ， 解得，与条件矛盾，不符合题意； 综上所述，该户居民5月份用水． 29． 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 30． 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可； （3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y的值，进而求出该月峰时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解：， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．C 3．C 4．C 5．C 二、填空题 6． 7． 8． 9．20 40 10． 是 或或 三、解答题 11． 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 12． 【答案】(1) 胜一场积分，负一场积分 (2) 这支球队胜了场 【分析】（）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积分，负一场积分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解； （）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为场，所以这支球队胜了场，则负了场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 根据表格积分信息列二元一次方程组：， 两式相加化简得，即， 代入第一个方程：， 解得， ∴， ∴胜一场积分，负一场积分； （2）解：设这支球队胜了场，总场数为场，则负了场， 根据胜场总积分等于负场总积分列方程：， 整理得， 解得． 13． 【答案】(1)每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元 (2)40个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元，列出方程进行求解即可； （2）设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，根据该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元， 根据题意，列方程为：， 解得， ， 答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元． （2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位， 根据题意，列方程为：， 解得． 答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位． 14． 【答案】(1)20000元 (2)A型按摩仪的单价为100元，B型按摩仪的单价是75元 (3)150元 【分析】（1）先设三月份购进的这批玩具的进价为x元，再根据题意列出方程，求出解即可； （2）设A型仪器的数量为台，B型仪器的数量为台，根据题意列出方程求出两种仪器的台数，再设B型仪器的单价为y元，则A型仪器的单价为元，根据题意得出方程，求出解即可得出答案； （3）设A型按摩仪的标价为m元，根据两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多两成列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设三月份购进的这批玩具的进价为x元，根据题意，得 ， 解得， 所以三月份购进的这批玩具的进价为20000元； （2）解：设A型仪器的数量为台，B型仪器的数量为台，根据题意，得 ， 解得， ∴， 所以四月份购进A型仪器的数量为180台，B型仪器的数量为80台； 设B型仪器的单价为y元，则A型仪器的单价为元，根据题意，得 ， 解得，则， 所以A型按摩仪的单价为100元，B型按摩仪的单价是75元； （3）解：设A型按摩仪的标价为m元，根据题意，得 ， 解得， 所以A型按摩仪的标价为150元． 15． 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 16． 【答案】(1)20 (2)10，16，22 (3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下： 设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为， 当时， 解得，不是整数， ∴这4个数的和不可能是68． 【分析】（1）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为60建立方程求解即可； （2）设出中间的数，表示出其他两个数，再根据三个数的和为48建立方程求解即可； （3）设出左上角的数，表示出其他三个数，再根据四个数的和为68建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴中间的数为20； （2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为， 由题意得， 解得， ∴ ∴这三个数分别为10，16，22； （3）略 17． 【答案】(1)中点M对应的数是30 (2)C点对应的数是18 (3)经过17秒或31秒两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【分析】（1）利用数轴上中点坐标公式求解； （2）属于相向而行的相遇问题，先求出A、B两点间的总距离，利用“路程和=速度和×时间”求出相遇时间，再根据其中一只蚂蚁的运动情况求出相遇点C的坐标； （3）属于数轴上的距离问题，两只蚂蚁相向而行，相距35个单位长度存在两种情况：一是相遇前相距35个单位，二是相遇后交叉而过相距35个单位，需分类讨论列方程求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为90， ∴中点M对应的数为：． （2）设经过t秒两只蚂蚁在C点相遇， 由题意得： ∴C点对应的数为： 答：C点对应的数是18． （3）设经过x秒两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， 分两种情况讨论： 当两只蚂蚁相遇前，相距35个单位长度时： 当两只蚂蚁相遇后，相距35个单位长度时： 答：经过17秒或31秒两只蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 18． 【答案】(1)三阶幻方补充如下： (2)新的三阶幻方补全如下： (3)的值为或． 【分析】（1）先根据，说明每行、列和对角线上的数字和都是，故，由此即可补充完整； （2）假设表中数据，根据幻方特点依次列式进行化简即可求解； （3）由每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都为2，可确定，的值，再根据数字不重复使用可知和的数字为或，分情况计算即可． 【详解】（1）解：， ，，，，； （2）解：如图， 根据题意可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， （3）解：如图， 根据题意得 ， ， 综合图中的数据可知和的数字为或， 当时，； 当时，； 故的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $