专题15 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 题型二、利用一元一次方程的解求参数 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 题型四、利用一元一次方程同解求参数 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能方迁移 题型特征：含参方程题看字母位置：在系数、常数项或指数上。常见五类：定义求参、代入求值、同解、 整数解、新定义。 解题方法：通法先化为x=b:a≠0唯一解；a=0时b=0无数解，b≠0无解。定义题须“次数为1且 系数≠0”；整数解题解出含参式再枚举。 -易错提醒：定义题漏检系数≠0，忘讨论=0整数解漏负约数：同解代入后未回代检验。 ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 典剑1(25-26七年级下河南洛阳期中)若关于*的方程m-2列r+3=0 一元一次方程，则”的值为 () A.2 B.0 C.2或0 D.1 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：整式方程，只含一个未知数，未知数次数为1，系数不为0。 2方法：依据定义列方程，令未知数次数等于1且系数不等于0，求解参数。 变式1-1(25-26七年级上江西南昌阶段检测)若方程（m+)r“-2= 是关于x的一元一次方程，则m= () A.±1 B.1 C.-1 D.0 变武1-2(2526七年级上湖南长沙期末)已知关于产的元一次方程a-3列2+6=0 则a的值为( A.3 B.-3 C.2 D.±3 变式1-3(25-26七年级上安徽宿州期末)如果方程 m+2）x2m-3+2=0 是关于x的一元一次方程，那么m 的值是() A.2 B.-2 C.2 D.0 题型二、利用一元一次方程的解求参数 典例2(2026江苏常州·一模)若x=2是一元一次方程a-b=3的解，则代数式5b-10a+7的值为. 题型模版 1特征：解代入原方程左右两边相等，含参方程由此建立关于参数的等式。 2方法：将己知解代入含参方程，化简得参数方程，解出参数并验证。 变式2-1(25-26七年级下河南洛阳·期中)若x=3是关于x的方程2ax-bx=6的解，则代数式 2026-6a+3b的值是 变式2-2(25-26七年级下四川宜宾阶段检测)若x=3是关于x的方程2-br=6的解，则代数式 2025-6a+3b的值是 变式2-3(25-26七年级上·湖南长沙期末)若x=2是关于x的一元一次方程+b=2的解，则代数式 (2a+b)/+4(2a+b)-3 的值是 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 典例3(25-26七年级上山东临沂·阶段检测)关于x的方程2x-3=x的解是正整数，则整数k可以取的值 是 题型模版 1.特征：含参方程解为整数，参数受整除性约束，需分类讨论取值。 2方法：先解出用参数表示的解，再由整除性列式求参数整数值。 变式3-1(25-26七年级上福建龙岩阶段检测)若关于x的方程×- 4-心-牛4-1的解是正整数，且a是 6 3 整数，则满足条件的所有α的积为一· 变式3-2(25-26七年级上重庆期中)已知关于x的方程x- x-1=3-20 5 5的解为正整数，且当y=a时， 合好使少-2+-取得最小值，则满足条件的整数4的值为 3x-m 5x+m 变式33(2026七年级上全国专题练习)已知关于x的方程2一6=3，其中m为常数. (1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“十”看成“”，得到方程的解为x=1,m的值为 (2)若该方程与关于x的方程-l-3x=4x+6m的解互为相反数，求m的值： (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值， 题型四、利用一元一次方程同解求参数 典例4(25-26七年级上：广东湛江·期末)已知方程2(1-x)=x-1的解与方程3 X一m=2x+m的解相同，则 m三 题型模版 1特征：两方程解相同，解集相等，可互相代入验证。 2方法：先解已知方程，将解代入含参方程求参数。 111 变式41(25-26七年级上·安徽合肥期中)已知：关于x的方程2x-36与3(x+m)=m-1有相同的解， 则m= 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式42(25-26七年级上贵州黔西南期末)关于x一元一次方程3 +-2=3x①与4x-(x-b)=11②的解 相同. (1)当相同解为x=-1时，求a和b的值： x+a (②小丽在解方程①时，误把“3”看成“+ ”，得到的解为x=3,求原方程中a实际值，并求出原 方程①的解； (3)在(2)的条件下， x-(a+b=0 求x的值 3x-m x+m 5 变式43(2026七年级上全国专题练习)己知关于x的方程2-36· (1)若m=-1,该方程的解为 ②)若该方程的解与方程)=3+二6 4的解相同，则m的值为， 7x=-2(x+3) (3)若该方程的解与方程 的解互为相反数，则”的值为 (4)若该方程有正整数解，则整数m的最小值为 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 典例5(25-26七年级下四川达州开学考试)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之， 并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如 果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”. (1)若方程2x=4与关于x的方程mx=1互为“归一方程”，求m的值： ②诺关于x的方程+a=0与关于x的方程”兮2-生互为“归一方程”，求a的值。 3x-2_x+a 题型模版 1特征：题干给出新定义规则，方程含字母参数，需按新规则化为一元一次方程求解。 2方法：先读懂新定义并转化方程，再用一元一次方程定义列参数条件求解。 变式5-1(25-26七年级上安徽合肥期末)阅读与思考： 定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q,我们称这两个方程为“值Q方程”.例如： 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程4m-3=1的解是m=1,方程”-1=3的解是”=4.因为 m-h=1-4= 3,所以方程4m-3=1与方程 n-1=3是“值3方程”. 任务： 0下列方程中：0=8：@5e4小-3=3，@号2-生2- 和为“值1方程”，和一为“值5方程”（填写序号). (②若关于的一元一次方程4r-a=1和4(x-2)=2x+ 是“值2方程”，求“的值. 变式5-2(25-26七年级上北京期末)在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若”是关于”的 x+b=0(a≠0 一元一次方程 的解，是关于'的方程的解或所有解中的一个解，且。+%=10 则称关 于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美”方程.例如2-1=2的解是x=6,关于y的方程 1 =4的所有解是y=4或y=4,当y=4时，x+y=10,所以川4是一元一次方程2x-1=2的“十全 十美”方程. 0已知关于'的方程：@2-2=4②川=3 .其中是2x+1=-25的“十全十美”方程的是 (只填序号)： Q喏关于y的方程+=1是关于4的一元-次方程牛2-=行-1的“叶全针美”方程，求的强 变式5-3(25-26七年级下河南鹤壁期中)定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个 方程为“友好方程”，例如：方程3x=9和x+2=0为“友好方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-3=x+12是“友好方程”，则m=一；若“友好方程”的两个 解的差为5，其中一个解为x=n,则n=一， 3x-2 x+m (②)若关于x的方程2+m=0与方程5=2是“友好方程”，求m的值. (3)若关于x的一元一次方程202 6+3=2x+k和2026x+1=0是“友好方程”，请直接写出关于y的一元 5/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一次方程20260+)+3=2y+k+2的解. ◆◆ 同压轴挑战一大克高难压热，变破思维上保 一、单选题 1.若关于x的方程3x+a=10的解为x=2,则a的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知方程2x4+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是() A.1 B.-1 C.+1 D.2 3正通同学在解关于r的方程+3a 1 1 9 2时，误将“2x”看作“3x”，得到方程的解为x=2,那么原 方程的解为() A.x=2 B.x=3 C.x=-3 D.x=1 4已知关于x的方程x-2-a、 632有整数解，则。的所有可能的取值的和为(） A.-18 B.-23 C.-32 D.-39 5.下列结论： ①若x=1是关于x的方程a+br+c=0的一个解，则a+b+c=0: ②若ax-)=br-l)有唯一的解，则a≠b: @若b=2a,则关于的方程ar+h=0a≠0)的解为-= 2 ④若-a+b+c=1,且a≠0，则x=-1一定是方程ax+b+c=1的解： 其中结论正确个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 6.若x=3是方程2x+a=10的解，则a= 2x一”-1去分母时，方程右边的“-”项没有乘6.因而求得的解是x=10,则 7.小玉在解方程3-2 6/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a= &.若方程+)+2=0是关于的元一次方程，则代数式 2--m的值是一 9.若关于x的方程3 2+m=-+2,无论k为任何数时，它的解总是x=1,则m-n= 6 10.已知k是一个正整数，关于x的一元一次方程 2kx-9=(k+2)x 有正整数解，则= 三、解答题 11.关于的方程m+2x-3= 是一元一次方程，求m的值， 4x-(3a+1)=6x+2a-1 12.已知关于x的方程 的解与5(r-3)=4r-10 解互为相反数. (1)求a的值： (2)求代数式a-a的值. 1B.少已知4是方程2(c-网-子+m的解，求m的值， (2)方程2(1-x)=x-1的解与方程3 m=2x+m的解相同，求的值. 14.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”.例如：2x=2 的解为x=1,x+1=1的解为x=0,所以这两个方程互为“阳光方程”. (1)若关于x的一元一次方程x+2m=0与3x-2=-x是“阳光方程”，求m的值： (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5.若其中一个方程的解 为x=k,求k的值. 15.【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次 项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次 多项式的常数项。 A=x2+2x-3, =(1+2)x-3=3x-3 例如： 经过处理器得到 【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B,根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若A=3x2-2x+5,则B=_; 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若 A=4x2-5(2x-3) 求关于x的方程B=9 B=y的解： 【延伸】 M=(m+3)x2-x+7,M (3)已知 是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式， ①若满足N=4x+7,且x≠0，求的值. ②若满足N=x+2m+14的解x是整数，求整数m的值. 8/8 专题15 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 题型二、利用一元一次方程的解求参数 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 题型四、利用一元一次方程同解求参数 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含参方程题看字母位置：在系数、常数项或指数上。常见五类：定义求参、代入求值、同解、整数解、新定义。 - 解题方法：通法先化为 ax=b：a≠0 唯一解；a=0 时 b=0 无数解，b≠0 无解。定义题须“次数为1且系数≠0”；整数解题解出含参式再枚举。 - 易错提醒：定义题漏检系数≠0；忘讨论 a=0；整数解漏负约数；同解代入后未回代检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元一次方程的定义求参数 典例1（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为，且一次项系数不为求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ，， ，， ，或， ． 题型模版 1.特征：整式方程，只含一个未知数，未知数次数为1，系数不为0。 2.方法：依据定义列方程，令未知数次数等于1且系数不等于0，求解参数。 变式1-1（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）若方程是关于x的一元一次方程，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数的次数为1且一次项系数不为0），列出关于m的条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 由，得或, 又∵，即 ∴． 变式1-2（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元一次方程，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可知，需满足未知项的次数为且一次项系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ∴， 由得，即或 又，即， ． 故选：B． 变式1-3（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得出，且，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：C． 题型二、利用一元一次方程的解求参数 典例2（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 题型模版 1.特征：解代入原方程左右两边相等，含参方程由此建立关于参数的等式。 2.方法：将已知解代入含参方程，化简得参数方程，解出参数并验证。 变式2-1（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 变式2-2（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 变式2-3（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是___________． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入可得到，再整体代入，即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ． ． 故答案为∶9． 题型三、利用一元一次方程的整数解求参数 典例3（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）关于x的方程的解是正整数，则整数k可以取的值是______． 【答案】1或/或1 【分析】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值． 把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值． 【详解】解：由题意得，， ， 解得， 由题意得，x为正整数，为整数， ∴，， 解得或． 故答案为：1或． 题型模版 1.特征：含参方程解为整数，参数受整除性约束，需分类讨论取值。 2.方法：先解出用参数表示的解，再由整除性列式求参数整数值。 变式3-1（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）若关于x的方程的解是正整数，且a是整数，则满足条件的所有a的积为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先将方程变形整理得，解得，再结合关于x的方程的解是正整数，且a是整数，求出满足条件的的值，即可解答． 【详解】解： 整理得：， 解得， ∵关于x的方程的解是正整数，且a是整数， ∴是6的正约数， ∴， ∴， ∴满足条件的所有a的积为． 故答案为：． 变式3-2（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程求解，绝对值的性质等，掌握分情况讨论是解题的关键． 先根据方程求解出，根据方程的解为正整数确定可能的取值，由于为整数，可得出或，将代入，即可求解． 【详解】解： ， ， 方程的解为正整数， 且为的正整数倍， 且为整数， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：，则，随着的减小，会增大，且为整数时，不是的倍数（舍去）； 即：或， 当时，， 当时，， 故答案为：． 变式3-3（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程，其中为常数． (1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________； (2)若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值； (3)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3)整数的最小值为6 【分析】（1）把代入，得到方程，再解方程即可； （2）分别解两个方程，再由解互为相反数建立关于m的方程，再解方程即可； （3）可得是正整数．设（为正整数），因为5和7互质，所以必须是7的倍数，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，把代入，则 解得； （2）解： 解得， 解得 由解互为相反数，得， 解得； （3）解：由（2）可知原方程的解为． 因为方程有正整数解， 所以是正整数． 设（为正整数）． 因为5和7互质， 所以必须是7的倍数，即，． 当时，，此时是正整数， 所以整数的最小值为6． 题型四、利用一元一次方程同解求参数 典例4（25-26七年级上·广东湛江·期末）已知方程的解与方程的解相同，则__________． 【答案】 【分析】求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 题型模版 1.特征：两方程解相同，解集相等，可互相代入验证。 2.方法：先解已知方程，将解代入含参方程求参数。 变式4-1（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知：关于x的方程与有相同的解，则______． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，把解代入到，进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得， 把代入，得，解得； 故答案为：． 变式4-2（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同． (1)当相同解为时，求a和b的值； (2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解； (3)在（2）的条件下，，求x的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）将代入两个方程，解方程即可得的值； （2）先将代入方程求出的值，则可得原方程，再解一元一次方程即可得； （3）先根据两个方程的解相同求出的值，再根据绝对值的性质代入化简即可得． 【详解】（1）解：∵关于一元一次方程的解为， ∴， 解得； ∵关于一元一次方程的解为， ∴， 解得． （2）解：由题意得：关于一元一次方程的解为， ∴， 解得， ∴原方程①为， 解得． （3）解：由（2）可知，，原方程①为，它的解为， ∵关于一元一次方程①与②的解相同， ∴关于一元一次方程的解为， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 变式4-3（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，该方程的解为________； (2)若该方程的解与方程的解相同，则的值为________； (3)若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为________； (4)若该方程有正整数解，则整数的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （3）先求出方程的解，再根据相反数的定义，得到的解为，代入求出m的值即可． （4）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正整数倍，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：解，得 ， ∵的解与方程的解互为相反数， ∴的解为， 即， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 典例5 （25-26七年级下·四川达州·开学考试）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】理解题意，根据新定义得到新的方程是解题的关键． （1）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于m的方程并求解即可； （2）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于a的方程并求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：题干给出新定义规则，方程含字母参数，需按新规则化为一元一次方程求解。 2.方法：先读懂新定义并转化方程，再用一元一次方程定义列参数条件求解。 变式5-1（25-26七年级上·安徽合肥·期末）阅读与思考： 定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，我们称这两个方程为“值方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值5方程”（填写序号）． (2)若关于的一元一次方程和是“值2方程”，求的值． 【答案】(1)①和②，②和③ (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的解，绝对值，掌握一元一次方程的解法，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． （1）先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值Q方程”的定义得出，即或即可求出a的值． 【详解】（1）解：方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为， ∵，， ∴方程①和②是“值1方程”；方程②与方程③是“值5方程”， 故答案为：①，②；②，③； （2）解：∵关于的一元一次方程和是“值2方程”， 又的解为，的解为， ∴， ∴或， 解得或． 变式5-2（25-26七年级上·北京·期末）在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的解或所有解中的一个解，且，则称关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程．例如的解是，关于的方程的所有解是或，当时，，所以是一元一次方程的“十全十美”方程． (1)已知关于的方程：①；②．其中是的“十全十美”方程的是____________（只填序号）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程，求的值． 【答案】(1)② (2)0或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可； （2）分别解方程和，根据“十全十美”方程的定义可得关于a的一元一次方程，解之即可； 【详解】（1）解：方程的解是， 方程①的解为， ∵， ∴方程①不是一元一次方程的“十全十美”方程； 方程②的解为或， ∵当时，， ∴方程②是一元一次方程的“十全十美”方程． 故答案为：②； （2）解：方程的解是， 方程的解是或， ∵关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∴或． 变式5-3（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．若关于的方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：已知方程的解为， 将代入方程：， 解得：． 故选：A． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定，求解的值即可． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须为1． 即， 得或， 即的值为． 故选：C． 3．王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．先按计算出，再将计算出的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案． 【详解】解：王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为， ， 解得：， ， ， 原方程为， 解得：， 故选：B． 4．已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 5．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】①把代入得：，故结论①正确； ②方程可化简为． 若，则方程解为（唯一解）． 若，方程变为，有无穷多解． 题目中“有唯一解”需满足，故结论②正确． ③，则，方程移项，得：，则，则结论③错误； ④把代入1，方程一定成立，则一定是方程的解，结论④正确． 故选：B． 二、填空题 6．若是方程的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解求参数，把方程的解代入计算即可． 【详解】解：若是方程的解， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 7．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 8．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值．根据一元一次方程的定义，可求出m的值．在将m代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 9．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，由一次方程的定义，列关于的方程，通过求解即可得到答案．解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程 ∴且， 由得：或 ∵，即， ∴． 12．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 13．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 【答案】(1) (2)3或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴； （2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或． 15．【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：经过处理器得到． 【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，求关于x的方程的解； 【延伸】 （3）已知是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式． ①若满足，且，求m的值． ②若满足的解x是整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）；（3），整数m的值是0或4或 【分析】本题考查了新定义运算，多项式的定义，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出，进而解方程即可求解； （3）①根据题意得，又，得出，进而即可求解．②根据题意得，得出，根据 x， m都是整数，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）根据题目中整式处理器的处理方法可得：； （2）由题可知，， 可得， 又 ∵， ∴， 解得：， ∴关于的方程的解为 1 ． （3）①由题可知，经过处理器得到的整式， 则， 同时，， ∴， ∵， ∴， ． ②根据题意可得，则， ∴， ∵ x， m都是整数， ， ∴舍去， ∴整数的值是 0 或 4 或． 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